船舶流體力學第6章(打印)

1、第六章 勢流理論（一）勢流指的是理想流體的無旋流動。本章主要討論：理想不可壓縮平面勢流的求解方法。流場中各點的流體微團的旋轉角速度為零的流動稱為無旋流動（有勢流動）。一般來講，具有粘性的實際流體都作有旋運動；在某些情況下，粘性對流動的影響很小，以致可以忽略時，則可按理想流體處理。理想流體的運動可以是有旋的，也可以是無旋的。當流體是理想的，且質量力有勢時，從靜止或無旋狀態(tài)起動的非恒定流動（水庫泄水、波浪運動）、均勻來流繞物體的流動（除邊界層外）都是無旋（有勢）流動。勢流理論，尤其是平面勢流理論，具有很大的實用意義。實際流體運動，只有在切應力較小，可以忽略不計時，才可作為理想流體處理，有可能按有勢

2、流來求得近似解。如繞流運動，將流場劃分為兩個區(qū)域：緊靠固體邊界的粘性起作用的區(qū)域，用粘性流體邊界層理論求解；不受固體邊界阻力影響，粘性不起作用的區(qū)域， 用理想流體勢流理論求解。§6.1 無旋運動和速度勢一.速度勢函數(shù)及勢流：我們知道：每一流體微團的旋轉角速度都等于零的流動，稱為無旋流（無渦流）。這時： 對于無旋流，有： 由于無旋流有速度勢函數(shù)存在，故無旋流又稱為有勢流。 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，稱為調和函數(shù)。分析有勢流動時，顯然只要求解拉普拉斯方程，找出未知函數(shù)，就可求得各流速分量。這就簡化了分析求解過程。相應的速度勢函數(shù)的拉普拉斯方程為: 二.速度勢函數(shù)的性質：1.若流體不可壓縮，

3、流速勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。2.流線與等勢面相互垂直。 § 可見，流速矢量與等勢面垂直。而流速矢量與該點流線相切，故流線與等勢面垂直。§ 若為平面流動，則流線與等勢線垂直。3.速度勢對任一方向n的偏導數(shù)，等于流速矢量在該方向的投影。 三.不可壓縮流體的平面勢流：流場中各點流速都平行于某一平面，而且所有流動參數(shù)在此平面的垂直方向都不發(fā)生變化，這種流動稱為平面流動。平面流動（或稱二元流動）應滿足的條件：平面上任何一點的速度和加速度都平行于所在平面，無垂直于該平面的分量；與該平面相平行的所有其它平面上的流動情況完全相同。如圖所示，機翼繞流為平面流動。比如，分析船舶在水

4、面上的垂直振蕩問題。因船長比寬度及吃水深度大得多，且船型縱向變化比較緩慢，可近似認為流體只在垂直于船長方向的平面內流動。如圖所示，屬于平面問題。又例如：平面流動采用平面直角坐標系，則不可壓縮流體的平面勢流應該滿足： 如果存在物體壁面S，速度應該在物面上滿足邊界條件： 求解不可壓縮流體平面勢流問題的主要任務就是尋求滿足以上方程組和邊界條件的速度矢量。 邊界條件又可寫成： 對于不可壓縮流體的平面勢流，若采用平面極坐標系，則： 拉普拉斯方程為: §6.2 不可壓勢流的基本方程和邊界條件一.拉普拉斯方程的解的可疊加性：勢流的一個重要特性：可疊加性。勢流疊加原理：幾個簡單勢流疊加合成的流動仍為

5、勢流（復合勢流）。復合勢流的速度勢為簡單勢流的速度勢的代數(shù)和，且滿足拉普拉斯方程。 復合流動的速度等于被疊加勢流的速度的矢量和。 二.歐拉方程的積分：理想流體的運動微分方程又稱為歐拉運動微分方程。 式中： 同理，可得： 故： 將上式代入歐拉運動微分方程，得： 這個方程稱為格羅米科蘭姆方程。若流體是正壓的，有： 若質量力有勢，則：將以上二式代入格羅米科蘭姆方程?？傻茫?1.定常、沿流線積分伯努利積分：方程（1）化簡為： 上式沿流線積分，得： 這就是伯努利積分，它表明：對于正壓的理想流體，在有勢質量力作用下作定常流動時，同一流線上：這個方程也稱為伯努利方程，我們曾在§4.1中得到，并詳細

6、討論過這個方程。 2.無旋流的積分柯西拉格朗日積分：對于無旋流動，有： 這時方程（1）化簡為： 上式在全流場積分，得： 若流體不可壓縮，則： 若質量力僅是重力，有：將以上二式代入方程（2），可得: （3）式將會在后面討論波浪運動時用到。若流動定常，則（3）式化簡為： （4）式就是重力作用下定常不可壓縮流動的伯努利方程。三.勢流問題的求解方法：勢流問題的求解實際上就是尋求滿足邊界條件和初始條件的Laplace 方程的解（x，y，z，t）。 解拉普拉斯方程流體作用于固體的力和力矩。求解拉普拉斯方程的方法主要有：1.解析法：對于簡單邊界問題的拉普拉斯方程可用解析法求解。而工程問題一般邊界條件較復雜，

7、不能求得解析解。2.奇點法（基本解疊加法）：利用幾種簡單的基本解疊加，反過來檢驗是否滿足所給的初始條件和邊界條件。若滿足則幾個基本解疊加后的調和函數(shù)就是所需要的解。由于勢流的基本解在數(shù)學上是奇性的，因而這種方法稱為奇點法。3.保角變換法：這種方法適用于平面不可壓縮勢流。它將復雜邊界經過多次保角變換轉換成簡單邊界，求解之后再根據(jù)變換關系返回去以獲得復雜邊界問題的解。4.數(shù)值解法：這種方法適用于復雜邊界問題的求解，它將微分方程改寫為有限差分方程，將求解流場劃分成網(wǎng)格，要求每一網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值與其周圍四個節(jié)點上的函數(shù)值之間符合拉普拉斯方程所規(guī)定的差分關系。5.流網(wǎng)法：這種方法是一種手工圖解法，它適

8、用于平面不可壓縮勢流，利用等勢線和流線正交的特性，設法繪制出正確的流線、等勢線網(wǎng)格流網(wǎng)。獲得了正確的流網(wǎng)，就可求出流速以及流量等參數(shù)。y = Cj = C例圖示為流體繞圓柱體無旋流動的部分等勢線和流線，圖中兩簇曲線正交。由速度勢函數(shù)和流函數(shù)的性質不難判斷，部分曲線與圓正交的那一簇是等勢線，而其中一條與物面相重合的那一簇是流線。 §6.3 二維流動和流函數(shù)二維流動（亦稱二元流動）：流動參數(shù)是兩個坐標和時間的函數(shù)，這種流動稱為二維流動。二維流動包括平面流動和軸對稱流動。一.流函數(shù)的定義：對于不可壓縮流體的平面流動，由數(shù)學分析知： 這恰好是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性微分方程。這表明，對于

9、不可壓縮流體的平面流動，必有： 顯然：只要是不可壓縮流體的平面流動，就必有流函數(shù)存在。事實上只要是不可壓縮流體的二維流動，不論是平面流動或是軸對稱流動，都有流函數(shù)存在。二.流函數(shù)的性質：1.對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。對于xoy平面上的平面勢流，有： 也就是說：對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù)亦滿足拉普拉斯方程。2.等流函數(shù)線就是流線。 這正是流線微分方程。 3.流過任意曲線的單寬流量等于曲線兩端點流函數(shù)的值之差，而與曲線形狀無關。 證：如圖，AB為任一曲線，在它上面任取微元長度dL。設垂直于平面的寬度為1，則流過dL的流量為： 顯然：Q值僅取決于A,B

10、兩點的流函數(shù)值，與曲線AB的形狀無關。由于在物面邊界上流函數(shù)的值是常數(shù)，所以物面邊界也可以被當作是流場中的一條流線。反過來說，流場中任意一條流線也可以被看作是物面邊界。如引入流函數(shù)之后，求解不可壓縮流體平面勢流問題，又可以寫成求解方程： 這時，邊界條件可寫成： §6.4 復勢和復速度對于不可壓縮流體的平面勢流，和同時存在，并有如下關系：這個關系稱為柯西黎曼（CauchyRiemann）條件。引入復變函數(shù) W（z）： 由復變函數(shù)的有關知識，我們知道： 復速度沿曲線L的積分為： 將 和 代入上式，可得：若L為封閉曲線，則： 即，繞封閉物面周線的復速度積分就等于繞物面的速度環(huán)量。若采用極坐

11、標，則： 可得極坐標下的復速度公式： 引入復勢W之后，求解不可壓縮流體平面勢流問題就可以歸結為求解復勢 W（z）。這時，邊界條件可寫成： 總之，不可壓縮流體平面勢流的求解途徑是：途徑一： 即，在第二類邊界條件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解疊加法或者數(shù)值方法求解，通常只適用于求解規(guī)則邊界的流動問題。途徑二： 即，在第一類邊界條件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解疊加法或者數(shù)值方法求解，通常只適用于求解規(guī)則邊界的流動問題。途徑三： 這屬于復變函數(shù)理論中求解析函數(shù)范疇的問題，可以采用保角變換。它適用于求解復雜邊界的流動問題。例1.已知不可壓縮平面流動的流函數(shù)： （1）求流速分量：（2）流動是否無

12、旋？若無旋，確定其流速勢函數(shù)。解：（1）其流速分量為： 例2.設平面流動 (a) vx = 1, vy = 2； 流動 (b) vx = 4x, vy =-4y。（1）對于 (a) 是否存在流函數(shù)y ？若存在，求 y 。（2）對于 (b) 是否存在速度勢函數(shù)？若存在，求 。解：（1）對于流動 (a) 有： 顯然滿足不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程，存在對應的流函數(shù)。積分后得到：y = y -2x (略去了積分常數(shù)) 。（2）對于流動(b) 有： 因此，滿足無旋條件，存在相對應的速度勢函數(shù)。積分后得到： = 2x2 -2y2 (已略去積分常數(shù))§6.5 不可壓平面勢流的基本解一. 均勻直線

13、流： 把復勢的實部和虛部分開，分別得到: 等勢線: 流線: 對于a = 0: 二.平面點源和點匯：在無限平面上，若流體從一點沿徑向直線均勻的流出，這種流動稱為點源。在無限平面上，若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱為點匯。分析位于坐標原點的點源： Q 點源(匯)強度。 流線: q = C1 , 等勢線: r = C2 。圖片：平面點源流 ( Q > 0 ) 平面點匯流 ( Q < 0 ) 三.點渦：流體以某一點為圓心作圓周運動，這種流動稱為點渦。 G 點渦強度。奇點點渦流 流線: r = C1 , 等勢線: q = C2 。 圖片： 四.平面偶極子：z = 0 點: 點

14、匯 Q z0點： 點源 Q 疊加后得到： 令 Dr ® 0，Q ® ¥，b 不變，并且： z0=Dz b -偶極子的方向角(由點匯指向點源的矢量的方向角)。這里分析 b =p 的情況(即，點源沿 x 軸的正方向由左至右向點匯趨近)。 等勢線流線由于點源(點匯)流、點渦流和偶極子流在無窮遠處的速度都趨于零。將這些基本解與別的解疊加時，在無窮遠處速度具有漸近性，所以只需要考慮疊加后的物面邊界條件，而不必擔心疊加這些基本解會改變無窮遠處的速度邊界條件三個基本解都具有奇異性。由于真實流場中不應該有無窮大的速度，所以通常要把它們布置在流場之外(物體區(qū)域內)。 例3: 理想不

15、可壓縮流體作平面無旋流動。假設流場的復勢是W(z) = az2 ( a > 0 )，并且在坐標原點處壓強為 p0，試求:(1) 上半平面的流動圖案； (2) 沿 y = 0 的速度與壓強。解: 令 z = reiq，于是: 所以: 令 y = 0，得到零流線： 它們是自原點出發(fā)的射線，把上半平面分成兩個夾角為 90°的直角區(qū)域。流速為: 在 y = 0 ( 即q = 0 及 q = p ) 上， 對坐標原點和 y = 0 上的任意一點( r , 0 )或者( r , p )列出伯努利方程。于是得到 y = 0 上的壓強分布為： 五.平面勢流疊加的例子：不可壓縮流體勢流問題的主要

16、特點：.解是可以疊加的。 .流動對時間的依賴關系由邊界條件反映。 .運動學問題與動力學問題可以被分開求解。 下面簡單證明，如果：1，2，3 ¼¼ 是勢流問題的解，則： = 1 + 2 + 3 + ¼¼ 也是勢流問題的解。事實上: 由于：Ñ2 = Ñ21 + Ñ22 + Ñ23 + ¼¼ ，如果： Ñ21 = 0， Ñ22 = 0 ， Ñ23 = 0 ， ¼如果又有: 就是滿足所給邊界條件的勢流的解。1.直線流與點源流的疊加：位于坐標原點，強度為Q的點源：

17、現(xiàn)分析疊加后的流速，駐點位置及流線方程： 這就是過駐點的流線方程。 如圖，通過駐點的流線將流場分成兩部分：由均勻直線流所引起的這部分流量皆在過駐點的流線之外流動，而由點源所引起的那部分流量皆在過駐點的流線之內流動。這樣便可把通過駐點的流線視為固壁，僅分析其外部的繞流，這就是所謂的“二元半體繞流”。這種流動可完全模擬工程實際中的均勻流繞流橋墩頭部的流動。2.螺旋流：現(xiàn)研究點匯與點渦疊加所形成的流場： 等勢線方程為： 流線等勢線螺旋流流線方程為： 在流場任意兩點1，2 應用伯努利方程，有： 水輪機引水室中的旋轉水流、旋風燃燒室中的旋轉氣流等都可以被近似地看成是此類流動。若將點源與點渦疊加，則流體沿

18、螺旋線由內向外流動，水泵壓水室中的旋轉水流就是這種流動。例4.設在（a,0)處有一平面點源，在（a,0)處有一平面點匯，他們的強度為Q。若平行于x軸的直線流動和這一對強度相等的點源和點匯疊加。 試問：此流動表示什么樣的流動并確定物面方程。xyo 解：疊加后的流函數(shù)為： 疊加后的流場： 令=0 ，得零流線即物面方程為： 疊加后的勢函數(shù)為： 駐點位置： 圖片將流線替換成物面，該流動模擬流體繞卵形體的外部流動。點源推開流線，點匯收回流線。§6.6 繞圓柱體的流動一. 均勻流繞圓柱體的無環(huán)量流動：Voyxqra沿x軸正向的均勻直線流+位于原點偶極子： 流線(y = C)： 令 C = 0 ，

19、得零流線（即，通過駐點的流線）： 速度為 V¥ 的均勻直線流 + 強度為 2pV¥a2 的偶極子流 = 繞半徑為 a 的圓柱體的流動。 令 r = a ，得到圓柱表面的速度： 故，駐點為： = 0 ，及= 。速度環(huán)量： 無環(huán)量繞流壓力分布： 沿圓柱表面( r = a )， vr = 0。 將： 代入上式，得： 定義壓力系數(shù)： 將： 代入上式，得： q 壓強左右對稱，上下對稱。 圖片圓柱受力： 圓柱無環(huán)量繞流無升力，無阻力。阻力為零：圓柱體在理想流體中作等速直線運動時，受到流體作用的阻力等于零。原因：沒有考慮流體的粘性。繞圓柱的無環(huán)量流動理論分析的結果是： 升力 壓力分布對稱

20、于軸； 阻力 壓力分布對稱于 y軸。 但這個結論與實測結果不一致：理論分析的結果稱為達朗貝爾謬理，它在理論上很有意義。達朗貝爾謬理成立的條件可歸納為：.理想流體；.物體周圍的流場無界；.物體周圍流場中不存在源、匯、渦等奇點；.物體作等速直線運動；.物體表面流動沒有分離。若其中的任一條件被破壞，則物體即將遭受到流體的作用力（阻力或升力）。二.均勻流繞圓柱體的有環(huán)量流動：VGoyxqra沿x軸正向的均勻直線流+位于原點偶極子+點渦： 令 r = a ，得到圓柱表面的速度： 駐點位置取決于點渦強度。 速度環(huán)量： 有環(huán)量繞流柱表面壓強分布：沿柱表面( r = a )， vr = 0。 將： 代入上式，

21、得： 定義壓力系數(shù)： 將： 代入上式，得：圓柱受力： V L o 圓柱有環(huán)量繞流有升力，無阻力。升力的大?。毫黧w的密度、流速V、環(huán)量、和柱體長度的乘積。升力的方向：沿V方向逆速度環(huán)量旋轉90°所對應的方向。升力產生的原因：圖片圓柱：圓柱上下表面流動不對稱、環(huán)量（旋轉）、粘性。機翼：機翼周圍流場不對稱、環(huán)量（形狀、攻角）、粘性。實驗表明，圓柱在運動流體中旋轉，當： 柱體表面上的流體在粘性作用下隨柱體一起旋轉，而且基本上不會發(fā)生分離現(xiàn)象。此時的流動也就相當于圓柱體的有環(huán)量繞流，其環(huán)量近似為 2a2。所以，旋轉圓柱體向前運動時會受到垂直于運動方向的橫向力。這種現(xiàn)象稱為馬格努斯(Magnus

22、)效應。旋轉的圓球形物體同樣也會產生馬格努斯效應。比如：旋轉的排球、足球、乒乓球等都會在橫向力的作用下改變其飛行方向。 德國工程師弗來脫納爾于1924年利用馬格努斯效應在他的試驗船Buckan號上設置鉛垂的旋轉圓柱以代替風帆，即旋筒推進器。推力： L在船前進方向的分力。例5. 圓柱體長10m，直徑1m，在空氣中繞自身軸旋轉，并沿垂直于自身軸方向等速移動，自然風u與V垂直。求圓柱體受力的流體作用力。V=40m/su=30m/sn=3.76r/s解： §6.7 布拉修斯公式分析用復勢表達的受力公式：已知物體邊界線 L 和流場復勢 W（z）。obb pxyndlL物體受力： 上式中: ,

23、, 下面換一個角度分析。 如圖所示在物體周線上取微弧長dl, 作用力為pdl在和方向的投影分別為：上式中，為dl的切線方向與方向的夾角。 得和方向的總力： 作用力F和共軛作用力定義為： 由伯努利方程可得物面上的壓力： 而在物體周線上： 此即為計算作用在物體上流體動力的布拉休斯（Blasius）公式。 若繞任意形狀柱體流動的復勢W(z)=f(x+iy)已知，就可由Blasius公式求出作用在單位長度柱體上的共軛作用力，取實部即得，取虛部加負號就是。如圖，流體作用在任意形狀柱體的力上對坐標原點的力矩為： 將 代入 而V 是實數(shù)，故上式可寫成：上式即為計算作用在物體上的流體動力矩的Blasius公式

24、。若繞任意形狀柱體流動的復勢(z)已知，利用上式，便可得單位長度柱體上作用力對原點的力矩。顯然，要求任意形狀物體剖面上的流體動力或動力矩，比如機翼、汽輪機葉片、水翼或螺旋槳剖面等，都可采用Blasius公式。實用中還經常用到升力系數(shù)、阻力系數(shù)和力矩系數(shù)： 式中：S是指定的特征面積，b是某一指定的特征長度。 §6.8 庫塔儒柯夫斯基定理一.庫塔儒柯夫斯基定理：在定常不可壓平面勢流中，作用在任意形狀物體上的升力和阻力分別為： 證明如下： 如圖，坐標原點位于物體剖面上，設物體周線以外無奇點。作一個任意半徑的圓周l 將物體周線包圍在內，則復速度在圓外處處解析（可展開為羅朗級數(shù)）,在無限遠處流

25、體的流速為V，則有：lLy0x即復速度在無限遠點解析。函數(shù)在無限遠點解析時其羅朗級數(shù)只有負整數(shù)冪的項，故復速度可展開為：A0和A1的確定：對照以上兩式可得： 因流體不可壓縮，通過包圍物體的任意周線l的體積流量為零。故有： 根據(jù)留數(shù)定理： 將上式代入Blasius公式便可計算出共軛作用力： 根據(jù)留數(shù)定理其積分結果為： 這就是庫塔儒柯夫斯基定理。二.決定環(huán)量的后緣條件：如圖所示，只有圖（b）所示的流譜是符合實際的。也就是說，尖后緣的機翼剖面的后駐點必然在后緣上（或者說，在機翼剖面的后緣，上、下翼面的壓力相等），這個條件稱為庫塔儒柯夫斯基條件。三.機翼繞流環(huán)量形成的物理過程：下面分析在靜止流場中的機

26、翼從靜止加速到0的過程中，環(huán)量產生的機理：啟動前流體周線上G 0，且始終為零。 突然啟動，速度很快達V0，此時流動處處無旋,繞翼型G 0。 流體繞過后緣尖點T流向翼背。 處速度為零，壓力很高。流體從流向遇到很大逆壓梯度，使邊界層發(fā)生分離，形成反時針旋渦，即啟動渦。起動渦流向下游，由湯姆遜定理知必產生一等值反向的渦（附作渦）。由于G附著的作用，駐點向后緣尖點T移動。在到達T點之前，不斷有啟動渦流向下游，也不斷增大，B不斷向T點推移，直至到達T點為止。機翼以速度繼續(xù)前進，后緣不再有渦脫落，也不再變化。只與翼面的幾何形狀及的大小與方向有關。最終，翼型上、下兩股流體在后緣T處匯合，流向下游。翼剖面上、

27、下兩股流體將在翼剖面的后緣處匯合，形成如下流動圖案： 翼型的上表面流線較密，速度大。 翼型的下表面流線稀，壓力大。機翼升力的一部分是由流過上表面的空氣把機翼吸起來。并且上表面產生的負壓對全部升力的貢獻大于下表面的貢獻。吸力壓力 壓力系數(shù)分布曲線 例6.用Blasius作用力公式求有環(huán)量圓柱繞流的作用力。解：流場的復勢及其導數(shù)： 受力： 由留數(shù)定理： 其中 這個結果與前面§6.6 的結果完全相同。例7. 已知流函數(shù)： 求： ）駐點位置； ）繞物體的環(huán)量； ）無窮遠處的速度； ）作用在物體上的力。解： ）駐點位置(先求速度場)： 令，則零流線為 r = 5 的圓柱即為物面。在物面上，時，

28、V，所以： 令，有： 即駐點位置為： ）求環(huán)量：）求速度：）求合力：若kg，則：rVG 6.28×10 ， R0。§6.10 映 像 法這里研究奇點（點源（點匯）、偶極子、點渦等）周圍存在固壁的流動。 Cl s´ s 如圖，Cl為固壁，在域內有一組奇點S，如果在外放置一組鏡像奇點S´，這兩組奇點構成的流場中有一條流線與Cl重合。一.平壁面映像：例8.強度為Q的點源位于壁面右側(2，0)點。求沿壁面速度分布。Q(2,0)壁面物理流動 QQ(2,0)(-2,0)xyo數(shù)學模型解：無界流點源復勢： 映像點源復勢： 流場： 例9. y =0 是一無限長固壁，在

29、y = h 處有一強度為G的點渦。求固壁 y = 0 上的速度。解： hGyx-G令 y = 0 ，得固壁面上的流速分布： 例如：Gyxz0=x0+iy0-GG-G例如： yxV¥z0=x0 +iy0R二.圓柱壁面的映像：例10.半徑R的圓柱外z0處有一強度為Q的點源。 求：流場的復勢。解：z0點源無界流復勢為： 也就是說W（z）由3個奇點的復勢組成：位于z的點源、位于z* 的等強度點源和位于圓心的點匯。 xyo-QQQ§§6.13 附加質量一.基本概念：物體在無界流體內的運動可分為兩大類：1.勻速直線運動：坐標系固結于物體上仍為慣性系，為均勻來流繞物體的定常流動

30、。 可由前面介紹的方法求壓力分布、合力、力矩等。2.非勻速直線運動：坐標系固結于物體上為非慣性系，為非定常流動問題。 不能采用前面介紹的方法求出壓力分布、合力等。本節(jié)討論無界流場中物體作非勻速直線運動的情形：無界流場中的非定常運動物體質量為m，物面為S。V(t)mstå如圖，取半徑非常大的球面, 內流體以加速度a運動。 物體運動使周圍流體微團亦產生了大小和方向不同的加速度。 因此，推動物體的作用力不僅必須為增加物體的動能而作功，而且還要為增加周圍流體的動能而作功。所以，外力將大于m。 稱為附加質量（或稱附連質量）。 F即為附加慣性力。 附加慣性力：物體加速周圍流體質點時受到周圍流體質點的作用力。由上面知I的方向與加速度方向相反。當0時I，即物體加速度運動時，I為阻力；當0時，I0，即物體減速時，I為推力。由于附加慣性力的作用，物體在理想流體中的變速運動相當于物體自身質量上增加了一個附加質量而在真空中運動。換句話說，理想流體增大了物體的慣性，使物體既難加速也難減速。 二.附加質量的計算：內流體動能： 對于在區(qū)域及外邊界和內邊界上所定義的單值連續(xù)函數(shù)P, Q, R ,由高斯定理：將上式用于流體動能表達式可得：由方向導數(shù)定義知： 式中等號右邊第一項可略去不計。