由遞推公式求通項(xiàng)的方法大全

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法專題對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型 1 遞推公式為 an 1 an f (n)累加法 ( 逐差相加法 )例. 已知數(shù)列an滿足 a11an1，求 an 。31， an 1n2nann22類型 2（ 1）遞推公式為 an 1f ( n) an累乘法 ( 逐商相乘法 )an滿足 a12nan ，求 an 。an2例： 已知數(shù)列， an1n13n3練習(xí) :已知 a13， an 13n1(n1) ，求 an 。an 63nan123n類型 3遞推公式為 an1pan

2、q （其中 p， q 均為常數(shù)， ( pq( p1) 0) ）。 轉(zhuǎn)化法例： 已知數(shù)列an中， a1 1， an 12an3，求 an .an2n 13練習(xí)：（ 1）數(shù)列 a n 滿足 a1 =1， a n = 1 an1 +1（ n2），求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。 a n =2（ 1 ） n 122（ 2 ） 數(shù) 列 a n 滿 足 a 1 =1 ， 3an 1an7 0 , 求 數(shù) 列 a n 的 通 項(xiàng) 公 式 。an73 (1)n 1443類型 4遞推式為 an 1pa nq n 1 （ p、q 為常數(shù)）可同除 qn 1 ，再轉(zhuǎn)化為類型3例 已知數(shù)列an滿足 a11， an3n2an

3、1(n2) ， 求 an an3n12n 2練習(xí)： 已知數(shù)列511 n11 n1 nan 中，a16 , an 13 an( 2)，求 an 。an3( 2)2(3)類型 5遞推式為 anman1k (an 1b)例： anan 1, a11，求 anan13 an 13n 21類型 6遞推式為 an 2pan1qan待定系數(shù)法與分解系數(shù)法設(shè) an2kan 1h(an1kan ) ，比較系數(shù)得 hkp, hk q ，可解得 h, k 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 、 數(shù) 列an滿 足 a12, a25,an 23an 12 an =0 ， 求 數(shù) 列 a n 的 通 項(xiàng) 公 式 。an32n 11（已

4、知數(shù)列an 滿足 a11,a23, an 23an 12an (nN* ).（ I ）證明：數(shù)列an1an是等比數(shù)列；（ II）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；例 .已知數(shù)列an中， a11, a22 ,an 22 an11 an ，求 an 。 an73 (1) n 12 an 11 an 可轉(zhuǎn)化為 an33443解：由 an22san 1t(an1san )33st2s1s13即 an 2( st )an 1stan1 或3st1tt133s1s1這里不妨選用1 （當(dāng)然也可選用3試一試），則tt13例、數(shù)列an中 ， a11,a22,3an22an 1an ， 求 數(shù) 列 an的通項(xiàng)公式。73(1

5、)n 14431 , h1 an 11 an 即 得 an 11 an 為 常 數(shù)若 本 題 中 取 k1 ， 則 有 an 2an 131 an 1333列, an 11 anana21 a121 733333例：已知數(shù)列an滿足 a1a, a2b,3an25an 12an0( n0, nN ) ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。an2an 12 ( an 1an ) 則數(shù)列 an 1an是以 ba 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列33類型 7an1pank1例設(shè)正項(xiàng)數(shù)列，a2a22n 1 1an滿足a11nn 1n 2 .an的通項(xiàng)公式.an2（ ）求數(shù)列類型 8 遞推式： an 1panf n法一：

6、待定系數(shù)法；法二：兩遞推式相減學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 an滿足 a11， an3an 12n1，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。, an 13an 22( n 1)1 （ n3）兩式相減得an an 1 3(an 1 an 2 ) 2 轉(zhuǎn)化為bnpbn 1 q 求之 .類型 9歸納、猜想、證明例 9：在數(shù)列 an 中， a12, an 1an2na 1 ，求 an 的表達(dá)式。a23, a3 4, a4 5ann 1數(shù)學(xué)歸納法證明之已知 a1 和遞推式，直接逐項(xiàng)求出 a2 a3 a4 。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出 an已知形如 Snf (n)采取手段利用： anSnSn1 注意檢驗(yàn)： a1S1已知形如 Snf

7、( an )采取手段利用： Sn 1f ( an 1 ) 再用 anSnSn 1已知形如 anan 1 f (n)采取手段是 a2a1f (1)a3a2 f (2)。的逐差累加法已知形如 anf (n) ，ananan 1an 2的逐商累乘法采取手段是an 2an 3an 11 an 1已知形如 an待定系數(shù)法qan 1c （ q,c為常數(shù)）采取手段是：構(gòu)造以q 為公比的等比數(shù)列，利用已知式中含有anan1 或 snsn 1 采取手段等式左右同除anan 1 或 snsn 1 ，構(gòu)造等差Ban數(shù)列已知式中形如: a1 A, an 1 ( A, B,C , D ) 為常數(shù) , 且 B C ) 求

8、數(shù)列的通項(xiàng)公式 Can D時(shí), 用左右同取倒數(shù)法。已知式中含有 an2ca n 1da n ，可變形為 a n 2 pa n 1 q( a n 1pan ) 的待定系數(shù)法，其中 qpc, qp d, ，構(gòu)造等比數(shù)列。已知式中含有an1kanf ( n) （ K 為常數(shù)）如果 f (n) 是指數(shù)式則 的處理手段是：同除 k n 1如 f (n) 是線性式則可對(duì)照待定系數(shù)法，設(shè)an 1k(n1)p2( anknp)學(xué)習(xí)必備歡迎下載求通項(xiàng)練習(xí) :（ 1） 已知數(shù)列an 中，首項(xiàng) a11,an 12ann ，求通項(xiàng)：（ an32n 1n 1）（ 2） 已知數(shù)列an 中，首項(xiàng) a11,an 12an2n

9、 ，求通項(xiàng)：（ ann2n1）1、已知數(shù)列an中， a11,an 1an，求通項(xiàng) an1nan2已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn ，且滿足 a14, ansn 12n2(n2) ，求 an的表達(dá)式。3 數(shù)列 an滿足 a13 , a22, 且 n2時(shí) sn13sn2sn 110 ，求通項(xiàng) an24數(shù)列 a中，若 sn1nan ，求通項(xiàng) ann5數(shù)列 a中， an, 且 an2 =2s，求通項(xiàng) ann>02n6已知數(shù)列a中， a9,且 滿足 an13an6.3n ,求通項(xiàng) ann17已知函數(shù)f (x) 2x2x , 且 數(shù)列 an滿足 f (log 2 an )2n ，求通項(xiàng) an8數(shù)列

10、 an滿足 a12a23a34a4.nann(n1)(n2) ，求通項(xiàng) an9數(shù)列 a中，已知 a0 ， an13an2n ，求通項(xiàng) ann151 an1n 110 數(shù)列 a中，已知 a1， an 1，求 ann63211 數(shù)列 an中，已知 a11 ，且 an2an91an，求通項(xiàng) an412 數(shù)列 an中,sn4an1，求通項(xiàng) ann22答案：（ 1）2（ 2）an32n2（ 3）2n21（ 4）1ann2n 2anann( n 1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載（5） an4n 2 （ 6） an(2 n 1) 3n（ 7）an2 1 n （ 8）an3n 3n（9） an2(3n12n 1 )（ 10） an6( 1 )n1(1) n123（11） an6n5( 觀察法與特征根法 )（12） ann2n12n 113. 已知數(shù)列 an中， a1 1