理論力學(xué)B(1)

1、.運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)-從幾何角度研究物體的運(yùn)動規(guī)律，如點(diǎn)從幾何角度研究物體的運(yùn)動規(guī)律，如點(diǎn)的運(yùn)動方程（軌跡）、速度、加速度，剛體的轉(zhuǎn)的運(yùn)動方程（軌跡）、速度、加速度，剛體的轉(zhuǎn)動方程，角速度、角加速度等動方程，角速度、角加速度等一、幾個(gè)重要概念一、幾個(gè)重要概念1.參考空間（參照系）參考空間（參照系）參考空間常與某物體（參照物）固連，參考空間常與某物體（參照物）固連，參照物參照物有限大，有限大，參考空間參考空間無限大無限大描述物體的運(yùn)動必須指明相對于哪個(gè)參考空間描述物體的運(yùn)動必須指明相對于哪個(gè)參考空間但但 參考空間參考空間 參照物參照物.動系動系svyx定系定系參考系與運(yùn)動描述參考系與運(yùn)動描述2.坐標(biāo)系

2、坐標(biāo)系 在參考空間中選定，如在參考空間中選定，如直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、 球坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、自然軸系自然軸系等。等。.3.運(yùn)動的描述運(yùn)動的描述運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)-根據(jù)已知的運(yùn)動學(xué)量求其他的運(yùn)動學(xué)量根據(jù)已知的運(yùn)動學(xué)量求其他的運(yùn)動學(xué)量（1）矢量法矢量法-在參考空間中選定原點(diǎn)，描述物體在參考空間中選定原點(diǎn)，描述物體 任意時(shí)刻的矢徑任意時(shí)刻的矢徑 簡單、直觀，矢量方程，結(jié)論只與參考空間有關(guān)簡單、直觀，矢量方程，結(jié)論只與參考空間有關(guān)（2）分析法）分析法-建立坐標(biāo)系，描述物體任意時(shí)刻的坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，描述物體任意時(shí)刻的坐標(biāo) 復(fù)雜，便于上機(jī)，標(biāo)量方程，結(jié)論依賴于坐標(biāo)系復(fù)雜，便于上機(jī)，標(biāo)量方程，

3、結(jié)論依賴于坐標(biāo)系由由運(yùn)動方程運(yùn)動方程(含時(shí)間含時(shí)間)或或運(yùn)動軌跡運(yùn)動軌跡(不含時(shí)間不含時(shí)間)描述。描述。任意時(shí)刻物體中任意質(zhì)點(diǎn)的空間位置任意時(shí)刻物體中任意質(zhì)點(diǎn)的空間位置. 1.1 約束約束 1.2 廣義坐標(biāo)與自由度廣義坐標(biāo)與自由度 1.3 點(diǎn)的一般運(yùn)動及其描述點(diǎn)的一般運(yùn)動及其描述 1.4 剛體運(yùn)動的分類剛體運(yùn)動的分類 1.5 剛體的基本運(yùn)動及其描述剛體的基本運(yùn)動及其描述.對于一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動如何描述？對于一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動如何描述？. 1.1 約束約束 約束是指物體的運(yùn)動所受到的幾何限制條件。約束是指物體的運(yùn)動所受到的幾何限制條件。自由物體自由物體-運(yùn)動不受其他物體限制運(yùn)動不受其他物體限制非自由物體

4、非自由物體-運(yùn)動受到周圍物體限制運(yùn)動受到周圍物體限制（1）柔繩約束，）柔繩約束， 剛性桿約束剛性桿約束.(2)光滑面約束光滑面約束.（3）光滑圓柱鉸鏈約束）光滑圓柱鉸鏈約束(4)光滑球鉸鏈約束光滑球鉸鏈約束BAC.（5）固定鉸支座）固定鉸支座.（6）活動鉸支座）活動鉸支座.(7)固定端（固支端）約束固定端（固支端）約束. 1.2 廣義坐標(biāo)與自由度廣義坐標(biāo)與自由度自由度自由度 S 廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)qi 確定物體在參考空間中位置確定物體在參考空間中位置的一組獨(dú)立的幾何參數(shù)的一組獨(dú)立的幾何參數(shù)系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的空間位置是系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的空間位置是qi的函數(shù)，的函數(shù)，系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)

5、的速度是系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的速度是qi和和 的函數(shù)，的函數(shù)，iq 系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的加速度是系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的加速度是qi、 和和 的函數(shù)的函數(shù)iq iq . 空間運(yùn)動空間運(yùn)動 平面運(yùn)動平面運(yùn)動 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 自由自由 S=3 S=2 非自由非自由 S3 S2 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn) 自由自由 S=3n S=2n 非自由非自由 S3n S2n剛體剛體無窮多質(zhì)點(diǎn)無窮多質(zhì)點(diǎn) 自由自由 S=6 S=3 非自由非自由 S6 S 0 a當(dāng)當(dāng) 指向未知時(shí)指向未知時(shí)假設(shè)假設(shè) 的指向?yàn)榈闹赶驗(yàn)閍aaea 0 假設(shè)方向?qū)僭O(shè)方向?qū) 0，則假方向設(shè)正確，若，則假方向設(shè)正確，若F0FF0F完全未知完全未知 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系

6、xyz，分解為，分解為zyxaaaa則則 為已知方位，未知指向和大小為已知方位，未知指向和大小zyxaaa,.3.矢量分析矢量分析運(yùn)動學(xué)中，常有矢量函數(shù)運(yùn)動學(xué)中，常有矢量函數(shù))(taa(1)矢量的導(dǎo)數(shù)矢量的導(dǎo)數(shù)ttattadtadt)()(lim0（2）矢量的微分）矢量的微分 ，常矢量常矢量 dtdtadad0ad（3）矢量微分的運(yùn)算規(guī)則，若）矢量微分的運(yùn)算規(guī)則，若)(),(taatmm332211332211332211)()()()()()()()(edaedaedaedaedaedaadtetatetatetataadmadmamd若若則則. 1.3 點(diǎn)的一般運(yùn)動及其描述點(diǎn)的一般運(yùn)動及其

7、描述一、點(diǎn)的運(yùn)動的矢量描述，矢量法一、點(diǎn)的運(yùn)動的矢量描述，矢量法研究對象：點(diǎn)研究對象：點(diǎn)M，選定參考空間及一參考點(diǎn)，選定參考空間及一參考點(diǎn)OMr)(trr點(diǎn)的運(yùn)動方程點(diǎn)的運(yùn)動方程 （1.1）點(diǎn)的運(yùn)動軌跡點(diǎn)的運(yùn)動軌跡 - 的矢端圖的矢端圖r1.點(diǎn)的運(yùn)動方程點(diǎn)的運(yùn)動方程2.點(diǎn)的速度、加速度點(diǎn)的速度、加速度（1.2）rdtrdv速度大小速度大小 ： ，速度方向：沿軌跡切線，速度方向：沿軌跡切線， 指向運(yùn)動方向指向運(yùn)動方向dtr dvv1v2v3v. （1.3）rdtvda 加速度大小加速度大小 加速度方向：速度矢端圖的切線方向加速度方向：速度矢端圖的切線方向rva 注意：注意： 都與參考空間有關(guān)都與

8、參考空間有關(guān))(),(),(tatvtr二、點(diǎn)的運(yùn)動的坐標(biāo)描述，分析法二、點(diǎn)的運(yùn)動的坐標(biāo)描述，分析法選定參考空間，建立坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系或其他）選定參考空間，建立坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系或其他）運(yùn)動方程運(yùn)動方程運(yùn)動軌跡運(yùn)動軌跡x=x(t)y=y(t) (1.4） z=z(t)平面運(yùn)動平面運(yùn)動.M為非自由質(zhì)點(diǎn)，為非自由質(zhì)點(diǎn)，S=2，可選擇廣義坐標(biāo)，可選擇廣義坐標(biāo)(t),(t)x=x( (t),(t) )y=y( (t),(t) ) (1.5)z=z( (t),(t) )OAB 速度速度 (1.6) zvyvxvzyx加速度加速度 (1.7)zzyyxxvzavyavxa .矢量法與分析法的關(guān)系矢量法與

9、分析法的關(guān)系位置位置： （1.8）ktzjtyitxtr)()()()(速度速度：kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdtvzyx)(（1.9）加速度加速度：kajaiakzj yi xdtvdtazyx )(（1.10）三、建立點(diǎn)的運(yùn)動方程的方法三、建立點(diǎn)的運(yùn)動方程的方法（1）建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系，明確研究對象，自由度，選定廣義坐，明確研究對象，自由度，選定廣義坐標(biāo)（多數(shù)選題中已給定隨時(shí)間變化規(guī)律的幾何參數(shù)）。標(biāo)（多數(shù)選題中已給定隨時(shí)間變化規(guī)律的幾何參數(shù)）。（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，并將廣義坐）將點(diǎn)的坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，并將廣義坐標(biāo)隨標(biāo)隨 時(shí)間變化的規(guī)律代入。時(shí)

10、間變化的規(guī)律代入。（3）進(jìn)一步，由運(yùn)動方程求導(dǎo)可求速度、加速度。）進(jìn)一步，由運(yùn)動方程求導(dǎo)可求速度、加速度。.例例1.2解：研究對象為小環(huán)解：研究對象為小環(huán)M（質(zhì)點(diǎn)）（質(zhì)點(diǎn)）M的自由度為的自由度為1，選廣義坐標(biāo)為，選廣義坐標(biāo)為 （1）將參考空間與大圓環(huán)固連，建立）將參考空間與大圓環(huán)固連，建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系Oxy運(yùn)動方程運(yùn)動方程xM=OMcos =2Rcos cos =R(1+ cos 2 t ) yM=OMsin =2Rcos sin =Rsin2 t 相對于大圓環(huán)的速度相對于大圓環(huán)的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM小環(huán)小環(huán)M同時(shí)套在直桿同時(shí)套在直桿OB和大圓

11、環(huán)（半徑為和大圓環(huán)（半徑為R）上，大圓環(huán)固定不動，直桿繞上，大圓環(huán)固定不動，直桿繞O軸定軸轉(zhuǎn)動，軸定軸轉(zhuǎn)動， t , 分別求小環(huán)相對于大圓環(huán)和直桿的速分別求小環(huán)相對于大圓環(huán)和直桿的速 度、加速度。度、加速度。.相對于大圓環(huán)相對于大圓環(huán) 的加速度的加速度tRvatRvaMyMyMxMx2sin42cos422小環(huán)相對于大圓環(huán)：小環(huán)相對于大圓環(huán)：)2sin2(cos4)2cos2(sin22j ti tRaj ti tRvMM22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222相對于大圓環(huán)的速度相對于大圓環(huán)的速度tRyv

12、tRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM.相對于直桿的加速度相對于直桿的加速度0cos22MyMyMxMxvatRva小環(huán)相對于直桿小環(huán)相對于直桿：i tRai tRvMMcos2sin22相對于直桿的速度相對于直桿的速度0sin2MMyMMxyvtRxv（2)將參考空間與直桿固連，建立坐標(biāo)系將參考空間與直桿固連，建立坐標(biāo)系Oxy運(yùn)動方程運(yùn)動方程0cos2MMytROMxOO1xyxyBM.小環(huán)相對于直桿小環(huán)相對于直桿：i tRai tRvMMcos2sin22OO1xyxyMBMvMa2=2tMvMa22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaa

13、RaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222小環(huán)相對于大圓環(huán)小環(huán)相對于大圓環(huán).繩的一端連在小車的A點(diǎn)上另一端跨過B點(diǎn)的小滑輪繞在鼓輪C上，滑輪離地的高度為h。若小車以勻速度v沿著水平方向向右運(yùn)動，求當(dāng) 時(shí)B、C之間繩上一點(diǎn)P的速度和加速度。45hPCABxv.PvlPalsinxltanxh幾何關(guān)系：2secv hsincospvvl2sincospvvcoshlcoslvsin2/2pvvv2232cos4vvhhcospav對時(shí)間求導(dǎo)hPCABxvPvl.1.4 自然軸系（弧坐標(biāo)系）自然軸系（弧坐標(biāo)系）當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M在一條在一條上運(yùn)動時(shí)，常選擇該曲線作為上運(yùn)動時(shí)，常選擇該曲線作為自

14、然坐標(biāo)軸描述自然坐標(biāo)軸描述M的運(yùn)動。的運(yùn)動。一、自然軸系的建立，運(yùn)動方程，運(yùn)動軌跡一、自然軸系的建立，運(yùn)動方程，運(yùn)動軌跡設(shè)已知點(diǎn)設(shè)已知點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為空間曲線的運(yùn)動軌跡為空間曲線 ，其，其方程為方程為f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0 (1.11）選擇曲線上的弧長選擇曲線上的弧長S為廣義為廣義坐標(biāo)：任選曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)：任選曲線上一點(diǎn)，。O1S(+)S(-)MS S=S(t) (1.12).空空間間曲曲線線的的密密切切面面.二、關(guān)于曲線幾何性質(zhì)的預(yù)備知識二、關(guān)于曲線幾何性質(zhì)的預(yù)備知識設(shè)空間曲線上任意一點(diǎn)設(shè)空間曲線上任意一點(diǎn)P1.切線切線PT: 單位矢單位矢 ，正向?yàn)?，正向?yàn)镾正向正向t

15、edsrdet（1.13）2. 法平面：過法平面：過P點(diǎn)垂直于切線的平面點(diǎn)垂直于切線的平面3. 密切面：過密切面：過P點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線PT，且與法平面垂直，且與法平面垂直4. 主法線主法線PN：密切面與法平：密切面與法平 面的交線，單位矢面的交線，單位矢 ，正，正 向?yàn)橹赶蚯€曲率中心向?yàn)橹赶蚯€曲率中心ne 即即P點(diǎn)的弧段點(diǎn)的弧段ds所在平面，對平面曲線，密切面就是曲線所在平面，對平面曲線，密切面就是曲線ds所在的平面。所在的平面。構(gòu)成構(gòu)成P點(diǎn)的自然軸系基矢點(diǎn)的自然軸系基矢bneee,從切面從切面5.副法線副法線PB：垂直于：垂直于PT與與PN，單位矢為單位矢為 ， bentbeee(1.1

16、4).注意：自然軸系基矢量注意：自然軸系基矢量 ，但但bneee,.可視為切線可視為切線 繞副法線繞副法線 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角tebe6. 曲率曲率曲率曲率-曲線在曲線在P點(diǎn)處無限小弧段點(diǎn)處無限小弧段ds(位于密切面內(nèi)位于密切面內(nèi))的彎的彎曲程度曲程度dSdSkslim0(1.15)曲率半徑曲率半徑ddSk1（1.16） tenenete.1sset(1.18)三、點(diǎn)的速度、加速度在自然軸系中的投影三、點(diǎn)的速度、加速度在自然軸系中的投影點(diǎn)的運(yùn)動方程點(diǎn)的運(yùn)動方程 S=S(t)點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 (1.19)te sdtdsdsrddtrdv00bntvvsv(1.20) tenenetete.點(diǎn)的加速度

17、點(diǎn)的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)ntedsed1(1.18)曲率半徑曲率半徑ddSk1（1.16）.點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)022bntavsasa (1.22)沿該點(diǎn)切線沿該點(diǎn)切線方向方向沿該點(diǎn)主法線沿該點(diǎn)主法線方向方向位于該點(diǎn)位于該點(diǎn)密切面內(nèi)密切面內(nèi)切向加速度切向加速度全加速度全加速度ta法向加速度法向加速度ana.22vsavsant anatavssv.若已知若已知v

18、(t), a(t),則則22tntaaava 四、其他坐標(biāo)系四、其他坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、極坐標(biāo)（參見教科書）柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、極坐標(biāo)（參見教科書）全加速度的大小全加速度的大小222222tan)(ssaassaaantnt 方向方向 為全加速度矢量為全加速度矢量與主法向的夾角與主法向的夾角anatavs.例例1.3 同例同例1.2，試求小環(huán)的速度、加速度在自然軸系，試求小環(huán)的速度、加速度在自然軸系中的投影。中的投影。 已知已知 （1）t (2) A sin t 1）當(dāng)）當(dāng)t 運(yùn)動方程運(yùn)動方程S(t)=M0M=2R= 2Rt 方向如圖方向如圖tteRvRsvv22 方向如圖方向如圖222224

19、40RRRvsavsant nneRaa24OO1xyB 解：小環(huán)相對于固定參考空解：小環(huán)相對于固定參考空間的軌跡為大圓環(huán)，取間的軌跡為大圓環(huán)，取t=0時(shí)時(shí)小環(huán)的位置小環(huán)的位置M0為原點(diǎn)，逆時(shí)為原點(diǎn)，逆時(shí)針方向針方向S為正。為正。va.OO1xyB 2)當(dāng)當(dāng)A sin t S(t)=2R2RA sin t tARtRARvatARsvatARsvvntt222222222cos4cos4sin2cos2 nttaaae tARvcos2vatana.需要注意的幾個(gè)問題需要注意的幾個(gè)問題3、解題過程一定要、解題過程一定要速度、加速度方向和符速度、加速度方向和符 號。號。2、速度、加速度均為矢量，一定要表、速度、加速度均為矢量，一定要表 示清楚其示清楚其和和。. 1.4 剛體運(yùn)動的分類剛體運(yùn)動的分類1. 平移平移(平動平動)剛體上任意一條直線在運(yùn)動中始終平行。各點(diǎn)的剛體上任意一條直線在運(yùn)動中始終平行。各點(diǎn)的軌跡都相同（各點(diǎn)的速度、加速度都相同）。軌跡都相同（各