理論力學B(1)

1、.運動學運動學-從幾何角度研究物體的運動規(guī)律，如點從幾何角度研究物體的運動規(guī)律，如點的運動方程（軌跡）、速度、加速度，剛體的轉(zhuǎn)的運動方程（軌跡）、速度、加速度，剛體的轉(zhuǎn)動方程，角速度、角加速度等動方程，角速度、角加速度等一、幾個重要概念一、幾個重要概念1.參考空間（參照系）參考空間（參照系）參考空間常與某物體（參照物）固連，參考空間常與某物體（參照物）固連，參照物參照物有限大，有限大，參考空間參考空間無限大無限大描述物體的運動必須指明相對于哪個參考空間描述物體的運動必須指明相對于哪個參考空間但但 參考空間參考空間 參照物參照物.動系動系svyx定系定系參考系與運動描述參考系與運動描述2.坐標系

2、坐標系 在參考空間中選定，如在參考空間中選定，如直角坐標系直角坐標系、柱坐標系、柱坐標系、 球坐標系、球坐標系、自然軸系自然軸系等。等。.3.運動的描述運動的描述運動學運動學-根據(jù)已知的運動學量求其他的運動學量根據(jù)已知的運動學量求其他的運動學量（1）矢量法矢量法-在參考空間中選定原點，描述物體在參考空間中選定原點，描述物體 任意時刻的矢徑任意時刻的矢徑 簡單、直觀，矢量方程，結(jié)論只與參考空間有關(guān)簡單、直觀，矢量方程，結(jié)論只與參考空間有關(guān)（2）分析法）分析法-建立坐標系，描述物體任意時刻的坐標建立坐標系，描述物體任意時刻的坐標 復(fù)雜，便于上機，標量方程，結(jié)論依賴于坐標系復(fù)雜，便于上機，標量方程，

3、結(jié)論依賴于坐標系由由運動方程運動方程(含時間含時間)或或運動軌跡運動軌跡(不含時間不含時間)描述。描述。任意時刻物體中任意質(zhì)點的空間位置任意時刻物體中任意質(zhì)點的空間位置. 1.1 約束約束 1.2 廣義坐標與自由度廣義坐標與自由度 1.3 點的一般運動及其描述點的一般運動及其描述 1.4 剛體運動的分類剛體運動的分類 1.5 剛體的基本運動及其描述剛體的基本運動及其描述.對于一個系統(tǒng)的運動如何描述？對于一個系統(tǒng)的運動如何描述？. 1.1 約束約束 約束是指物體的運動所受到的幾何限制條件。約束是指物體的運動所受到的幾何限制條件。自由物體自由物體-運動不受其他物體限制運動不受其他物體限制非自由物體

4、非自由物體-運動受到周圍物體限制運動受到周圍物體限制（1）柔繩約束，）柔繩約束， 剛性桿約束剛性桿約束.(2)光滑面約束光滑面約束.（3）光滑圓柱鉸鏈約束）光滑圓柱鉸鏈約束(4)光滑球鉸鏈約束光滑球鉸鏈約束BAC.（5）固定鉸支座）固定鉸支座.（6）活動鉸支座）活動鉸支座.(7)固定端（固支端）約束固定端（固支端）約束. 1.2 廣義坐標與自由度廣義坐標與自由度自由度自由度 S 廣義坐標的個數(shù)廣義坐標的個數(shù)廣義坐標廣義坐標qi 確定物體在參考空間中位置確定物體在參考空間中位置的一組獨立的幾何參數(shù)的一組獨立的幾何參數(shù)系統(tǒng)中各質(zhì)點的空間位置是系統(tǒng)中各質(zhì)點的空間位置是qi的函數(shù)，的函數(shù)，系統(tǒng)中各質(zhì)點

5、的速度是系統(tǒng)中各質(zhì)點的速度是qi和和 的函數(shù)，的函數(shù)，iq 系統(tǒng)中各質(zhì)點的加速度是系統(tǒng)中各質(zhì)點的加速度是qi、 和和 的函數(shù)的函數(shù)iq iq . 空間運動空間運動 平面運動平面運動 質(zhì)點質(zhì)點 自由自由 S=3 S=2 非自由非自由 S3 S2 質(zhì)點系質(zhì)點系n個質(zhì)點個質(zhì)點 自由自由 S=3n S=2n 非自由非自由 S3n S2n剛體剛體無窮多質(zhì)點無窮多質(zhì)點 自由自由 S=6 S=3 非自由非自由 S6 S 0 a當當 指向未知時指向未知時假設(shè)假設(shè) 的指向為的指向為aaaea 0 假設(shè)方向?qū)僭O(shè)方向?qū) 0，則假方向設(shè)正確，若，則假方向設(shè)正確，若F0FF0F完全未知完全未知 建立坐標系建立坐標系

6、xyz，分解為，分解為zyxaaaa則則 為已知方位，未知指向和大小為已知方位，未知指向和大小zyxaaa,.3.矢量分析矢量分析運動學中，常有矢量函數(shù)運動學中，常有矢量函數(shù))(taa(1)矢量的導(dǎo)數(shù)矢量的導(dǎo)數(shù)ttattadtadt)()(lim0（2）矢量的微分）矢量的微分 ，常矢量常矢量 dtdtadad0ad（3）矢量微分的運算規(guī)則，若）矢量微分的運算規(guī)則，若)(),(taatmm332211332211332211)()()()()()()()(edaedaedaedaedaedaadtetatetatetataadmadmamd若若則則. 1.3 點的一般運動及其描述點的一般運動及其

7、描述一、點的運動的矢量描述，矢量法一、點的運動的矢量描述，矢量法研究對象：點研究對象：點M，選定參考空間及一參考點，選定參考空間及一參考點OMr)(trr點的運動方程點的運動方程 （1.1）點的運動軌跡點的運動軌跡 - 的矢端圖的矢端圖r1.點的運動方程點的運動方程2.點的速度、加速度點的速度、加速度（1.2）rdtrdv速度大小速度大小 ： ，速度方向：沿軌跡切線，速度方向：沿軌跡切線， 指向運動方向指向運動方向dtr dvv1v2v3v. （1.3）rdtvda 加速度大小加速度大小 加速度方向：速度矢端圖的切線方向加速度方向：速度矢端圖的切線方向rva 注意：注意： 都與參考空間有關(guān)都與

8、參考空間有關(guān))(),(),(tatvtr二、點的運動的坐標描述，分析法二、點的運動的坐標描述，分析法選定參考空間，建立坐標系（直角坐標系或其他）選定參考空間，建立坐標系（直角坐標系或其他）運動方程運動方程運動軌跡運動軌跡x=x(t)y=y(t) (1.4） z=z(t)平面運動平面運動.M為非自由質(zhì)點，為非自由質(zhì)點，S=2，可選擇廣義坐標，可選擇廣義坐標(t),(t)x=x( (t),(t) )y=y( (t),(t) ) (1.5)z=z( (t),(t) )OAB 速度速度 (1.6) zvyvxvzyx加速度加速度 (1.7)zzyyxxvzavyavxa .矢量法與分析法的關(guān)系矢量法與

9、分析法的關(guān)系位置位置： （1.8）ktzjtyitxtr)()()()(速度速度：kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdtvzyx)(（1.9）加速度加速度：kajaiakzj yi xdtvdtazyx )(（1.10）三、建立點的運動方程的方法三、建立點的運動方程的方法（1）建立坐標系建立坐標系，明確研究對象，自由度，選定廣義坐，明確研究對象，自由度，選定廣義坐標（多數(shù)選題中已給定隨時間變化規(guī)律的幾何參數(shù)）。標（多數(shù)選題中已給定隨時間變化規(guī)律的幾何參數(shù)）。（2）將點的坐標表示為廣義坐標的函數(shù)，并將廣義坐）將點的坐標表示為廣義坐標的函數(shù)，并將廣義坐標隨標隨 時間變化的規(guī)律代入。時

10、間變化的規(guī)律代入。（3）進一步，由運動方程求導(dǎo)可求速度、加速度。）進一步，由運動方程求導(dǎo)可求速度、加速度。.例例1.2解：研究對象為小環(huán)解：研究對象為小環(huán)M（質(zhì)點）（質(zhì)點）M的自由度為的自由度為1，選廣義坐標為，選廣義坐標為 （1）將參考空間與大圓環(huán)固連，建立）將參考空間與大圓環(huán)固連，建立坐標系坐標系Oxy運動方程運動方程xM=OMcos =2Rcos cos =R(1+ cos 2 t ) yM=OMsin =2Rcos sin =Rsin2 t 相對于大圓環(huán)的速度相對于大圓環(huán)的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM小環(huán)小環(huán)M同時套在直桿同時套在直桿OB和大圓

11、環(huán)（半徑為和大圓環(huán)（半徑為R）上，大圓環(huán)固定不動，直桿繞上，大圓環(huán)固定不動，直桿繞O軸定軸轉(zhuǎn)動，軸定軸轉(zhuǎn)動， t , 分別求小環(huán)相對于大圓環(huán)和直桿的速分別求小環(huán)相對于大圓環(huán)和直桿的速 度、加速度。度、加速度。.相對于大圓環(huán)相對于大圓環(huán) 的加速度的加速度tRvatRvaMyMyMxMx2sin42cos422小環(huán)相對于大圓環(huán)：小環(huán)相對于大圓環(huán)：)2sin2(cos4)2cos2(sin22j ti tRaj ti tRvMM22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222相對于大圓環(huán)的速度相對于大圓環(huán)的速度tRyv

12、tRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM.相對于直桿的加速度相對于直桿的加速度0cos22MyMyMxMxvatRva小環(huán)相對于直桿小環(huán)相對于直桿：i tRai tRvMMcos2sin22相對于直桿的速度相對于直桿的速度0sin2MMyMMxyvtRxv（2)將參考空間與直桿固連，建立坐標系將參考空間與直桿固連，建立坐標系Oxy運動方程運動方程0cos2MMytROMxOO1xyxyBM.小環(huán)相對于直桿小環(huán)相對于直桿：i tRai tRvMMcos2sin22OO1xyxyMBMvMa2=2tMvMa22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaa

13、RaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222小環(huán)相對于大圓環(huán)小環(huán)相對于大圓環(huán).繩的一端連在小車的A點上另一端跨過B點的小滑輪繞在鼓輪C上，滑輪離地的高度為h。若小車以勻速度v沿著水平方向向右運動，求當 時B、C之間繩上一點P的速度和加速度。45hPCABxv.PvlPalsinxltanxh幾何關(guān)系：2secv hsincospvvl2sincospvvcoshlcoslvsin2/2pvvv2232cos4vvhhcospav對時間求導(dǎo)hPCABxvPvl.1.4 自然軸系（弧坐標系）自然軸系（弧坐標系）當點當點M在一條在一條上運動時，常選擇該曲線作為上運動時，常選擇該曲線作為自

14、然坐標軸描述自然坐標軸描述M的運動。的運動。一、自然軸系的建立，運動方程，運動軌跡一、自然軸系的建立，運動方程，運動軌跡設(shè)已知點設(shè)已知點M的運動軌跡為空間曲線的運動軌跡為空間曲線 ，其，其方程為方程為f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0 (1.11）選擇曲線上的弧長選擇曲線上的弧長S為廣義為廣義坐標：任選曲線上一點坐標：任選曲線上一點，。O1S(+)S(-)MS S=S(t) (1.12).空空間間曲曲線線的的密密切切面面.二、關(guān)于曲線幾何性質(zhì)的預(yù)備知識二、關(guān)于曲線幾何性質(zhì)的預(yù)備知識設(shè)空間曲線上任意一點設(shè)空間曲線上任意一點P1.切線切線PT: 單位矢單位矢 ，正向為，正向為S正向正向t

15、edsrdet（1.13）2. 法平面：過法平面：過P點垂直于切線的平面點垂直于切線的平面3. 密切面：過密切面：過P點的切線點的切線PT，且與法平面垂直，且與法平面垂直4. 主法線主法線PN：密切面與法平：密切面與法平 面的交線，單位矢面的交線，單位矢 ，正，正 向為指向曲線曲率中心向為指向曲線曲率中心ne 即即P點的弧段點的弧段ds所在平面，對平面曲線，密切面就是曲線所在平面，對平面曲線，密切面就是曲線ds所在的平面。所在的平面。構(gòu)成構(gòu)成P點的自然軸系基矢點的自然軸系基矢bneee,從切面從切面5.副法線副法線PB：垂直于：垂直于PT與與PN，單位矢為單位矢為 ， bentbeee(1.1

16、4).注意：自然軸系基矢量注意：自然軸系基矢量 ，但但bneee,.可視為切線可視為切線 繞副法線繞副法線 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角tebe6. 曲率曲率曲率曲率-曲線在曲線在P點處無限小弧段點處無限小弧段ds(位于密切面內(nèi)位于密切面內(nèi))的彎的彎曲程度曲程度dSdSkslim0(1.15)曲率半徑曲率半徑ddSk1（1.16） tenenete.1sset(1.18)三、點的速度、加速度在自然軸系中的投影三、點的速度、加速度在自然軸系中的投影點的運動方程點的運動方程 S=S(t)點的速度點的速度 (1.19)te sdtdsdsrddtrdv00bntvvsv(1.20) tenenetete.點的加速度

17、點的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)ntedsed1(1.18)曲率半徑曲率半徑ddSk1（1.16）.點的加速度點的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)022bntavsasa (1.22)沿該點切線沿該點切線方向方向沿該點主法線沿該點主法線方向方向位于該點位于該點密切面內(nèi)密切面內(nèi)切向加速度切向加速度全加速度全加速度ta法向加速度法向加速度ana.22vsavsant anatavssv.若已知若已知v

18、(t), a(t),則則22tntaaava 四、其他坐標系四、其他坐標系 柱坐標、球坐標、極坐標（參見教科書）柱坐標、球坐標、極坐標（參見教科書）全加速度的大小全加速度的大小222222tan)(ssaassaaantnt 方向方向 為全加速度矢量為全加速度矢量與主法向的夾角與主法向的夾角anatavs.例例1.3 同例同例1.2，試求小環(huán)的速度、加速度在自然軸系，試求小環(huán)的速度、加速度在自然軸系中的投影。中的投影。 已知已知 （1）t (2) A sin t 1）當）當t 運動方程運動方程S(t)=M0M=2R= 2Rt 方向如圖方向如圖tteRvRsvv22 方向如圖方向如圖222224

19、40RRRvsavsant nneRaa24OO1xyB 解：小環(huán)相對于固定參考空解：小環(huán)相對于固定參考空間的軌跡為大圓環(huán)，取間的軌跡為大圓環(huán)，取t=0時時小環(huán)的位置小環(huán)的位置M0為原點，逆時為原點，逆時針方向針方向S為正。為正。va.OO1xyB 2)當當A sin t S(t)=2R2RA sin t tARtRARvatARsvatARsvvntt222222222cos4cos4sin2cos2 nttaaae tARvcos2vatana.需要注意的幾個問題需要注意的幾個問題3、解題過程一定要、解題過程一定要速度、加速度方向和符速度、加速度方向和符 號。號。2、速度、加速度均為矢量，一定要表、速度、加速度均為矢量，一定要表 示清楚其示清楚其和和。. 1.4 剛體運動的分類剛體運動的分類1. 平移平移(平動平動)剛體上任意一條直線在運動中始終平行。各點的剛體上任意一條直線在運動中始終平行。各點的軌跡都相同（各點的速度、加速度都相同）。軌跡都相同（各