二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布2第1頁/共31頁3若若X和和Y相互獨立相互獨立,則有則有 kjizyxgjikyYxXPzZP),(, kjizyxgjikyYPxXPzZP),(第2頁/共31頁4例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為:X Y 1 1 2 2 1 01/12 2/12 2/121/12 1/12 02/12 1/12 2/12試求試求Z=X+Y的分布律的分布律第3頁/共31頁5解解: 由已知由已知,可得可得:(X,Y)( 2, 1) ( 2,1) ( 2,2) ( 1, 1) P1/12 2/12 2/12 1/12Z 3 1 0 2(X,Y)

2、( 1,1) ( 1,2) (0, 1) (0, 1) (0,2)P 1/12 0 2/12 1/12 2/12Z0 1 1 1 2第4頁/共31頁6Z=X+Y的分布律為的分布律為:Z 3 2 1 0 1 2P1/12 1/12 4/12 3/12 1/12 2/12第5頁/共31頁7 即即Z的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是(X,Y)落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域D: g(x,y)z的概率的概率FZ(z)=PZz =Pg(X,Y)z zyxgDdxdyyxf),( :),( fZ(z)=F Z(z)第6頁/共31頁8 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y), 求求Z=X+Y的的密度密度. 解解: Z=

3、X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.2. Z=X+Y型分布型分布第7頁/共31頁9 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序第8頁/共31頁10由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系

4、由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率密度為的概率密度為: 由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()(第9頁/共31頁11 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨立，設(shè)獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣的邊緣密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個公式稱為卷積公式這兩個公式稱為卷

5、積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求Z=X+Y的概率密度的概率密度第10頁/共31頁12例例2 設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨立的隨機(jī)變量是相互獨立的隨機(jī)變量,且且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).試求試求:Z=X+Y的概率密度的概率密度解解: xexfxX ,21)(22 yeyfyY ,21)(22 FZ(z)=PZz=PX+Yz zyxdxdyyxf),(第11頁/共31頁1322221)()(),(yxYXeyfxfyxf xyx+y=zdyedxzFxzyxZ 22221)( 令令y=t x則則dtedxzFzxtxZ2)(

6、2221)(第12頁/共31頁14dtdxezxtx 212)(22 dxezfxzxZ 2)(2221)( dxezxzx 2222221 dxeezxz 22)2(421 令令2zxm 第13頁/共31頁15則則dmeezfmzZ 22421)( 4221ze 4221ze )121( 22)2(2122122)2(22 dxemdexm 利用利用可見，可見，ZN(0, 2)分布分布 第14頁/共31頁16 一般一般, X與與Y相互獨立相互獨立,且且 XN( 1, 12), YN( 2, 22)則則Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布,且且 ZN( 1+ 2, 12+ 22), 還可

7、推廣還可推廣: 有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布第15頁/共31頁17例例3 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨立相互獨立,它們的概率密度它們的概率密度分別為分別為:試求試求: Z=X+Y的概率密度的概率密度解解: zyxZdxdyyxfzF),()( 0 , 00 ,)(; , 010 , 1)(yyeyfxxfyYX其其它它 其其它它 , 00, 10 ,)()(),(yxeyfxfyxfyYX第16頁/共31頁18當(dāng)當(dāng)z0時時,當(dāng)當(dāng)0z0時時,dxedyzFzyyxZ 0)2(02)(dyeezyy 02)1(2z 221FZ(

8、z)=0 其其它它 , 00, 0,2)()(),()2(yxeyfxfyxfyxYX第24頁/共31頁26 0 , 00 ,)2(2)()(2zzzzFzfZZ第25頁/共31頁27FZ(z)=PZz若若X與與Y相互獨立相互獨立 則則FZ(z)=PXzPYz=FX(z)FY(z)=PXz,Yz第26頁/共31頁28FZ(z)=PZz =1 PZz=1 PXz,Yz若若X與與Y相互獨立相互獨立 則則 FZ(z)=1 PXzPYz=1 1 PXz1 PYz=1 1 FX(z)1 FY(z)第27頁/共31頁29例例5 對某種電子裝置的輸出測量了對某種電子裝置的輸出測量了5次次,得到的觀察值為得到

9、的觀察值為X1, X2, X3, X4, X5,設(shè)它們設(shè)它們是相互獨立的裝置是相互獨立的裝置,且都服從同一分布且都服從同一分布 試求試求: Z=maxX1, X2, X3, X4, X54的概率的概率 0 , 00 ,1)(82zzezFz第28頁/共31頁30PZ4=1 PZ4=1 FZ(4)由已知由已知 ,有有FZ(z)=F(z)5則則PZ4=1 F(4)5=1 (1 e2)5解解:第29頁/共31頁311.要理解二維隨機(jī)變量的概念及其分布函要理解二維隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)的定義及性質(zhì)數(shù)的定義及性質(zhì)3.要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系聯(lián)合分布的關(guān)系2.會求二維離散型隨