二節(jié)可測函數(shù)的收斂PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1二節(jié)可測函數(shù)的收斂二節(jié)可測函數(shù)的收斂使得且存在如果有關(guān)的命題中點是與設(shè) , , 0 . , eEexEE. (2) )( ) 1 (meeE上恒成立；在. 上幾乎成立或基本成立在則稱E. , :反之不成立上幾乎成立在則上幾乎處處成立在若注EE如：狄利克雷函數(shù)是幾乎連續(xù)的，但不是幾乎處處連續(xù).第1頁/共20頁| )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收斂: 記作| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有注：近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個控制 近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn

2、Effn 于點點收斂: 記作ffn第2頁/共20頁Eeaffn于.feEEfmeEen上一致收斂于在使得可測子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可測子集即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂即：去掉某個?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂Euaffn于.0 ffnE第3頁/共20頁Effn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m第4頁/共20頁|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收斂于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m第5頁/共20頁.) , 2 , 1(, 有限

3、的可測函數(shù)上是定義在可測集下面都假設(shè)eaEnffn. . , . 1EeaffEuaffnn于則于若：定理注: 定理1表明幾乎一致收斂比幾乎處處收斂強第6頁/共20頁使得且于是于由于 , , ,. kkneEekEuaff.1 )2 ; ) 1kmefeEfkkn上一致收斂在則令 , 1kkeP) , 2 , 1( 1)()(1kkememmPkkk而的任意性得由 . 0 :mPk111)()()(kkkckckkceEeEeEPEPE),( , , , )(001nffeExkeEPExnkkk從而使得于是. Eeaffn于所以證明： 第7頁/共20頁例：函數(shù)列fn(x)=xn在(0,1)上

4、處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-,1),在留下的集合上一致收斂1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn第8頁/共20頁, mE設(shè)Euaffn于則. ,. Eeaffn于若. ,)(, , 0feEEfemEen上一致收斂于在使得可測子集即第9頁/共20頁證明：首先證明一個引理., mE設(shè)|. .0,lim()0nnffNn Nff a eEmE若于，則有111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfx引理：111 :( )( ) :|( )( )|nnkkNn Nx fxf xxfxf x不收斂于證明這個引

5、理要用到下面的結(jié)論knknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有11( )( ):1,1,|( )( )|nnkkfxf xNnNfxf x 不收斂使第10頁/共20頁)(|1|*nfnfEEE由于 為零測度集，故不妨令 fn ，f在E上處處有限，從而有：下面證明引理0)(0.|111knnffNnNkffnEmmEEeaff于)(0)()(0)(|11|11ffNnNkffNnNnknEmEm0)()lim()(lim, 0|1|ffNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有時，從而當關(guān)于N單調(diào)減小第11頁/共20頁0)(lim , 0 :| f

6、fNnNnEm有由引理知11|20,0,0,()knkkkkffn NNmE從而有,)( ),(21|1|111kknkknkkffNnkffNnkEmmeEeeEe且可測，則令)(|11knkffNnkcEeEeEE而)()(| )()(|11xfExfxfxfExNnNnknkkk一致收斂到在上即，有，故第12頁/共20頁. Egoroff不可少定理中條件mE定義函數(shù)列設(shè) ), , 0( E, 2 , 1 ) , 0) , 0( 1)(nnxnxxfn注：如：1. ),( 1 不是幾乎一致收斂于然而易知：fnfn), , 0( , 1)( , 1, 00nenemeEe使得存在時當且因為時

7、當取于是 ) , ,max, ,21 ,) , 00eEnxnNnNeEn1| 1)(|xfn第13頁/共20頁結(jié)合定理1和定理2，我們有下面結(jié)論結(jié)論：則設(shè) , mEEuaffEeaffnn于于. . 注：這個結(jié)論也為后面的L積分與極限交換只要求函數(shù)列幾乎處處收斂提供了理論基礎(chǔ)，也進一步說明L積分比R積分優(yōu)越.第14頁/共20頁. , . 3EffEuaffnn于則于若：定理使得且則于由于 , , 0 ,. eEeEuaffn. )2 ; ) 1mefeEfn上一致收斂在恒有時當于是 , , , , 0 eExNnN | )()(|xfxfn從而時即當 , , |eENnffn , |memE

8、ffn. Effn于所以證明：注: 定理3表明幾乎一致收斂比依測度收斂強第15頁/共20頁. , , nEeaffffEffjjnnn于使得的子序列則存在于若定理4： (黎斯(Riesz)定理)注: 黎斯定理只是說明依測度收斂的函數(shù)列存在幾乎處處收斂的子函數(shù)列，并不能保證整個函數(shù)列幾乎處處收斂，而且我們完全可以找到一個依測度收斂但不是幾乎處處收斂的函數(shù)列.如教材P92 第16頁/共20頁證明：1121|2,0,knknkkffffEkNnNE由于可知有m(*)0)(lim|ffNkNknEm從而Eeaffkn于故.Euaffkn于.1121|2(1,2,3,)knkkffmEk從而可取得n1 n2 n3 nk0， ,有第17頁/共20頁Eeaffn于若.Effn于，則 , mE設(shè)證明： 由定理