向量的點積與叉積學(xué)習資料

1、向量的點積與叉積高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-82 2第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積、向量積與混合積數(shù)量積、向量積與混合積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積ABF ABWFAB cos,F ABF AB |cos,a baba b 定義定義| ()()ababba b a 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-86

2、 6解：解：(2) Pr3bj a 3(1);4 例例3 證明三角函數(shù)的余弦定理：證明三角函數(shù)的余弦定理：2222coscabab 證明：證明： 如圖如圖ABCbac例例4 4 在在xoy平面上，求一單位向量，使它與平面上，求一單位向量，使它與aijk 垂直。垂直。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-87 7二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積力矩力矩M 方向：向外（擰松）方向：向外（擰松）支點支點OA作用點作用點力力F 力臂力臂l大?。捍笮。簊in,MFlF OAF OA 支點支點OA作用點作用點力力F 力臂力臂l向內(nèi)（擰緊）向內(nèi)（擰緊）方向總是

3、依方向總是依 成右手系，且垂直于成右手系，且垂直于 平面。平面。,OA F M ,OA F 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-88 8定義定義cab cab 模：模：|sin,cababa b 方向：方向：,ca b 。所所定定的的平平面面, ,a b c 。依依序序成成右右手手系系向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”。Sab a b cab 幾何解釋：幾何解釋：高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-89 9向量積的性質(zhì)：向量積的性質(zhì)：(1)0aa )0sin0( ba)2(/0ab ab

4、 yzxxyzaaabbb(3)0;,;,iijjkkijkjkikijjikkjiikj 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81010向量積滿足下列運算規(guī)律向量積滿足下列運算規(guī)律（1）abba （2）()abcacbc（3）()()()ababab 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ()()()yzzyzxxzxyyxa ba bia ba bja ba bk 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12

5、-811 11向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示()()()yzzyzxxzxyyxxyzxyzaba ba bia ba bja ba b kijkaaabbb 記住：欲求同時垂直于記?。河笸瑫r垂直于 的向量，請用叉積吧！的向量，請用叉積吧！ab 、()0abc, ,a b c 共共面面稱為稱為 的的混合積混合積。, ,a b c 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81212解：解：12ABCSABAC 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81313解：解：sin,mnm nm

6、n 4 2 18 ()mnp 8 3 124 |cos,mnpmn p |cos0mnp ()mnp 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81414例例9 9 設(shè)設(shè) 則則 共面。共面。 0,abbcca , ,a b c 證法一：證法一：0abbcca abcbac()acbac ,bac 又又,aaccac , ,a b c 共面。共面。證法二：證法二：0abbcca 的兩端點乘的兩端點乘c ()0abc , ,a b c 。共共面面高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81515()Pra ba bj

7、c h S V |()|abc hc b a ab S=|a b|混合混合積的幾何意義積的幾何意義以為以為 邊的平邊的平行六面體的體積。行六面體的體積。, ,a b c 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81616混合混合積的坐標表示積的坐標表示a b c ()abc xyzxyzxyzaaabbbccc ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx ()()()a b cabccabbca 利用行列式的行交換性質(zhì)可得：利用行列式的行交換性質(zhì)可得：輪換輪換高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12

8、-82021-12-81717解解:16VAB AC AD ADCB21212131313141414116xxyyzzxxyyzzxxyyzz注意：注意：雙重符號雙重符號| |，第一重表示行列式，第二重表，第一重表示行列式，第二重表示取絕對值。示取絕對值。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-81818解：解：)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 ()abc cba )(2 2cba . 4 0 0 0 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民202

9、1-12-82021-12-81919作業(yè)：習題作業(yè)：習題821，3，7，9，10，1217，18，19作業(yè)：習題作業(yè)：習題81高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-82020思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-82121思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1 |,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民

10、2021-12-82021-12-82222一一、 填填空空題題：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，則則 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以ba,為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是_ _ _ _ _ _

11、_；5 5、 兩兩向向量量的的的的內(nèi)內(nèi)積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有 一一個個向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有一一 個個向向量量為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相_ _ _ _ _ _ _；練練 習習 題題高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-823237 7、設(shè)、設(shè)kjia23 ，kjib 2 , , 則則b

12、a = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、設(shè)、設(shè)a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向 量量 ， 且且 滿滿 足足0 cba，計計算算accbba . .三三、設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)量量為為 1 10 00 0 千千克克的的物物體體從從點點)8,1,3(1M沿沿直直線線移移動動到到點點)2,4,1(2M計計算算重重力力所所作作的的功功（長長度度單單位位為為米米，重重力力方方向向為為Z軸軸負負方方向向）. .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2021-12-82021-12-82424練習題答案練習題答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四邊形的面積；、平行四邊形的面積； 4 4、以、以cba,為鄰邊的平行六面體的體積；為鄰邊的平行六面體的體積； 5 5、零向量、零向量, ,垂直；垂直； 6 6、零向量、零向量, ,平行；平行； 7 7、3,3,21