Chapt二階常微分方程級數(shù)解法本證值問題PPT課件

1、19.1 特殊函數(shù)常微分方程特殊函數(shù)常微分方程球坐標：體積元)0 ,20 ,(0 r cossinsincossinrzryrxddrdrdVsin2第九章第九章二階常微分方程的級數(shù)解二階常微分方程的級數(shù)解法法 本征值問題本征值問題xyzOr(r,)reee第1頁/共68頁2柱坐標：體積元xyzO(, , z)ze eze zzyxsincosz ,20 ,0dz d d dV第2頁/共68頁3（一）（一）Laplace 方程方程 （1）球坐標系分離變量解：代入（）得到(9.1.1) . 0sin1sinsin112222222ururrurrr. 0sinsinsindddd2222222Y

2、rRYrRrRrrrY),()(),(YrRru),()(/1YrR第3頁/共68頁4 i）徑向方程該方程的解為：)1()(llDrCrrREuler 方程.sin11sinsin11dddd12222YYYYrRrrR.sin11sinsin11dddd12222YYYYrRrrR) 1( , 0dddd2llRrRrr后面解出第4頁/共68頁5 ii）單位球面上方程：可以進一步分離變量：極角方向極角方向：0sin1sinsin1222YYY222dd1sinddsinddsin)()2( , 0 0sinddsinddsin2).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmmBmA)()(

3、Y球函數(shù)方程第5頁/共68頁6該方程稱為連帶 Legendre 方程。),()( ,cos xyx令：0sinddsinddsin12,ddsinddddddxxx,ddsindd)sin(sin1ddsinddsin12xyxy01dd1dd222yxmxyxx第6頁/共68頁7當 m=0 時，稱為 Legendre 方程：即：注意： 因 x=cos, 而 的變化范圍是 0, , 所以 x 的變化范圍是 -1，+1 。0dd1dd2yxyxx0dd2dd1222yxyxxyx第7頁/共68頁8（2）柱坐標系試分離變量解: 代入方程(1) 得到: )()()(),(zZRzu. 0dddddd

4、dd22222zZRRZRZ22222dd1ddddddzZZRR. 01122222zZuuRZ/2第8頁/共68頁9 對 方向有本征值問題:本征值問題的解: ).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmBmA,dddddd2222mzZZRR2222dd1dddd11mzZZRR2222dd1dddd11zZZmRR)()2(0 第9頁/共68頁10分三種情況:(i) 方向非齊次邊界條件，z方向齊次邊界條件， 僅當 有滿足z方向齊次邊界條件的解 記0 ZZ01 22RmRR2hhhzhzZ)sin()cos(向齊次條件zZZ0 axy第10頁/共68頁11 對 方向:令(ii) 方向齊

5、次邊界條件，z方向非齊次邊界條件，令：0 222RmxxRRx0 222RmxxRRx稱為 m 階 虛宗量 Bessel 方程。稱為 m 階 Bessel 方程。, x,ddddddddxhxx,dddd22222xh0 ZZzzDCZee第11頁/共68頁12(iii)0 Z0 22RmRRDzCZ)0( ,)0( ,lnmFEmFERmm第12頁/共68頁13（二）波動方程（二）波動方程022uautt),()(),(rvtTtru, 0 22TakT,ee)(or ,sincos)(i -ikatkatDCtTkatDkatCtT稱為亥姆霍茲(Helmholtz) 方程。, 022vkv

6、第13頁/共68頁14（三）輸運方程（三）輸運方程022uaut),()(),(rvtTtru, 022vkv,e)(22-takCtT稱為亥姆霍茲(Helmholtz) 方程。, 022TakT第14頁/共68頁15（四）（四）Helmholtz Helmholtz 方程方程（1）球坐標系分離變量解： i）單位球面上方程與上面的結果一樣：0sin1sinsin1122222222vkvrvrrvrrr),()(),(YrRrv0sin1sinsin1222YYY第15頁/共68頁16 ii）徑向方程：稱為球 Bessel 方程。令：上式化成 （l+1/2) 階 Bessel 方程半奇數(shù)階 B

7、essel 方程：02122222ylxdxdyxdxydx01dd2dd22222RllrkrRrrRr),(2)( ,xyxrRxkr第16頁/共68頁17（2）柱坐標系三維波動方程和擴散方程，經(jīng)時間與空間分離變量后，空間部分滿足的是 Helmholtz 方程。在柱坐標下： 令 i) 對 方向, 同樣有本征值問題:022vkv(1) , 011222222vkz(2) )2()(0),()()(),(zZRzv第17頁/共68頁18本征值問題的解: ii) 對 z 方向： iii) 對 方向:).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmBmA0dd1dd22222RmkRR方向齊次邊界

8、條件zZZ0 nnz0第18頁/共68頁19進一步令 2kx方向齊次邊值)(0)( 222xRmxxRRx)()()(xHxNxJmmm第19頁/共68頁20分 離 變 量 結 果方程球坐標柱坐標:Helm-hotz方程Laplace 方程)1()(llrrrR)()2(0 , 0) 1(dddd2RllrRrrmmsincos02 u022vkv)()2(0 mmsincos0 ZZ)( ,0 222xRmxxRRx齊次邊值)( 0 222xRmxxRRx002zzZe ,ezsinzcosZ齊次邊值0 ZZ解有界 1|01dd1dd222xyxmxyxx)()2(0 mmsincos齊次邊

9、值01dd2dd22222RllrkrRrrRr解有界 1|01dd1dd222xyxmxyxxR：)()2(0 mmsincos齊次邊值0 ZZzsinzcosZ)( ,0 2222xkRmxxRRx齊次邊值R：Z：:R：第20頁/共68頁219.2 常點鄰域上的級數(shù)解法常點鄰域上的級數(shù)解法標準形式：其中：p(z) 和 q(z) 為方程的系數(shù)，是已知的復變函數(shù)。初值問題：求一定區(qū)域內方程的解。0)()(22wzqdzdwzpdzwd1000)( ,)(czwczw第21頁/共68頁22邊值問題：求實軸上x1,x2 區(qū)間方程的解。（一）方程的常點和奇點方程解的性質完全由 p(z) 和 q(z)

10、 的解析性質決定。設p(z) 和 q(z) 在一定區(qū)域中，除若干個孤立奇點外，是 z 的單值解析函數(shù)。區(qū)域中的點可分為兩類：常點： 若系數(shù) p(z) 和 q(z) 都在某點z0 及其鄰域內解析，則 z0 點稱 為方程的常點；奇點：若系數(shù) p(z) 和 q(z)中 只要有一個在 z0 點不解析，則 z0 點稱為 方程的奇點；,22211121cdxdwwcdxdwwxxxx第22頁/共68頁23(二) 常點鄰域上的級數(shù)解微分方程解析理論的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圓 內是單值解析的, 則方程 在這圓內有唯一的一個解w(z)滿足初值條件 是任意常數(shù), 并且w(z)在這圓內是單值解析的.R

11、zz00)()(22wzqdzdwzpdzwd1000)( ,)(czwczw10 cc 和z0R第23頁/共68頁24 在常點 z0 的鄰域 |z-z0|R內，w(z) 是解析函數(shù)，故可展開成Taylor 級數(shù)：因此只要求出 系數(shù) ak，方程的解即求得。00)()(kkkzzazw00)()(nnnzzczq00)()(mmmzzbzp第24頁/共68頁250)(112000012kkkmknnknmkmkzzacamkbakk01120012kmknnknmkmkacamkbakk系數(shù)遞推公式利用系數(shù)遞推公式可從 開始逐一將所有系數(shù)用 表示出來。 為兩個任意常數(shù)，正是兩個積分常數(shù) 2a10

12、,aa10,aa第25頁/共68頁26（三）Legendre 方程的級數(shù)解: 在 x=0 的鄰域上求 Legendre 方程的解：因當 x=0, 有限，因此是方程的常點。02)1 (222ydxdyxdxydx注意：當 x=1, p(x), q(x) 為無限大，因此可設想 x=1是 Legendre 方程的奇點。221)( ,12)(xxqxxxp第26頁/共68頁27在 x=0鄰域 |x-0|1內，Taylor 級數(shù)為：代入 Legendre 方程：合并后：0)(kkkxaxy02) 1()1 (000122kkkkkkkkkxakxaxxkkax0) 1() 1)(2(02kkkkxakk

13、akk02) 1() 1(00002kkkkkkkkkkkkxakxaxkkaxkka第27頁/共68頁28因此系數(shù)的遞推關系為因此 Legendre 方程的通解可表示為： )()()(1100 xyaxyaxy ,! 4)32(3432,1202402aaaaa ,! 5)43)(21 (4543,232113513aaaaa, 2 , 1 , 0 ,) 1)(2() 1(2kakkkkakk, 2 , 1 , 0 ,)!2 (1222)32 (02kakkkak, 2 , 1 , 0 ,)!12(122)12(112kakkkak第28頁/共68頁29級數(shù)的收斂半徑：因為x=1是 離x=0

14、 最近的奇點，因此級數(shù)的收斂半徑 R=1。問題：在 x=1（即方向角為=0 和 =，亦即x-y 平面上）端點，級數(shù)的收斂性如何？yOxy(,)1) 1() 1)(2(limlim2kkkkaaRkkkk第29頁/共68頁30事實上:注意到:y0(x) 和 y1(x) 在x=1是發(fā)散的級數(shù)（見附錄四），而且不存在在x=1二點都收斂的無限級數(shù) 滿足Legendre 方程 是分離變量過程中出現(xiàn)的任意常數(shù)，當 而 l 取某些數(shù)值時，無窮級數(shù)可退化成多項式！),1( ll第30頁/共68頁31事實上, 由 多項式經(jīng)適當處理稱 Legendre多項式l=2n,（n=0,1,2）, y0(x) 最高冪次為x

15、2n; 從x2n+2 項起，系數(shù)為零；無限級數(shù)退化成最高冪次為x2n的多項式，從而，在x=1 有限。而此時 另一個解 y1(x) 仍然是無限級數(shù)并且在x=1 發(fā)散。l=2n+1, (n=0,1,2) , y1(x) 最高冪次為x2n+1; 從x2n+3項起，系數(shù)為零；無限級數(shù)退化成最高冪次為x2n+1的多項式，從而，在x=1 有限。而此時 另一個解 y0(x)仍然是無限級數(shù)并且在x=1 發(fā)散。, 2 , 1 , 0 ,) 1)(2() 1() 1(2kakkllkkakk第31頁/共68頁32 “自然邊界”條件:(1)二階方程的另一個特解, 可用其它方法得到(2)如果問題不包含=0 和 =，這

16、一特解應該包括。如果要求物理問題在 =0 和 = 有限，那么分離變量過程出現(xiàn)的常數(shù) l 只能取零 和正整數(shù)?！敖庠趚=1 保持有限”這一條件使 l 只能取零 和正整數(shù)。Legendre 方程“自然邊界”條件本征值問題第32頁/共68頁339.3 正則奇點鄰域上的級數(shù)解法正則奇點鄰域上的級數(shù)解法（一）奇點鄰域上的級數(shù)解: 系數(shù) p(z) 和 q(z)中 只要有一個在 z0 點不解析，則 z0 點稱為方程的奇點。方程的奇點則可能同時也是解的奇點. 因此，在 z0 點鄰域的級數(shù)解應該是 Laurent 展開。1)3(9 , 0)()(22wzqdzdwzpdzwd第33頁/共68頁34 kkkskk

17、kskkkszzbzzzzzAwzwzzbzzzwzzazzzw)()()ln()()( )()()( ,)()()(00012002001221或：定理 1 若點z0 為方程（）的奇點，則在p(z)和q(z)都 解析的環(huán)形區(qū)域0|z- z0 |R內, 這方程的兩個線性無關解是其中 是常數(shù). ), 2, 1, 0( ,21kbaAsskk第34頁/共68頁35一般情況下, 級數(shù)的系數(shù)是無限聯(lián)立的代數(shù)方程，得不到系數(shù)的遞推公式；但在一定的條件下，方程的二個線性獨立解的級數(shù)中沒有負冪項，這樣的解稱為正則解。在這種情況下,可得到系數(shù)遞推公式.定理定理 2：方程(9.3.1)在他的奇點 z0 的鄰域0

18、|z- z0 |1, 或n2, 則第二項或第三項為最低次冪項,)(,)( ,)(000lnlnlnllllmlmlmlllkkskzqzqzqzpzpzpzazw,) 1(012azqzspzssnnmm第37頁/共68頁38令其系數(shù)為零, 只能有若 則最低次冪項為第一項，或加上第二、第三項。令其系數(shù)為零。（當m=1, n=2） 判定方程)0(0a00 0 nmnmqspqsp或，或，, 2 and 1nm, 0) 1(21qspss第38頁/共68頁39 （三）Bessel 方程的級數(shù)解在 x=0 的鄰域上求 階 Bessel 方程的解注意： 是任意實數(shù)。 x=0 是 p(x) 的一階極點，

19、q(x)的二階極點。因此 x=0 是Bessel 方程的正則奇點。(1) , 0)(22222yxdxdyxdxydx221)( ,1)(xxqxxp第39頁/共68頁40級數(shù)形式解：代入方程（1），得到即00)(kkskkkksxaxaxxy, 0)() 1)(002200kkkkkkkkkkkkxaxaxksaxksksa, 0)(22022kkkkkkxaxaks2kk第40頁/共68頁41x0 的系數(shù)方程判定方程：（I） i) 求 正整數(shù)及零221ss022s21 ss和0) 1(122a,)( ,)(0201kkkkkkxbxxyxaxxy),(1xy)(1 ss, 0)(22022

20、kkkkkkxaxaks項：1x0 , 0121a第41頁/共68頁42 遞推公式由于 故級數(shù)所有奇數(shù)項系數(shù)為零：), 3 , 2( ,)2 ()(2222kkkakaakkk02222)() 2)(1( !21) 1()22(21akkakkakkkk , 01a, 012ka ,) 1(2) 22 ( 22002aaa ,) 2)(1(2! 2) 1(4024aa項：kx0)(222kkaak第42頁/共68頁43得到一個無窮級數(shù)解令任意常數(shù)階 Bessel 函數(shù)后面將詳細討論 Bessel 函數(shù)的特性。 ) 1(210akkkxkkx202) 1(!1) 1()(Jkkkxkkxaxy2

21、0012)()2)(1( !) 1()(第43頁/共68頁44收斂半徑收斂 )( ,0 , 0)0( and ,)(2limlim121xyxykkaaRnnnn第44頁/共68頁45ii) 求 ( s=s2= -) 只要在 中 -得到另一個無限級數(shù)解 -階 Bessel 函數(shù)kkkxkkxy2022) 1(!1) 1()()(2xy)(1xy第45頁/共68頁46收斂半徑： 的收斂范圍：應用中，用 和 的 線性組合構成 Bessel 方程第二個特解：sin)(J)(Jcos)(Nxxx ,0 x一般解：JJ21ccy 階 Neumann 函數(shù)。一般解：NJ21ccy)(Jx)(xJ)(xJ第

22、46頁/共68頁47（II） i） 2 =2m, 即 =m, (m=1,2,3,.)第一個解仍然是 Jm(x)。對第二個解： a)若用 自k=2m起失效! 整數(shù)221ss)2,3,( ,)2()2 (22kkmkbkkbbkkk第47頁/共68頁48除非, 022mb當, 022mb遞推公式成為, 002mb此時mb2可為任意常數(shù)，繼續(xù)可用遞推公式算出后面的系數(shù)，將解寫作：)()(202xvbxubym由于v(x)之遞推公式同 最多相差一常數(shù)因子，即：,1y, 3 , 2 ,)2(222kkmkbbkmkm此時令 得 , 02mb)(02xuby 第48頁/共68頁49,) 1( , 01 ,

23、kmkmmk),()1(2)!( !1)1()1()(, ,2)1(!1)1()(20222xJxmkkxymkkxkmkxymmkmkkmkmmkkkmkkxkmkxy2022)1(!1)1()(b) 若在 Jm(x)中m -m第49頁/共68頁50亦取sin)(cos)()(limxJxJxNNmm01012ln)(ln)()(kkmkkkkmxbxxAyxbxxxAyzy),()(2xNxym用結果m 階 Neumann 函數(shù)第50頁/共68頁51,21211)!( !) 1(1 21211)!( !) 1(1 2!)!1(1)(2ln2)(122102mnnmmnmnnmmnmnnmm

24、xmnmnnxnmnnxnnmxJCxxN第51頁/共68頁52ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) = l+1/2, 半奇數(shù)： l=0 , 02122222yxdxdyxdxydx)(211xJy , 1 ,21 ,212121sssskkkxkkxJ221021223!1) 1()(第52頁/共68頁53,sin2)!12() 1(21351212 24)22(2) 1(2211351212!1) 1(2212112121!1) 1(223!1) 1()(J1201202212102210221021xxxkxxkkkkxxkkkxkkkxkkxkkkkkkkkkkkkkkk

25、k第53頁/共68頁54021102/112ln)(ln)()(kkkkkkxbxxAyxbxxxAyzyxxxkxxkkkcos2)!2(1) 1(2)(J2021但 A=0第54頁/共68頁55一般, 常數(shù) A=0, 因此線性獨立解為：半奇數(shù) 階 Bessel 函數(shù)可用初等函數(shù)表示：klkklklkklxlkkxxlkkx2021)(2021212121212)1(!1) 1()(J2)1(!1) 1()(J第55頁/共68頁56可以證明公式： xxxxxxJxxxxxxJllllllllcosdd2) 1()(sindd2) 1()(2/1)2/1(2/12/1iii) 2 =2m=0,

26、 ),()( ),()(0201xNxyxJxy第56頁/共68頁57小結:(I) 0)(22222yxdxdyxdxydx)(221含零整數(shù)ss ),(or )()( ),()(21xNxJxyxJxy第57頁/共68頁58(II) i） 2 =2m (m=1,2,3,.) ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2 =2m=0,整數(shù)221ss ),()( ),()(21xNxyxJxymm, )(or )()( ),()()21()21(2)21(1xNxJxyxJxylll ),()( ),()(0201xNxyxJxy第58頁/共68頁599.4 施圖姆施圖姆-劉

27、維爾劉維爾(Sturm-Livouville) 本征值問題本征值問題 -Sturm-Livouville 本征問題本征問題)( , 0)()()(11122bxayxyxqdxdyxpdxyd邊界條件0)()()(yxyxqdxdyxkdxd,d)(exp)(1xxpxk以乘上式得:-Sturm-Livouville 方程方程第59頁/共68頁60 Legendre 方程的本征值問題 本征函數(shù)： 本征值：2ln,e ,sin)(ilxnCxlnCxy或0) y(, 0y(0)0y const.)( , 0)( .const)(;, 0lyxxqxklba解有限解有限 00sinddsinddo

28、r ,1|0dd1dd,sin)( , 0)( ,sin)(;, 0 , 1)( , 0)( ,1)(; 1, 122xyxyxxxxqkbaorxxqxxkba第60頁/共68頁61 Bessel 方程的本征值問題作變換 方程成為標準Bessel 方程第一、二、三類邊界處有限自然邊界條件處 ;)0( : 0002yyymddydd,)( ,/)( ,)( ;, 020mxqkba，x第61頁/共68頁62 i) 若k(x)0, q(x)0, , , 0)(bax )(0)()()(Myyyxyxqdxdyxkdxd正則斯劉本征問題ii) 如果端點 x=a and/or x=b是 k(x) 的零點, 則