概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2.2 離散型隨機變量及其分布律

1、1. 離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律2. 幾種重要的離散型隨機變量幾種重要的離散型隨機變量的概率分布的概率分布3. 小結(jié)小結(jié)2.2 2.2 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 設(shè)設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能取是一個離散型隨機變量，它可能取的值是的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機變量為了描述隨機變量 X ，我們不僅需，我們不僅需要知道隨機變量要知道隨機變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率取每個值的概率. 這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個這個隨機變量取值的概率規(guī)律隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取從中任取3 個球個球取到的白

2、球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每個值的概率為取每個值的概率為101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP引例引例且且201)(iiXP(1,2,),1,2,.kkkkXxkXXxP Xxpk 設(shè)離散型隨機變量所有可能取的不同值為取各個可能值的概率 即事件的概率為定義定義則稱則稱,.2 , 1,kpxXPkk為為隨機變量隨機變量X的的概率分布律概率分布律，簡稱分布律，簡稱分布律. Xkp1x2xkx1p2pkpXkp1x2xkx1p2pkp分布律的性質(zhì)：分布律的性質(zhì)：1. ,.,2 ,

3、1, 0kpk2. , 11kkp離散型隨機變量表示方法離散型隨機變量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP Xxpk nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或例：一袋中裝有例：一袋中裝有5只球，編號為只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同在袋中同時取時取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大號碼，寫只球中的最大號碼，寫出出X的分布律。的分布律。CXP3513 且且. 543 ，可能取的值為可能取的值為X列成表格，得列成表格，得10/610/310/1543kpX,101 CCXP35234 ,103 CCXP35245 .106

4、解解：（：（1）不放回抽樣）不放回抽樣 設(shè)所需抽取數(shù)為隨機變量設(shè)所需抽取數(shù)為隨機變量X，則，則X的可能取值為的可能取值為1,2,3，于是有：，于是有：PX=1=P第一次取到正品第一次取到正品5/410/8/11018CCPX=2=P第一次取到次品，第二次取到正品第一次取到次品，第二次取到正品45898102191811012CCCCPX=3=P第一次和第二次取到次品，第二次取到正品第一次和第二次取到次品，第二次取到正品45188911021818191111012CCCCCC（2）有放回抽樣）有放回抽樣 因每次抽取的樣品放回，故所需抽取次數(shù)因每次抽取的樣品放回，故所需抽取次數(shù)X的可能取值為的可

5、能取值為一切正整數(shù)，而且每次取樣過程都獨立，故每次取到次品的概一切正整數(shù)，而且每次取樣過程都獨立，故每次取到次品的概率為率為2/10=1/5，每次取到正品的概率為，每次取到正品的概率為8/10=4/5。于是有。于是有：PX=k=P前前k-1次都取到次品，第次都取到次品，第k次才取到正品次才取到正品1515454515151k),2,1(k解解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有應(yīng)有 ea0kkke! 這里用到了常見的這里用到了常見的冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式例例.設(shè)隨機

6、變量設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .0(1) 兩點分布（伯努利分布）兩點分布（伯努利分布）設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值兩個值 , 它的分它的分布律為布律為則稱則稱 X 服從服從 兩點分布兩點分布或(0(01) 1) 分布分布(其中其中 0p1)Xkp0p 11p實例實例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗,觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機變量隨機變量 X 服從服從 (01) 分布分布.Xkp012121其分布律為其分布律為1,( )0,XX 正面朝上反面朝上實例實例2 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)

7、品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,現(xiàn)從中隨機抽取一件現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末那末,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機變量則隨機變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 兩點分布是最簡單的一種分布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點都屬于兩點分布分布.說明說明如果隨機變量如果隨機變量 X 的分布律為的分布律為 nk

8、ppCkXPknkkn，101 為為參參數(shù)數(shù)為為自自然然數(shù)數(shù)，其其中中10 pn 的的二二項項分分布布，服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱隨隨機機變變量量pnX pnBX，記作記作由于由于以及以及 n 為自然數(shù)，可知為自然數(shù)，可知 nkppCknkkn，1001 又由二項式定理，可知又由二項式定理，可知 nkknkknppC01 nkppCkXPknkkn，101 所以所以是分布律是分布律 11 npp10 p顯然，當顯然，當 n=1 時時(0 1)X此時，服從分布 pBX，1(0 1)這說明，分布是二項分布的一個特例 二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中事重貝努里試驗中事件件A出現(xiàn)次數(shù)

9、出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布的概率分布.例例 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個可能個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué)生靠猜測至答案，其中只有一個答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能答對少能答對4道題的概率是多少？道題的概率是多少？,對對的的題題數(shù)數(shù)表表示示該該學(xué)學(xué)生生靠靠猜猜測測能能答答設(shè)設(shè)X ，答答對對一一道道題題 A則答則答5道題相當于做道題相當于做5重重Bernoulli試驗試驗 415，則則BX 41 AP則則解：解：每答一道題相當于做一次每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，試驗，所以所以 44 XPP道題道題至少能答對至少能答對 54 XPXP

10、5445414341 C641 由此可知，二項分布的分布律由此可知，二項分布的分布律 則則，若若pnBX pqkqkpnkXPkXP 1111 kXP 先是隨著先是隨著 k 的增大而增大，達到其最大值后再隨著的增大而增大，達到其最大值后再隨著k 的增大而減少這個使得的增大而減少這個使得 kXP 能次數(shù)能次數(shù)稱為該二項分布的最可稱為該二項分布的最可達到其最大值的達到其最大值的0k可以證明：可以證明： ；不不是是整整數(shù)數(shù)，則則如如果果pnkpn110 ；或或是是整整數(shù)數(shù)，則則如如果果11110 pnpnkpn pqkqkpnkXPkXP 1111二項分布的圖形二項分布的圖形例例 對同一目標進行對同

11、一目標進行300次獨立射擊，設(shè)每次射擊次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為時的命中率均為0.44，試求，試求300次射擊最可能命中幾次？次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？其相應(yīng)的概率是多少？射擊中命中目標的次數(shù)射擊中命中目標的次數(shù)表示表示300X 則由題意則由題意 ，44. 0300 BX ，它它不不是是整整數(shù)數(shù)由由于于44.13244. 01300 解：解：對目標進行對目標進行300次射擊相當于做次射擊相當于做300重重Bernoulli 試驗令：試驗令：因此，最可能射擊的命中次數(shù)為因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為其相應(yīng)的概率為13244.1320k168132132300

12、56. 044. 0132CXP04636. 0（3）泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk記為記為布布的泊松分的泊松分服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中值的概率為值的概率為而取各個而取各個的值為的值為設(shè)隨機變量所有可能取設(shè)隨機變量所有可能取 泊松分布的重要性在于泊松分布的重要性在于: : (1) 現(xiàn)實中大量隨機變量服從泊松分布現(xiàn)實中大量隨機變量服從泊松分布; ; (2) 泊松分布可視為二項分布的極限分布泊松分布可視為二項分布的極限分布. . 電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù)地

13、震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.二項分布與泊松分布有以下的關(guān)系二項分布與泊松分布有以下的關(guān)系.泊松定理泊松定理 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X服從二項分布，其分布律為服從二項分布，其分布律為 ，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.又設(shè)又設(shè)np= ,( = ,( 是常數(shù)是常數(shù)) )，則有，則有(1)kkn knP XkC pp 0 limlim(1)kkn knnnP XkC pp .,.,2 , 1 , 0,!nkke

14、k 該定理于該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！二項分布二項分布 泊松分布泊松分布)( nnp 可見，當可見，當n充分大充分大, ,p又很小時又很小時, ,可用泊松可用泊松分布來近似二項分布！分布來近似二項分布！(1)kkn knP XkC pp !ekkXPk 由泊松定理，由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作件稱作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等

15、等例例 (人壽保險問題人壽保險問題)在保險公司里在保險公司里 有有2500個同年個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險齡同社會階層的人參加了人壽保險,在每一年里在每一年里每個人死亡的概率為每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在每個參加保險的人在1月月1日付日付12元保險費元保險費,而在死亡時而在死亡時,家屬可在公司家屬可在公司里領(lǐng)取里領(lǐng)取2000元元.問問 (1)保險公司虧本的概率是多少保險公司虧本的概率是多少? (2) 保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少? 保險公司在保險公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 設(shè)設(shè)

16、X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù)表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則則)002. 0 ,2500( BX保險公司這一年里付出保險公司這一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人時公司虧本人時公司虧本.于是于是,P公司虧本公司虧本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得, 5002. 02500P公司虧本公司虧本0002. 0!511405kkke(2) 獲利不少于一萬元獲利不少于一萬元,即即 30000 -2000X 10000即即X 10P獲利不少于一萬元獲利不少于一萬元=PX 109864. 0!51005kkke例例 假設(shè)某段時間里光臨電器超市的顧客人數(shù)服從假

17、設(shè)某段時間里光臨電器超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為參數(shù)為的泊松分布，而超市里每個顧客買空調(diào)的的泊松分布，而超市里每個顧客買空調(diào)的概率為概率為P，問在這段時間里恰有，問在這段時間里恰有K個人買空調(diào)的概率個人買空調(diào)的概率解解以以X表示買空調(diào)的人數(shù)，表示買空調(diào)的人數(shù)，Y為進入超市的人數(shù)為進入超市的人數(shù),( ).Y 那么()0.1.2!nP Ynenn 即n個人進入超市的條件下個人進入超市的條件下k個人數(shù)購買空調(diào)的概率：個人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)()0kkn knC ppnkP Xk Ynnk n個人進入超市的條件下個人進入超市的條件下k個人數(shù)購買空調(diào)的概率：個人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)()0kkn kn

18、C ppnkP Xk Ynnk 0()() ()nP XkP Yn P Xk Yn 恰有恰有k個人數(shù)購買空調(diào)的概率：個人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)!nkkn knn keC ppn !(1)!()!nkn kn kneppnknk ()(1)!()!n kkn kn kpepknk (1)()!kppeek ()!kppek 購買空調(diào)的人數(shù)服從參數(shù)為購買空調(diào)的人數(shù)服從參數(shù)為p p的泊松分布！的泊松分布！例例. .設(shè)每對夫婦的子女數(shù)設(shè)每對夫婦的子女數(shù)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, ,且且知一對夫婦有不超過知一對夫婦有不超過1 1個孩子的概率為個孩子的概率為3e3e-2-2. .

19、求任選一求任選一對夫婦對夫婦, ,至少有至少有3 3個孩子的概率。個孩子的概率。23 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由題意由題意,232eee設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的所有可能取值為的所有可能取值為1,2,3,，且，且1()(1), 1,2,3,kP Xkppk 其中其中0p1,則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾何分布，的幾何分布，記作記作XG(p).幾何分布的分布律滿足：幾何分布的分布律滿足：1(1) ()0;(2)()1.kP XkP Xk 分析分析 設(shè)射擊次數(shù)為設(shè)射擊次數(shù)為X, 則則XG(0.3).所

20、求為所求為2(3)(1)(2)(3)0.3(10.3)0.3(10.3)0.30.657.P XP XP XP X （5）超幾何分布超幾何分布 設(shè)有設(shè)有N個產(chǎn)品，其中個產(chǎn)品，其中M個合格品。若從中個合格品。若從中不不放回地放回地隨機抽取隨機抽取n個，則其中含有的合格品數(shù)是個，則其中含有的合格品數(shù)是一個隨機變量一個隨機變量X ，由古典概率計算公式有：，由古典概率計算公式有：nNknMNkMCCCkXP (k=max(0,n-N+m), , min(n, M).則稱則稱X服從的服從的超幾何分布，超幾何分布，記做記做XH(M,N,n) 若抽樣是若抽樣是有放回的有放回的，則隨機變量則隨機變量X服從服從 P= M/N 的的二項分布二項分布. . 即即()(1)Kkn knMMP XkCNN ( ,)MXB nN超幾何分布與二項分布的關(guān)系超幾何分布與二項分布的關(guān)系 當當N N很大而很大而n n相對又較小時（一般相對又較小時（一般nN0.1）可