多元函數(shù)的極值與其求法

1、. . jz* 第十一講二元函數(shù)的極值要求： 理解多元函數(shù)極值的概念，會(huì)用充分條件判定二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。問(wèn)題提出 ：在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值，最小值問(wèn)題，與一元函數(shù)相類(lèi)似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例，來(lái)討論多元函數(shù)的極值問(wèn)題一二元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)的所有),(),(00yxyx，如果總有),(),(00yxfyxf，那么稱函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx處有極大值； 如果總有),(),(00yxfyxf，那么稱函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),

2、(00yx有極小值函數(shù)的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)例 1函數(shù)xyz在點(diǎn))0 ,0(處不取得極值，因?yàn)樵邳c(diǎn))0,0(處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn))0 ,0(的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)例 2函數(shù)2243yxz在點(diǎn))0 ,0(處有極小值因?yàn)閷?duì)任何),(yx有0)0,0(),(fyxf從幾何上看，點(diǎn))0, 0, 0(是開(kāi)口朝上的橢圓拋物面2243yxz的頂點(diǎn)，曲面在點(diǎn))0 ,0 ,0(處有切平面0z，從而得到函數(shù)取得極值的必要條件定理 1必要條件設(shè)函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)， 且在點(diǎn)),(00yx處有極值， 那么它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然

3、為零，即0),(00yxfx，0),(00yxfy幾何解釋假 設(shè) 函 數(shù)),(yxfz在 點(diǎn)),(00yx取 得 極 值0z， 那 么 函 數(shù) 所 表 示 的 曲 面 在 點(diǎn)),(000zyx處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx是平行于xoy坐標(biāo)面的平面0zz. . jz* 類(lèi)似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對(duì)三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為0),(000zyxfx，0),(000zyxfy，0),(000zyxfz說(shuō)明上面的定理雖然沒(méi)有完全解決求極值的問(wèn)題，但它明確指出找極值點(diǎn)的途徑，即只要解方程組0),(0),(0000yxfyxfyx，求得解),

4、(),(),(2211nnyxyxyx，那么極值點(diǎn)必包含在其中，這些點(diǎn)稱為函數(shù)),(yxfz的駐點(diǎn)注意 1駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如xyz在)0 ,0(點(diǎn)怎樣判別駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面定理答復(fù)了這個(gè)問(wèn)題定理 2充分條件設(shè)函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又0),(00yxfx，0),(00yxfy，令ayxfxx),(00，byxfxy),(00，cyxfyy),(00，那么 1當(dāng)02bac時(shí)，函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx取得極值，且當(dāng)0a時(shí)，有極大值00(,)f xy，當(dāng)0a時(shí)，有極小值00(,)f xy； 2當(dāng)02bac時(shí)，函數(shù)),(yxf

5、z在點(diǎn)),(00yx沒(méi)有極值； 3當(dāng)02bac時(shí)，函數(shù)),(yxfz在點(diǎn)),(00yx可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還要另作討論求函數(shù)),(yxfz極值的步驟 ：1解方程組0),(00yxfx，0),(00yxfy，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)),(),(),(2211nnyxyxyx；2對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(iiyx(1,2,)in，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值cba,；3確定2bac的符號(hào)，按定理2 的結(jié)論判定),(iiyxf是否是極值，是極大值還是極小值；4考察函數(shù)),(yxf是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，假設(shè)有加以判別是否為極值點(diǎn)例 3考察22yxz是否有極值. . jz* 解因?yàn)?2yxxxz，22y

6、xyyz在0,0 yx處導(dǎo)數(shù)不存在，但是對(duì)所有的)0,0(),(yx，均有0)0,0(),(fyxf，所以函數(shù)在)0, 0(點(diǎn)取得極大值注意 2極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，假設(shè)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣？例 4求函數(shù)xyxyxyxf933),(2233的極值解先解方程組063096322yyfxxfyx，求得駐點(diǎn)為)2,3(),0 , 3(),2, 1 (),0 ,1 (，再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)66xfxx，0 xyf，66yfyy在點(diǎn))0, 1(處，0726122bac，又0a，所以函數(shù)在點(diǎn))0 ,1 (處有極小值為5)0, 1(f；在點(diǎn))2, 1(處，0722bac，所以)2, 1 (f不是極值；在點(diǎn))0

7、 ,3(處，0722bac，所以)0, 3(f不是極值；在 點(diǎn))2,3(處 ，0722bac， 又0a， 所 以 函 數(shù) 在 點(diǎn))2, 3(處 有 極 大 值 為31)2, 3(f二函數(shù)的最大值與最小值求最值方法 ： 將函數(shù)),(yxf在區(qū)域d內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出； 求出),(yxf在d邊界上的最值；即分別求一元函數(shù)1( ,( )f xx，2( ,( )f xx的最值； 將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值實(shí)際問(wèn)題求最值根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù)),(yxf的最值一定在區(qū)域d的內(nèi)部取得，而函數(shù)在d內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)),(yxf在d上的最值例 4求把一

8、個(gè)正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，并使它們的乘積為最大解設(shè)yx,分別為前兩個(gè)正數(shù)，第三個(gè)正數(shù)為yxa，問(wèn)題為求函數(shù))(yxaxyu在區(qū)域d：0 x，0y，ayx內(nèi)的最大值. . jz* 因?yàn)?2()(yxayxyyxayxu，)2(xyaxyu，解方程組0202xyayxa，得3ax，3ay由實(shí)際問(wèn)題可知，函數(shù)必在d內(nèi)取得最大值，而在區(qū)域d內(nèi)部只有唯一的駐點(diǎn)，那么函數(shù)必在該點(diǎn)處取得最大值，即把a(bǔ)分成三等份，乘積3)3(a最大另外還可得出，假設(shè)令yxaz，那么33)3()3(zyxaxyzu即33zyxxyz三個(gè)數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值三條件極值，拉格朗日乘數(shù)法引例求函數(shù)22yxz的極值該問(wèn)題就是

9、求函數(shù)在它定義域內(nèi)的極值，前面求過(guò)在)0,0(取得極小值；假設(shè)求函數(shù)22yxz在條件1yx下極值，這時(shí)自變量受到約束，不能在整個(gè)函數(shù)定義域上求極值，而只能在定義域的一局部1yx的直線上求極值，前者只要求變量在定義域內(nèi)變化，而沒(méi)有其他附加條件稱為無(wú)條件極值 ，后者自變量受到條件的約束，稱為條件極值 如何求條件極值？有時(shí)可把條件極值化為無(wú)條件極值，如上例從條件中解出xy1，代 入22yxz中 ， 得122)1 (222xxxxz成 為 一 元 函 數(shù) 極 值 問(wèn) 題 ， 令024xzx，得21x，求出極值為21)21,21( z但是在很多情形下，將條件極值化為無(wú)條件極值并不這樣簡(jiǎn)單，我們另有一種直

10、接尋求條件極值的方法， 可不必先把問(wèn)題化為無(wú)條件極值的問(wèn)題，這就是下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法利用一元函數(shù)取得極值的必要條件求函數(shù)),(yxfz在條件0),(yx下取得極值的必要條件. . jz* 假設(shè)函數(shù)),(yxfz在00(,)xy取得所求的極值，那么首先有00(,)0 xy假定在00(,)xy的某一鄰域內(nèi)函數(shù)),(yxfz與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且00(,)0yxy有隱函數(shù)存在定理可知，方程0),(yx確定一個(gè)單值可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)( )yx，將其代入函數(shù)),(yxfz中，得到一個(gè)變量的函數(shù)( ,( )zf xx于是函數(shù)),(yxfz在00(,)xy取得所求的極值， 也就是相當(dāng)于一元函

11、數(shù)( ,( )zf xx在0 xx取得極值由一元函數(shù)取得極值的必要條件知道000000(,)(,)0 xyxxxxdzdyfxyfxydxdx，而方程0),(yx所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為00000(,)(,)xxxyxydydxxy將上式代入00000(,)(,)0 xyxxdyfxyfxydx中，得00000000(,)(,)(,)0(,)xxyyxyfxyfxyxy，因此函數(shù)),(yxfz在條件0),(yx下取得極值的必要條件為0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0 xxyyxyfxyfxyxyxy為了計(jì)算方便起見(jiàn)，我們令0000(,)(,)yyfxyxy，那么上述必要條件變

12、為. . jz* 0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxyyfxyxyfxyxyxy，容易看出，上式中的前兩式的左端正是函數(shù)),(),(),(yxyxfyxf的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在00(,)xy的值，其中是一個(gè)待定常數(shù)拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)),(yxfz在條件0),(yx下的可能的極值點(diǎn) 構(gòu)成輔助函數(shù)),(),(),(yxyxfyxf， 為常數(shù) 求函數(shù)f對(duì)x，對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx得, yx，其中yx,就是函數(shù)在條件0),(yx下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)；如何確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？在實(shí)際問(wèn)題中往往可根

13、據(jù)實(shí)際問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定拉格朗日乘數(shù)法推廣求函數(shù)),(tzyxfu在條件( , , , )0 x y z t，( , , , )0 x y z t下的可能的極值點(diǎn)構(gòu)成輔助函數(shù)12( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )f x y z tf x y z tx y z tx y z t其中21,為常數(shù)，求函數(shù)f對(duì)zyx,的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組121212120000( , , , )0( , , , )0 xxxyyyzzztttffffx y z tx y z t得zyx,就是函數(shù)),(tzyxfu在條件( , , , )0 x y z t，( , ,

14、)0 x y z t下的極值點(diǎn)注意 ：一般解方程組是通過(guò)前幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的方程找出, ,x y z之間的關(guān)系， 然后再將其代入到. . jz* 條件中，即可以求出可能的極值點(diǎn)例 6.求外表積為2a而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積解設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)分別為zyx,，那么問(wèn)題是在條件0222),(2axzyzxyzyx下，求函數(shù)xyzv)0,0,0(zyx的最大值構(gòu)成輔助函數(shù))222(),(2axzyzxyxyzzyxf，求函數(shù)f對(duì)zyx,偏導(dǎo)數(shù)，使其為0，得到方程組02220)(20)(20)(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz)4()3()2()1(由)1()2(，得zyzxyx，由)2()3(，

15、 得zxyxzy，即有，()(),x yzy xz xy，()(),y xzz xyyz，可得zyx，將其代入方程02222axzyzxy中，得azyx66這是唯一可能的極值點(diǎn)，因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在這可能的極值點(diǎn)處取得，即在外表積為2a的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為a66的正方體的體積為最大，最大體積為3366av例 7試在球面2224xyz上求出與點(diǎn)(3,1, 1)距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)解設(shè)( , , )mx y z為球面上任意一點(diǎn)，那么到點(diǎn)(3,1, 1)距離為222(3)(1)(1)dxyz但是，如果考慮2d，那么應(yīng)與d有一樣的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，故取2222( , , )(3)(1)(1)f x y zdxyz，. . jz* 又因?yàn)辄c(diǎn)( , , )m x y z在球面上，附加條件為222( , , )40 x y zxyz構(gòu)成輔助函數(shù)( , , )f x y z222(3)(1)(1)xyz222(4)xyz求函數(shù)f對(duì)zyx,偏導(dǎo)數(shù)，使其為0，得到方程組2222(3)202(1)202(1)204xxyyzzxyz)4()