專(zhuān)題15利用軌跡特征建立點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值-備戰(zhàn)備考2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題研究

1、專(zhuān)題十五：利用軌跡特征建立點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值專(zhuān)題導(dǎo)例如圖，o的半徑為2，點(diǎn)o到直線l的距離為3，點(diǎn)p是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，pq切o于點(diǎn)q，則pq的最小值為（）a bc3d5【分析】因?yàn)閜q為切線，所以opq是rt又oq為定值，所以當(dāng)op最小時(shí)，pq最小根據(jù)垂線段最短，知op3時(shí)pq最小根據(jù)勾股定理得出結(jié)論即可方法剖析【模型講解】圓的定義為平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合在一些題目中，我們可以通過(guò)分析條件得到相應(yīng)動(dòng)點(diǎn)軌跡是個(gè)圓（?。灿邢鄳?yīng)的題目把這個(gè)圓畫(huà)出來(lái)，因此，結(jié)合題目給的條件，利用圓與點(diǎn)的位置關(guān)系，有助于我們解決定一類(lèi)定值問(wèn)題。若已經(jīng)確定了動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓，接下來(lái)求最最值的

2、問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了，如下圖，在o外有一點(diǎn)p，在圓上找一點(diǎn)q，使得pq最短 解析：在o上任取一點(diǎn)q，連接qo和op，在oqp中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，則0q+qp>op op=0q+qp，且oq=0q 0q+qp>0q+qp qp>qp所以連接op，與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)q，此時(shí)pq最短.【類(lèi)型變式】 點(diǎn)p在圓外，pq最長(zhǎng) 點(diǎn)p在圓內(nèi)，pq最長(zhǎng) 點(diǎn)p在圓內(nèi)，pq最短導(dǎo)例答案 解：pq切o于點(diǎn)q，oqp90°，pq2op2oq2，而oq2，pq2op24，即pq，當(dāng)op最小時(shí)，pq最小，點(diǎn)o到直線l的距離為3，op的最小值為3，pq的最小值為故選：b典例剖析類(lèi)型一：利用圓的

3、定義來(lái)作輔助圓定位置關(guān)系來(lái)求最值例1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形abcd中，a60°，m是ad邊的中點(diǎn)，n是ab邊上一動(dòng)點(diǎn)，將amn沿mn所在的直線翻折得到amn，連接ac，則ac長(zhǎng)度最小值是 ?！痉治?】考慮amn沿mn所在直線翻折得到amn，可得ma=ma=1，所以a軌跡是以m點(diǎn)為圓心，ma為半徑的圓弧。【分析2】根據(jù)題意，在n的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中a在以m為圓心、ad為直徑的圓上的弧ad上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ac取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)m、a、c三點(diǎn)共線，得出a的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出ac的長(zhǎng)即可類(lèi)型二：利用已知點(diǎn)的軌跡為圓考查位置關(guān)系來(lái)求最值例2.如圖，已知c的半徑為2，圓外一

4、點(diǎn)o滿足oc3.5，點(diǎn)p為c上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)o的直線l上有兩點(diǎn)a、b，且oaob，apb90°，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，則ab的最小值為（）a2b2.5c3d3.5【分析】連接op，pc，oc，根據(jù)op+pcoc，求出op的最小值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ab2op，計(jì)算得到答案專(zhuān)題突破1.如圖，abc中，bac90°，abac2，d為ac上一動(dòng)點(diǎn)，以ad為直徑的o交bd于e，則線段ce的最小值為（）2如圖，ab是半圓o的直徑，點(diǎn)d在半圓o上，ab2，ad4，c是弧bd上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ac，過(guò)d點(diǎn)作dhac于h，連接bh，在點(diǎn)c移動(dòng)的過(guò)程中，bh的最小值是（）a6bcd73.如圖，

5、rtabc中，abbc，ab8，bc6，p是abc內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足pabpbc，則線段cp長(zhǎng)的最小值為（）abcd4.如圖，已知圓c的半徑為3，圓外一定點(diǎn)o滿足oc=5，點(diǎn)p為圓c上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)o的直線l上有兩點(diǎn)a、b，且oa=ob，apb=90°，l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，則ab的最小值為_(kāi)5.如圖，點(diǎn)o在線段ab上，oa=1，ob=3，以o為圓心、oa長(zhǎng)為半徑作o，點(diǎn)m在0上運(yùn)動(dòng)，連接mb，以mb為腰作等腰rtmbc，使mbc=90°，m、b、c三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接ac，則ac長(zhǎng)的取值范圍是_.6.如圖，在矩形abcd中，ab4，bc6，e是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足aeb9

6、0°，連接ce，則線段ce長(zhǎng)的最大值為 7.如圖，在rtabc中，c=90°，ac=6，bc=8，點(diǎn)f在邊ac上，并且cf=2，點(diǎn)e為邊bc上的動(dòng)點(diǎn)，將cef沿直線ef翻折，點(diǎn)c落在點(diǎn)p處，則點(diǎn)p到邊ab距離的最小值是_8.如圖，e，f是正方形abcd的邊ad上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足aedf，連接cf交bd于點(diǎn)g，連接be交ag于點(diǎn)h若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段dh長(zhǎng)度的最小值是 9.如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于a、b兩點(diǎn)，p是以c（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)pa、pb.則pab面積的最大值是_.10.如圖，在abc中，ab5，ac4，bc3，以邊ab的中點(diǎn)o

7、為圓心，作半圓與ac相切，點(diǎn)p、q分別是邊bc和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接pq，則pq長(zhǎng)的最大值與最小值的和是 11在abc中，若o為bc邊的中點(diǎn)，則必有：ab2+ac2=2ao2+2bo2成立依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形defg中，已知de=4，ef=3，點(diǎn)p在以de為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則pf2+pg2的最小值為 12.如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)e、f分別從點(diǎn)a、c同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿ab、cd向終點(diǎn)b、d移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)e到達(dá)點(diǎn)b時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)b作直線ef的垂線bg，垂足為點(diǎn)g，連接ag，則ag長(zhǎng)的最小值為 13.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足2+90°，那么我們

8、稱(chēng)這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”（1）若abc是“準(zhǔn)互余三角形”，c90°，a60°，則b °；（2）如圖，在rtabc中，acb90°，ac4，bc5若ad是bac的平分線，不難證明abd是“準(zhǔn)互余三角形”試問(wèn)在邊bc上是否存在點(diǎn)e（異于點(diǎn)d），使得abe也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出be的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖，在四邊形abcd中，ab7，cd12，bdcd，abd2bcd，且abc是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線ac的長(zhǎng)14如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)e在邊ab上，ae=3，動(dòng)點(diǎn)f在邊bc上，且不與點(diǎn)b、c重合，將ebf沿ef

9、折疊，得到ebf（1）當(dāng)bef=45°時(shí)，求證：cf=ae；（2）當(dāng)bd=bc時(shí)，求bf的長(zhǎng)；（3）求cbf周長(zhǎng)的最小值15.問(wèn)題提出：如圖1，在rtabc中，acb=90°，cb=4，ca=6，c半徑為2，p為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)ap、bp，求的最小值.嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接cp，在cb上取點(diǎn)d，使cd=1，則有，又pcd=bcp，pcdbcp，.請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：的最小值為的最小值為 .自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，的最小值為 .拓展延伸：已知扇形cod中，cod=90°，oc=6，oa=3，

10、ob=5，點(diǎn)p是弧cd上一點(diǎn)，求2pa+pb的最小值.專(zhuān)題十五：利用軌跡特征建立點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值例1.解法一：考慮amn沿mn所在直線翻折得到amn，可得ma=ma=1，所以a軌跡是以m點(diǎn)為圓心，ma為半徑的圓弧連接cm，與圓的交點(diǎn)即為所求的a，此時(shí)ac的值最小構(gòu)造直角mhc，勾股定理求cm，再減去am即可解法二：解：如圖所示：ma是定值，ac長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即a在mc上時(shí)，過(guò)點(diǎn)m作mfdc于點(diǎn)f，在邊長(zhǎng)為2的菱形abcd中，a60°，m為ad中點(diǎn)，2mdadcd2，fdm60°，fmd30°，fdmd，fmdm×cos30°，mc，ac

11、mcma1故答案為：1答案：。例2、解：連接op，pc，oc，opocpc3.521.5，當(dāng)點(diǎn)o，p，c三點(diǎn)共線時(shí)，op最小，最小值為1.5，oaob，apb90°，ab2op，當(dāng)o，p，c三點(diǎn)共線時(shí)，ab有最小值為2op3，故選：c專(zhuān)題突破答案1.解：如圖，連接ae，則aedbea90°，點(diǎn)e在以ab為直徑的q上，ab2，qaqb1，當(dāng)點(diǎn)q、e、c三點(diǎn)共線時(shí)，ce最小，ac2，qc，ceqcqe1，故選：d2解：如圖，取ad的中點(diǎn)m，以點(diǎn)m為圓心，半徑為2畫(huà)圓，點(diǎn)a、d、h都在圓m上，連接bm，bd，ab是半圓的直徑，adb90°，在rtabd中，bd2，在rt

12、bdm中，bm8，因?yàn)辄c(diǎn)c在弧bd上移動(dòng)的過(guò)程中，始終保持了dhac，所以當(dāng)點(diǎn)b、h、m三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，bh最短，此時(shí)bhbmhm826所以bh的最小值為6故選：a3.解：取ab的中點(diǎn)o，連接op，abc90°，abp+pbc90°，pabpbc，bap+abp90°，apb90°，opoaob（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），點(diǎn)p在以ab為直徑的o的一部分弧線上，連接oc交o于點(diǎn)p，此時(shí)pc最小，其最小值為ocop，在rtbco中，obc90°，bc6，opob4，oc2，pcocop24pc最小值為24故選：d4.連接op，根據(jù)ap

13、b為直角三角形且o是斜邊ab中點(diǎn)，可得op是ab的一半，若ab最小，則op最小即可連接oc，與圓c交點(diǎn)即為所求點(diǎn)p，此時(shí)op最小，ab也取到最小值答案：45.以ab為邊向下作等腰rtabd，連接dmmbc與dba均為等腰直角三角形mb=bc，bd=ab，mbc=dba=90°mbc+abm=dba+abmmbd=cba abcmbd 來(lái)源:z&xx&k.comac=md點(diǎn)m在圓上運(yùn)動(dòng)，dm的最小值為od-r；dm的最大值為od+r在rtobd中，可計(jì)算出od=5所以dm的最小值為4，dm的最大值為64ac66.解：aeb90°，點(diǎn)e在以ab為直徑的圓上，如圖

14、所示，設(shè)圓心為o，ab4，ab是o的直徑，oe2，在rtobc中，oc，當(dāng)點(diǎn)e在co的延長(zhǎng)線上時(shí)，ce有最大值，ce的最大值oe+oc2+2，ce的最大值2+2故答案為：2+27.考慮到將fce沿ef翻折得到fpe，可得p點(diǎn)軌跡是以f點(diǎn)為圓心，fc為半徑的圓弧過(guò)f點(diǎn)作fhab，與圓的交點(diǎn)即為所求p點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)p到ab的距離最小由相似先求fh，再減去fp，即可得到ph答案：1.28.解：在正方形abcd中，abadcd，badcda，adgcdg，在abe和dcf中，abedcf（sas），12，在adg和cdg中，adgcdg（sas），23，13，bah+3bad90°，1+bah9

15、0°，ahb180°90°90°，取ab的中點(diǎn)o，連接oh、od，則ohaoab2，在rtaod中，od2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，oh+dhod，當(dāng)o、d、h三點(diǎn)共線時(shí)，dh的長(zhǎng)度最小，最小值odoh22故答案為：229.過(guò)c作cmab于m，連接ac，mc的延長(zhǎng)線交c于n，則由三角形面積公式得，5×cm16，圓c上點(diǎn)到直線的最小距離是，pab面積的最小值是 ，故答案是：10.解：如圖，設(shè)o與ac相切于點(diǎn)e，連接oe，作op1bc垂足為p1交o于q1，此時(shí)垂線段op1最短，p1q1最小值為op1oq1，ab5，ac4，bc3，ab2ac2+bc2

16、，c90°，op1b90°，op1acaoob，p1cp1b，op1ac2，p1q1最小值為op1oq10.5，如圖，當(dāng)q2在ab邊上時(shí)，p2與b重合時(shí)，p2q2經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，p2q2最大值2.5+1.54，pq長(zhǎng)的最大值與最小值的和是4.5故答案為：4.511設(shè)點(diǎn)m為de的中點(diǎn)，點(diǎn)n為fg的中點(diǎn)，連接mn交半圓于點(diǎn)p，此時(shí)pn取最小值de=4，四邊形defg為矩形，gf=de，mn=ef，np=mnmp=efmp=1，pf2+pg2=2pn2+2fn2=2×12+2×22=10故答案為：1012.首先考慮整個(gè)問(wèn)題中的不變量，僅有ae=cf

17、，bgef，但bge所對(duì)的be邊是不確定的重點(diǎn)放在ae=cf，可得ef必過(guò)正方形中心o點(diǎn)，連接bd，與ef交點(diǎn)即為o點(diǎn) bgo為直角且bo邊為定直線，故g點(diǎn)軌跡是以bo為直徑的圓記bo中點(diǎn)為m點(diǎn)，當(dāng)a、g、m共線時(shí)，ag取到最小值，利用rtaom勾股定理先求am，再減去gm即可13.解：（1）abc是“準(zhǔn)互余三角形”，c90°，a60°，2b+a90°，解得，b15°，故答案為：15°；（2）如圖中，在rtabc中，b+bac90°，bac2bad，b+2bad90°，abd是“準(zhǔn)互余三角形”，abe也是“準(zhǔn)互余三角形”，只

18、有2b+bae90°，b+bae+eac90°，caeb，cc90°，caecba，可得ca2cecb，ce，be5（3）如圖中，將bcd沿bc翻折得到bcfcfcd12，bcfbcd，cbfcbd，abd2bcd，bcd+cbd90°，abd+dbc+cbf180°，a、b、f共線，fac+acf90°2acb+cab90°，只有2bac+acb90°，fcbfac，ff，fcbfac，cf2fbfa，設(shè)fbx，則有：x（x+7）122，x9或16（舍棄），af7+916，在rtacf中，ac2014（1）證明：如圖1中，當(dāng)bef=45°時(shí)，易知四邊形bebf是正方形，bf=be，ab=bc，cf=ae=3（2）解：如圖2中，作bnbc于n，nb的延長(zhǎng)線交ad于m，作egmn于g，則四邊形mncd、四邊形aegm都是矩形bd=bc，bdc=bcd，a