解決排列組合中涂色問題專題講座(有詳細(xì)答案)

1、解決排列組合中涂色問題的常見方法及策略專題講座及涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，故這類問題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題及觀察問題的能力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本文擬總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法。一、 區(qū)域涂色問題1、 根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、 用5種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？ 分析：先給號區(qū)域涂色有5種方法，再給號涂色有4種方法，接著給號涂色方法有3種，由于號及、不相鄰，因此號有4種涂法，根據(jù)分步計數(shù)原

2、理，不同的涂色方法有2、 根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、（2019江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。2分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）及同色、及同色，則有；（2）及同色、及同色，則有；（3）及同色、及同色，則有；（4）及同色、及同色，則有；（5）及同色、及同色，則有；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=120例3、（2019年全國高考題）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？ 分析：依題

3、意至少要用3種顏色243151) 當(dāng)先用三種顏色時，區(qū)域2及4必須同色，2) 區(qū)域3及5必須同色，故有種；3) 當(dāng)用四種顏色時，若區(qū)域2及4同色，4) 則區(qū)域3及5不同色，有種；若區(qū)域3及5同色，則區(qū)域2及4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=723、 根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色及不同色入手，分別計算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)。例4用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內(nèi)，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？1

4、234分析：可把問題分為三類：（1） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為；（2） 有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為5) 兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為，因此，所求的涂法種數(shù)為4、 根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類ABCDEF例5如圖， 6個扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可解（1）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法故有種方法。 （2）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時，有

5、種著色方法，此時B、D、F有種著色方法，故共有種著色方法。 （3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法。故總計有108+432+192=732種方法。說明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。 如：如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍(lán)、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個扇形時染色方法為種（1） 當(dāng)n=2時、有=12種，即=12（2） 當(dāng)分成n個扇形，如圖，及不同色，及 不同色，及不同色，共有種染色方法， 但由于及鄰，所以應(yīng)排除及同色的情形；及同色時，可把、看成一個扇形，及

6、前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關(guān)系：二、 點(diǎn)的涂色問題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1） 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時只能A及C、B及D分別同色，故有種方法。（2） 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再從余

7、下的四種顏色中任選兩種染A及B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D及C，而D及C中另一個只需染及其相對頂點(diǎn)同色即可，故有種方法。（3） 若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。 解法二：設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對S、A、B染色，有種染色方法。 由于C點(diǎn)的顏色可能及A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C及A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)及A（C）、S不同色，有3種選擇；C及A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法

8、。 由乘法原理，總的染色方法是SCDAB解法三：可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？解答略。三、 線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：1) 根據(jù)共用了多少顏色分類討論2) 根據(jù)相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有種（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種，（3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種因此，所求的染色方法數(shù)

9、為種解法二：涂色按ABBCCDDA的順序進(jìn)行，對AB、BC涂色有種涂色方法。由于CD的顏色可能及AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng)CD及AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD及AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為種例8、用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有種方法。（2）若恰用四種顏色涂色，

10、則三組對棱中有二組對棱的組內(nèi)對棱涂同色，但組及組之間不同色，故有種方法。 （3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。 （4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。 綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為種。四、 面涂色問題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余3個面有3！種涂色方案，根據(jù)乘法原理（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉(zhuǎn)交換）(3)共用四種顏色,仿上分析可得(4)共用三種顏色,ABCDP例10、四棱錐，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色