高中數(shù)學(人教A版,必修4)課件+課后習題2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1

1、1 2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課后篇鞏固探究1.若 p與 q 是相反向量 ,且|p|= 3,則 p q 等于 () a.9 b.0 c.-3 d.-9 解析 由已知得 p q=3 3 cos180=- 9.答案 d 2.已知 |a|= 4,|b|= 3,(2a-3b) (2a+b)=61,則|a+b|=() a.13b.26c.13 d.21 解析 由(2a-3b) (2a+ b)=61, 得 4|a|2-4a b-3|b|2= 61.將|a|= 4,|b|= 3代入上式 ,求得 a b=- 6.|a+ b|2=(a+ b)2=| a|2+ 2a b+| b|2= 13, 所以

2、 |a+ b|=13.答案 a 3.已知 |a|= 2,|b|= 1,|a+ 2b|= 23,則 a 與 b 的夾角為() a.6b.3c.2d.23解析|a+2b|= 2 3, (a+ 2b)2=a2+4a b+ 4b2=12.|a|= 2,|b|= 1,a b=1.設 a 與 b 的夾角為 , 則|a|b|cos =2cos =1,cos =12.又 0 , =3.答案 b 4.已知向量a,b 滿足 |a|= 3,|b|= 2 3,且 a(a+ b),則 b 在 a 方向上的投影為() a.3 b.-3 c.-3 32d.3 322 解析 由 a(a+b),得 a (a+ b)=0,即|a

3、|2+a b=0,于是 a b=- 9,因此 b 在 a 方向上的投影為? ?|? |=-93=-3.答案 b 5.在平行四邊形abcd 中,ad= 1,bad= 60 ,e為 cd 的中點 .若? ? =12,則 ab的長為 () a.12b.1 c.32d.2 解析 設 ab 的長為 a,因為 ?= ? , 所以 ? ? = ? ? = ? (? + ?)=| ?|2+ ? ?= 1+ 1?2 cos120=12,解得 a=2.答案 d 6.若兩個非零向量a,b 滿足 |a+ b|=| a-b|= 2|a|,則向量 a+ b 與 a 的夾角為 () a.6b.3c.23d.56解析 設 a

4、+b 與 a 的夾角為 .由|a+b|=| a-b|可得 a b=0, 由|a+b|=2|a|可得 |b|=3|a|, 于是 cos =(? + ? ) ?|? + ? | |? |=|? |22|? |2=12,故所求夾角為3.答案 b 7.已知 a,b,c是三個非零向量,則下列命題中真命題的個數(shù)為() |a b|=|a| |b|? ab;a,b 反向 ? a b=-|a| |b|;ab? |a+b|=|a-b|;|a|=|b|? |a c|=|b c|.a.1 b.2 c.3 d.4 解析 需對以上四個命題逐一判斷,依據(jù)有兩條 :一是向量數(shù)量積的定義;二是向量加法與減法的平行四邊形法則 .

5、a b=|a|b|cos ( 為 a 與 b 的夾角 ), 由|a b|=| a| |b|及 a,b 為非零向量可得|cos |= 1, = 0 或 ,ab 且以上各步均可逆.故命題是真命題 .若 a,b 反向 ,則 a,b 的夾角為 ,a b=| a| |b|cos =-| a| |b|且以上各步均可逆.故命題是真命題 .當 ab 時,將向量 a,b 的起點移至同一點,則以向量a,b 為鄰邊作平行四邊形,則該平行四邊形必為矩形 ,于是它的兩對角線長相等,即有 |a+b|=| a-b|.反過來 ,若|a+b|=| a-b|,則以 a,b 為鄰邊的四邊形為矩形 ,所以有 a b.故命題是真命題

6、.3 當|a|=| b|但 a與 c的夾角和 b 與 c的夾角不等時 ,就有 |a c| |b c|,反過來由 |a c|=| b c|也推不出|a|=| b|.故命題是假命題 .答案 c 8.已知 a,b 為共線的兩個向量,且|a|= 1,|b|= 2,則|2a-b|=.解析 |2a-b|=4?2-4? ? + ?2=8-4? ? .a,b 為共線的兩個向量,設 a,b 的夾角為 , 則 =0或 180,當 =0時,a b= 2; 當 =180時,a b=- 2.|2a-b|= 0 或 4.答案 0 或 4 9.正三角形abc 邊長為 2,設? =2? ,?= 3?,則? ? =.解析 ?

7、? =12(? + ? ) (? -? ) =12( ? + ? ) 13? -?=16? ? -12?2+13?2-? ?=16 2-12 4+13 4-2=-73.答案 -7310.已知 |a|= 2,向量 a 在向量 b 上的投影為3,則 a 與 b 的夾角為.解析 記向量 a 與向量 b 的夾角為 ,則 a 在 b 上的投影為 |a|cos = 2cos .因為 a 在 b 上的投影為3,所以 cos =32.因為 0, ,所以 =6.答案611.如圖所示 ,在 rt abc 中 ,a=90,ab= 1,則? ?的值是.解析 (方法一 )? ? =| ? | |? | cos(180-

8、b)=-| ? | |?| cosb=-| ?| |? |?|?|=-| ? |2=- 1.4 (方法二 )|? |= 1,即?為單位向量 ,? ?=- ? ?=-| ? |? |cosabc,而|? | cosabc=| ? |,所以 ? ? =-| ? |2=- 1.答案 -1 12.已知 |a|=| b|= 2,a,b 的夾角為60,則使向量a+ b 與 a+ b 的夾角為銳角的 的取值范圍是.解析 由 a+ b 與 a+b 的夾角為銳角, 得(a+ b) ( a+b)0, 即 a2+(2+1)a b+ b2 0, 從而 2+4 + 1 0,解得 - 2+3.當 =1 時,a+ b 與

9、a+b 共線同向 ,故 的取值范圍是(- ,-2- 3) (-2+3,1)(1,+).答案 (-,-2-3)(-2+3,1) (1,+ ) 13.導學號 68254084已知平面上三個向量a,b,c的模均為 1,它們相互之間的夾角均為120.求證 :(a-b) c.證明 (a-b) c=a c-b c=| a|c|cos120-|b|c|cos120=1 1 -12-1 1 -12=0, 故(a-b)c.14.如圖 ,在四邊形abcd 中 ,?= a,?= b,? =c,? =d,且 a b=b c=c d=d a,且 a c=b d,則四邊形abcd 是什么形狀 ? 解a+b+c+d=0,

10、a+b=-(c+d),(a+b)2=(c+d)2, 即 a2+2a b+b2=c2+2c d+d2.又 a b=c d,a2+b2=c2+d2, 即|a|2+| b|2=| c|2+| d|2.5 同理可得 |a|2+|d|2=|b|2+|c|2.-,得|b|2=| d|2, 變形為 |a|2-|d|2=| c|2-|b|2,再加式得 |a|2=| c|2,即|b|=| d|,|a|=| c|.同理可得 |a|=| b|,|c|=| d|,故四邊形abcd 是菱形 .? ? ,a=- c.又a b=b c,b (a-c)=0, 即 b (2a)=0.a b=0, ?.故四邊形abcd 為正方形 .15.導學號 68254085如圖 ,在平面內(nèi)將兩塊直角三角板接在一起,已知 abc= 45,bcd= 60,記? =a,? = b.(1)試用 a,b 表示向量 ?,?; (2)若|b|=