信號與系統(tǒng)_2017_第6章

1、電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第1頁Dr. Wang Yijie第第6 6章章 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的Z Z域分析域分析哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程系專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第2頁Dr. Wang Yijie6.1 Z變換變換 6.2 Z反變換反變換 6.3 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 6.4 離散時間系統(tǒng)的離散時間系統(tǒng)的Z域分析域分析6.5 離散時間系統(tǒng)的離散時間系統(tǒng)的Z域模擬圖域模擬圖 第第6章章 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的Z域分析域分析電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPE

2、ED第3頁Dr. Wang Yijiez變換變換的地位和作用類似于的地位和作用類似于連續(xù)系統(tǒng)中的連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換拉普拉斯變換，利用變換把，利用變換把差分方程差分方程變變換為換為代數(shù)方程代數(shù)方程，從而使離散系統(tǒng)的分析，從而使離散系統(tǒng)的分析較為簡便。較為簡便。本章主要介紹和討論變換的定義及其性本章主要介紹和討論變換的定義及其性質(zhì)；離散系統(tǒng)變換分析法；離散系統(tǒng)函質(zhì)；離散系統(tǒng)變換分析法；離散系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)穩(wěn)定性等概念數(shù)及系統(tǒng)穩(wěn)定性等概念電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第4頁Dr. Wang Yijie6.1.1 Z變換的定義及其收斂域變換的定義及其收斂域

3、離散序列離散序列 Z變換變換 定義為定義為 (6.1.1)即即 是是 的一個冪級數(shù)，其中的一個冪級數(shù)，其中 的系數(shù)就是的系數(shù)就是 的值。式的值。式( (6.1.1)稱為稱為離散序列的離散序列的Z Z變換定義式變換定義式，可記，可記為為 （6.1.2） zF zF1znz nf nnznfnfZzF6.1 Z變換變換 ,1 ,0 ,1 ,f nfff 101101nnnF zfzfzfzf n zf n z電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第5頁Dr. Wang Yijie一個連續(xù)函數(shù)一個連續(xù)函數(shù) 以均勻間隔進(jìn)行抽樣以均勻間隔進(jìn)行抽樣后的函數(shù)后的函數(shù) 可以表

4、示為可以表示為抽樣后抽樣后 的離散序列的的離散序列的拉普拉斯變換拉普拉斯變換為為 （6.1.3）令令 或或 ，則，則 （6.1.4）由此可見，離散信號由此可見，離散信號 的的Z變換式在變換式在本質(zhì)上仍然是本質(zhì)上仍然是離散信號的拉普拉斯變換離散信號的拉普拉斯變換。 tf tfs nTtnTfnTttftfnns tf nnsTnssenTfnTtnTfLtfLsFsTez 1lnszT zFznTfsFnnZTssln1 nf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第6頁Dr. Wang Yijie變換定義式（變換定義式（6.1.1）稱為）稱為雙邊雙邊z變換變換。

5、單邊單邊z變換變換定義為定義為 （6.1.5）工程實(shí)際的應(yīng)用主要考慮單邊的工程實(shí)際的應(yīng)用主要考慮單邊的z變換。一般地，變換。一般地，稱稱 為序列為序列 的象函數(shù)；稱的象函數(shù)；稱 為為 的原函數(shù)的原函數(shù)。若若 已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù)已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù) 可可由下式確定由下式確定 （6.1.6） 0nnznfzF zF nf zF nf zF nf 11 2ncf nF z zdzj 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第7頁Dr. Wang YijieZ變換對變換關(guān)系可表示為變換對變換關(guān)系可表示為Z變換對又可簡記為變換對又可簡記為 由式由

6、式（6.1.4） 可以看到，由于可以看到，由于s是拉普拉是拉普拉斯變換中的復(fù)頻率，斯變換中的復(fù)頻率，T為抽樣間隔，所以為抽樣間隔，所以z 為一為一復(fù)數(shù)，它必可表示在一個復(fù)平面內(nèi)，這個復(fù)平復(fù)數(shù)，它必可表示在一個復(fù)平面內(nèi)，這個復(fù)平面稱為面稱為Z平面平面。絕對收斂絕對收斂的區(qū)域滿足條件為的區(qū)域滿足條件為: nfZzF zFZnf1 zFnf 0nnznfsTez 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第8頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第9頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平

7、臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第10頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第11頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第12頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第13頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第14頁Dr. Wang Yijie6.1.1 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系變換與拉普拉斯變換的關(guān)系Z平面和平面和S平面的映射

8、關(guān)系平面的映射關(guān)系從式從式 知道，知道，s 和和z的關(guān)系是的關(guān)系是 或或 （6.1.6）如果將如果將s表示為表示為直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式 將將z表示為表示為極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式 將它們代入式（將它們代入式（6.1.6）中，得到）中，得到 （6.1.7） （6.1.8）sTez zTsln1jsjpez TpeT zFznTfsFnnZTssln1電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第15頁Dr. Wang Yijie為簡單起見，令為簡單起見，令 ，則，則由上式可以表明由上式可以表明S平面與平面與Z平面有如下映射關(guān)系平面有如下映射關(guān)系：（1）S平面的平面的虛

9、軸虛軸（ = 0，s = j）映射到）映射到Z平面平面是是單位圓單位圓（R =1）；）；（2）S平面的平面的左半平面左半平面（ 0）映射到）映射到Z平面是平面是單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)（R 0）映射到）映射到Z平面平面是是單位圓外單位圓外（R 1）；）；（4）S平面的平面的實(shí)軸實(shí)軸（ = 0，s =）映射到）映射到Z平平面是面是正實(shí)軸正實(shí)軸；平行于實(shí)軸的直線平行于實(shí)軸的直線（為常數(shù)）為常數(shù)）映射到映射到Z平面是平面是始于原點(diǎn)的輻射線始于原點(diǎn)的輻射線。S平面與平面與Z平面的映射關(guān)系如表平面的映射關(guān)系如表6.1.2所示所示。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第17頁D

10、r. Wang Yijie表表6.1.2 S平面與平面與Z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系jeezT , 1電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第18頁Dr. Wang Yijie6.2 Z反變換反變換6.2.1 冪級數(shù)展開法（長除法）冪級數(shù)展開法（長除法）6.2.2 部分分式展開法部分分式展開法 6.2.3* 圍線積分法（留數(shù)法）圍線積分法（留數(shù)法）電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第19頁Dr. Wang Yijie6.2.1 冪級數(shù)展開法（長除法）冪級數(shù)展開法（長除法）由由Z變換的定義式變換的定義式可知，可知， 是是

11、的冪級數(shù)。當(dāng)已知的冪級數(shù)。當(dāng)已知 時，則只要把時，則只要把 按按 的的冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開，那么級數(shù)的系數(shù)就是原序列，那么級數(shù)的系數(shù)就是原序列 。在一般情況下，原序列在一般情況下，原序列 是因果序列（右邊序列），是因果序列（右邊序列），只要將只要將 的分子分母多項(xiàng)式的分子分母多項(xiàng)式按按z的降冪排列的降冪排列，然后利用，然后利用長除法長除法，可將，可將 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)，得到原序列，得到原序列 。 0nnznfzF zF1z nf zF zF1z nf zF zF nf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第20頁Dr. Wang Yijie【例例6.2

12、.1】 求求 的反變換的反變換 ，其收斂，其收斂域?yàn)橛驗(yàn)?。解解： 將將 按按z的降冪排列成下列形式的降冪排列成下列形式做長除法做長除法如右如右 21zzzF nf1z zF 122zzzzF3232121211123213436323242221232zzzzzzzzzzzzzzzzzz電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第21頁Dr. Wang Yijie從而有從而有即可得即可得 032132nnnzzzzzF nnnf, 4 , 3 , 2 , 1 , 0電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第22頁Dr. Wang

13、Yijie【例例6.2.2】 若若 ，試求其反變換，試求其反變換 。解：解： 由于指數(shù)函數(shù)由于指數(shù)函數(shù) 可展開成冪級數(shù)為可展開成冪級數(shù)為所以所以 可展開為可展開為 上式上式 的系數(shù)即為原序列的系數(shù)即為原序列 zaezFxe032! 3! 21nnxnxxxxe zF 00!nnnnnzaznanzaezFnz ! nanfn nf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第23頁Dr. Wang Yijie在離散系統(tǒng)分析中，一般而言，在離散系統(tǒng)分析中，一般而言， 是有理分式，是有理分式，即即 （6.2.1）可以可以像像拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換一樣，先將上式分解

14、為部分一樣，先將上式分解為部分分式之和，然后反變換求得原序列。為了便于計(jì)算分式之和，然后反變換求得原序列。為了便于計(jì)算，可以先將，可以先將 展開成部分分式，然后再對每個分展開成部分分式，然后再對每個分式乘以式乘以z。式（式（6.2.1）中分母多項(xiàng)式的根為極點(diǎn)。下面就）中分母多項(xiàng)式的根為極點(diǎn)。下面就不同不同極點(diǎn)情況極點(diǎn)情況介紹部分分式展開法。介紹部分分式展開法。 zF11101110( )( )( )mmmmnnnb zbzb zbN zF zD zzaza za zzF6.2.2 部分分式展開法部分分式展開法 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第24頁Dr

15、. Wang Yijie （1） 中僅含有中僅含有單極點(diǎn)單極點(diǎn)如如 的極點(diǎn)的極點(diǎn)z1、z2、z3、zn都互不相同，則都互不相同，則 可展開為可展開為 （6.2.2）式中式中 ，各系數(shù)，各系數(shù) （6.2.3）將求得的系數(shù)代入到式將求得的系數(shù)代入到式（6.2.2）后，等式兩端同乘后，等式兩端同乘以以z，得，得即可得即可得 的反變換為的反變換為 （6.2.4） zF0101( )nniiniKKKKF zzzzzzzzz00z ,0,1,iiiz zF zKzzinz niiizzzKKzF10 niniinzKnKnf10 zF zF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HIT

16、PEED第25頁Dr. Wang Yijie【例【例6.2.3】 設(shè)設(shè)Z變換變換 ，求其原序列。，求其原序列。解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?故故由式（由式（6.2.3）得）得 221( )32zzF zzz 22211=3212zzzzF zzzzz2012( )1=1212KKKF zzzzz zzzzz 2100zzFK 1111zzzFzK 5 . 1222zzzFzK電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第26頁Dr. Wang Yijie故故對上式取反變換得對上式取反變換得 25 . 1121zzzzzF nnnnfnn25 . 1121電氣工程系電氣工程系平

17、臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第27頁Dr. Wang Yijie【例例6.2.4】 求象函數(shù)求象函數(shù) 的的Z反變換反變換解：首先求出解：首先求出 的極點(diǎn)，它是方程的極點(diǎn)，它是方程 的根的根，所以，所以 有兩個單極點(diǎn)有兩個單極點(diǎn)故可得故可得 由式（由式（6.2.3）可求得）可求得 所以有所以有 取上式的反變換得取上式的反變換得23( )22zF zzzz ， zF022zz12( )32121kkF zzzzzz1, 121KK( )21zzF zzz nnfnn12 zF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第28頁Dr. Wang Yi

18、jie（2） 含有含有重極點(diǎn)重極點(diǎn)設(shè)設(shè) 在在 處有處有m階極點(diǎn)階極點(diǎn)，則，則 中一定含有中一定含有如下一項(xiàng)如下一項(xiàng)仿照拉普拉斯反變換的方法，將仿照拉普拉斯反變換的方法，將 展開為展開為 式中式中 項(xiàng)是由于項(xiàng)是由于 除除z以后自動增加了以后自動增加了 的的極點(diǎn)所致。極點(diǎn)所致。 zF1zz zF mzzzNzF1 zF( )F zz1011121111( )=mmmKKKKF zzzzzzzzzzK00z zF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第29頁Dr. Wang Yijie上式的上式的系數(shù)如下確定系數(shù)如下確定： （6.2.5）式中式中 。各系數(shù)確定以后，

19、則有。各系數(shù)確定以后，則有（6.2.6）可利用可利用查表查表的方式得到上式的反變換的方式得到上式的反變換 （6.2.7）mn, 3 , 2 , 11111201111( )mmmK zK zK zF zKzzzzzz nzmnnnmzzzZmnm111121!11 11111!11zzmnnnzzFzzdzdnK電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第30頁Dr. Wang Yijie【例例6.2.5】 若若 試求其反試求其反變換。變換。 解：解： 在在 是二重極點(diǎn)是二重極點(diǎn), 在在 是單極點(diǎn)，是單極點(diǎn)，因而展開成部分分式為因而展開成部分分式為 其中其中21(

20、 ),331z zF zzzz zF11z32z111222( )=131KKKF zzzZz2112111111 1 !31zzKzzz 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第31頁Dr. Wang Yijie 所以所以 它的反變換為它的反變換為2122111=112 1 !31zdzKzdzzz 13131322zzzzzK 2311zzzF zzzz nnnfn13電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第32頁Dr. Wang Yijie（3） 含含共軛單極點(diǎn)共軛單極點(diǎn)如果如果 有一對共軛單極點(diǎn)有一對共軛單極點(diǎn) ，則，

21、則 含含有共軛極點(diǎn)部分有共軛極點(diǎn)部分 展開為展開為 （6.2.8）將將 的共軛極點(diǎn)的共軛極點(diǎn)寫為指數(shù)形式寫為指數(shù)形式，即令，即令 zF zFjdcz2, 1zzF)(zzFa)(121212( )=aF zKKKKzzzzzzcjdzcjd jejdcz2, 1 zF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第33頁Dr. Wang Yijie式中式中 ， 令令 ，則，則可以證明可以證明 ，將，將 代入式（代入式（6.2.8），得），得即得即得 其原函數(shù)為其原函數(shù)為 （6.2.9）22arctandcdc，jeKK11jeKK122121,KKzz jjjjaez

22、eKezeKzzF11 jjjjaezzeKezzeKzF11 nnKeeKeeKnfnnjnjnjnjacos2111電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第34頁Dr. Wang Yijie【例例6.2.6】 若若 試求其反變換。試求其反變換。解：解： 將將 展開為展開為其極點(diǎn)分別為其極點(diǎn)分別為即上式可展開為即上式可展開為326( )214zF zzzz，zzF)(2216416)(323jzjzzzzzzzzzzF24, 32122, 1, 0jejzzz242321221)(jjezKezKzKzKzzF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信

23、號處理技術(shù)HITPEED第35頁Dr. Wang Yijie上式中的各系數(shù)為上式中的各系數(shù)為將各系數(shù)代入展開式，得將各系數(shù)代入展開式，得其原函數(shù)為其原函數(shù)為 00102163.43263.4423112524524zzjzjjzjF zKF zKzzF zKzjezF zKzjez 24 .6324 .6324524512300jjjjezeezezzzF nnnnfnn04 .632cos225123電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第36頁Dr. Wang Yijie 若若 已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù)已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù) 可由下可由下

24、式式圍線積分圍線積分確定確定右圖為右圖為 的收斂域的收斂域 zF nf RzdzzzFjnfCn121圖圖6.2.1 的收斂域的收斂域 zF6.2.3* 圍線積分法（留數(shù)法）圍線積分法（留數(shù)法） zF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第37頁Dr. Wang Yijie 在收斂域內(nèi)選取一個閉合路經(jīng)在收斂域內(nèi)選取一個閉合路經(jīng)C，由于，由于 在在 內(nèi)絕對收斂，所以內(nèi)絕對收斂，所以C的內(nèi)部的內(nèi)部包圍了包圍了 全部極點(diǎn)全部極點(diǎn)，則根據(jù)，則根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理有有 （6.2.10）式中式中Res表示極點(diǎn)的留數(shù)，式（表示極點(diǎn)的留數(shù)，式（6.2.10

25、）表明，）表明，原原序列等于收斂域內(nèi)的所有極點(diǎn)的留數(shù)之和序列等于收斂域內(nèi)的所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。所以。所以該方法也稱為留數(shù)法。該方法也稱為留數(shù)法。 zFRz Rz 1112Res0nCnif nF z zdzjF z zn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第38頁Dr. Wang Yijie如果如果 在在 有有單極點(diǎn)單極點(diǎn)，則，則 （6.2.11） 如果如果 在在 有有m重極點(diǎn)重極點(diǎn)，則，則 （6.2.12） 1nzzFizz 1Resiniiz zF z zzz 1nzzFizz 1111Res1 !immniiz zmdzzF z zmdz電氣工程系電氣

26、工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第39頁Dr. Wang Yijie 【例例6.2.7】 用留數(shù)法求用留數(shù)法求【例例6.2.5】中中 的反變換的反變換 解解 ： 它在它在 有單極點(diǎn)，在有單極點(diǎn)，在 有二重極點(diǎn)，由式（有二重極點(diǎn)，由式（6.2.11）可求得其在）可求得其在 留數(shù)為留數(shù)為由式（由式（6.2.12）可求得其在）可求得其在 的留數(shù)為的留數(shù)為 zF 12131nnzzF z zzz32z11z2z 2122321Re301nnnz zzzzs zF z zzznz，1z2m 1111Re102 1 !3nzzzds znndzz ，電氣工程系電氣工程系平臺課平臺

27、課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第40頁Dr. Wang Yijie所以根據(jù)式（所以根據(jù)式（6.2.10）得）得其結(jié)果與其結(jié)果與【例例6.2.5】完全相同。完全相同。 nnnfn13電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第41頁Dr. Wang Yijie1 線性性質(zhì)線性性質(zhì)2 移位特性移位特性 3 尺度變換尺度變換4 初值定理初值定理5 終值定理終值定理6 卷積定理卷積定理6.3 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第42頁Dr. Wang YijieZ變換的變換的線性性質(zhì)線性性質(zhì)表現(xiàn)為表

28、現(xiàn)為齊次性和可加性齊次性和可加性，即，即若若 則則 （6.3.1）式中式中a和和b為任意常數(shù)。相加后序列的變換收斂域?yàn)槿我獬?shù)。相加后序列的變換收斂域一般為一般為兩個收斂域的重疊部分兩個收斂域的重疊部分，如果在這些組合，如果在這些組合中中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則，則收斂域可能擴(kuò)大收斂域可能擴(kuò)大。 zFnfzFnf2211 zbFzaFnbfnaf21211 線性性質(zhì)線性性質(zhì)電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第43頁Dr. Wang Yijie例例 求序列求序列 的的z變換。變換。解：解： 根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式由線性性質(zhì)，再利用查表由

29、線性性質(zhì)，再利用查表6.1.1可得可得 可以記為可以記為 0cosn0021cos0jnjneen000000020201cos21122cos122 cos1jnjnjnjnjjZnZeeZeZezzzzzezezz20020coscos2 cos1zznzz電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第44頁Dr. Wang Yijie2 移位特性移位特性電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第45頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第46頁Dr. Wang Yi

30、jie)(mkkmzkfzFzmnf1雙邊序列fn,右移m位的單邊z變換證明：mnmnmmnnzmnfzzmnfmnfZ00)(由單邊z變換定義令k=n-m，有)(mkkmmkkkkmkkmzkfzFzzkfzkfzzmnfzmnfZ1100電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第47頁Dr. Wang Yijie)(111fzFznf)(21212ffzzFznf對于單邊，z變換有)(zFzmnfmmzmn1zzzmnm電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第48頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課

31、 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第49頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第50頁Dr. Wang Yijie例例3 求求 的的z變換。變換。解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?根據(jù)根據(jù) 得得 1251nnfn 22zzn 115 215252nFzZnzzzz zFzmnmnfm電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第51頁Dr. Wang Yijie例例4 求下圖所示矩形序列求下圖所示矩形序列 的的z變換。變換。解解 : 由圖所示，該矩形序列可表示為由圖所示，該矩形序列可表示為序列的移位序列的移位 n

32、f 4nnnf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第52頁Dr. Wang Yijie由于由于 ，根據(jù)移位特性，得，根據(jù)移位特性，得由線性性質(zhì)可得由線性性質(zhì)可得圖所示矩形序列也表示為圖所示矩形序列也表示為故有故有 1zzn111434zzzzzn 32331111zzzzzzzznf 32331111zzzzzzzznf 32332111zzzzzzznf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第53頁Dr. Wang Yijie例例5 求周期為求周期為N的單邊周期性單位序列的單邊周期性單位序列的的z變換。變換。解解: 根據(jù)線

33、性特性和移位特性，單邊周期性單位根據(jù)線性特性和移位特性，單邊周期性單位序列的序列的z變換為變換為 02NmnnnnNnNnmNnmN 111132NNNmNNNNNzzzzzzznnZ電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第54頁Dr. Wang Yijie設(shè)設(shè) 則則 乘以指數(shù)序列的乘以指數(shù)序列的z變換為變換為 （6.3.4）上式表明，若上式表明，若 乘以指數(shù)序列乘以指數(shù)序列 的的Z變換只要將的變換只要將的變換中的變換中的每個每個z除以除以a即可。即可。 zzFnf, nf azFnfakka nf3 尺度尺度變換變換電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理

34、技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第55頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第56頁Dr. Wang Yijie 例例3 若已知若已知 的的z變換，求序列變換，求序列 的變換。的變換。解解 : 從從前面例題前面例題可知可知根據(jù)尺度變換性質(zhì)可以得到根據(jù)尺度變換性質(zhì)可以得到0cosn0cosnan20020coscos2 cos1zznzz200201012200220coscos2cos11cos1 2coscos2cosnzzaaanzzaaazaza zz zazaza電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HI

35、TPEED第57頁Dr. Wang Yijie4 初值定理初值定理電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第58頁Dr. Wang Yijie電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第59頁Dr. Wang Yijie若若 ，則若，則若 的終值為的終值為 （6.3.6）注意注意：為了保證：為了保證 存在，只有當(dāng)存在，只有當(dāng) 時，時， 收斂才可應(yīng)用收斂才可應(yīng)用. zFnf nf fn nf 11limlimnzzff nF zz 5 終值定理終值定理電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第60頁Dr

36、. Wang Yijie【例例6.3.6】某序列的某序列的z變換為變換為 試求試求 解：解： 當(dāng)當(dāng) 時，時， ；當(dāng)；當(dāng) 時，時， 。由題意知，原序列為由題意知，原序列為 ，可見以上結(jié)果是，可見以上結(jié)果是正確的。正確的。 ,zF zzaza ff,0 1limlim0azzzFfzz 1111limlimlimnzzzzzff nzzaza 1a 0f 1f nanfn1a電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第61頁Dr. Wang Yijie設(shè)設(shè) ，則則 與與 卷積和的變換卷積和的變換為為 （6.3.7） zFnfzFnf2211, nf1 nf2 zFzF

37、nfnf21216 卷積定理卷積定理電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第62頁Dr. Wang Yijie【例例6.3.7】 求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積和求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積和 。解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)橛删矸e定理由卷積定理 得得顯然，顯然， 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?與與 的重疊部分的重疊部分，把，把 展開成部分分式，得展開成部分分式，得 nbnfnanfnn21 bzbzzzFazazzzF21 212zY zFzFzzazb zYaz bz 1( )azbzY zabzazb zY zFzFnfnf2121電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信

38、號處理技術(shù)HITPEED第63頁Dr. Wang Yijie取其反取其反z變換，即為序列變換，即為序列 與與 的卷積和的卷積和 卷積定理還在求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時非常有用卷積定理還在求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時非常有用。由于離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列與單位響。由于離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列與單位響應(yīng)的卷積和，即應(yīng)的卷積和，即由卷積定理得由卷積定理得 （6.3.8）式（式（6.3.8）中）中 稱為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位響應(yīng)稱為系統(tǒng)函數(shù)，它是單位響應(yīng) 的的z變換。變換。 nf1 nf2 11121nny nf nfnabnab nhnfinhifnyizs zHzFzYzs zH nh電

39、氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第64頁Dr. Wang Yijie【例例6.3.8】 已知一離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)已知一離散系統(tǒng)的單位響應(yīng) 和輸和輸入序列入序列 ，即，即試在域求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。試在域求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?由卷積定理由卷積定理 ，得，得 nh nf nnfnnhnn3121 ,1123zzH zF zzz zHzFzYzs 21123zszYzzz電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第65頁Dr. Wang Yijie將上式展開成部分分式可得將上式展開成部分分式可得取其反變換即得系統(tǒng)的零狀

40、態(tài)響應(yīng)取其反變換即得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 321123zszzYzzz 113223nnzsynn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第66頁Dr. Wang YijieZ變換的常用性質(zhì)變換的常用性質(zhì)電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第67頁Dr. Wang Yijie6.4 離散時間系統(tǒng)的離散時間系統(tǒng)的Z域分析域分析6.4.1 利用利用Z變換求解差分方程變換求解差分方程 6.4.2 離散系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)函數(shù) 6.4.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED

41、第68頁Dr. Wang Yijie線性非時變離散系統(tǒng)是用線性非時變離散系統(tǒng)是用常系數(shù)差分方程常系數(shù)差分方程描述描述的，而的，而Z變換是求解線性差分方程的最有力工變換是求解線性差分方程的最有力工具具，它的主要優(yōu)點(diǎn)是：，它的主要優(yōu)點(diǎn)是：求解步驟簡明而有規(guī)律，其求解步驟簡明而有規(guī)律，其初始狀態(tài)自然地包初始狀態(tài)自然地包含在含在Z域方程中域方程中，可一次性求得方程的全解；，可一次性求得方程的全解；Z變換變換把差分方程變換為代數(shù)方程把差分方程變換為代數(shù)方程，求解非常，求解非常方便。方便。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第69頁Dr. Wang Yijie6.4.1

42、 利用利用Z變換求解差分方程變換求解差分方程 描述描述k階系統(tǒng)的后向差分方程的一般形式可寫為階系統(tǒng)的后向差分方程的一般形式可寫為 （6.4.1）根據(jù)單邊根據(jù)單邊z變換的移位特性，變換的移位特性， 右移右移i個單位的個單位的z變換變換為為 （6.4.2）因因 是在是在 時接入的，所以時接入的，所以 的的z變換為變換為 （6.4.3）jnfbinyamjjmkiik00 ny 10innizinyzYziny nf0njnf zFzjnfj電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第70頁Dr. Wang Yijie將式（將式（6.4.1）兩邊取變換，并把式（）兩邊取

43、變換，并把式（6.4.2）、式（）、式（6.4.3）代入，得）代入，得即可得即可得 （6.4.4）由式（由式（6.4.4）可見，）可見，第一項(xiàng)僅與初始狀態(tài)有關(guān)第一項(xiàng)僅與初始狀態(tài)有關(guān)而與輸而與輸入無關(guān)；其入無關(guān)；其第二項(xiàng)僅與輸入有關(guān)第二項(xiàng)僅與輸入有關(guān)而與初始狀態(tài)無關(guān)。而與初始狀態(tài)無關(guān)。由此取上式的由此取上式的反變換反變換，得系統(tǒng)的，得系統(tǒng)的全響應(yīng)全響應(yīng)。 zFzbzinyzYzajmjjminnikiik0100 zFzazbzazinyazYkiiikmjjjmkiiikinnkiik000100電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第71頁Dr. Wang

44、Yijie由上述分析可知，利用變換求解系統(tǒng)的差分方程由上述分析可知，利用變換求解系統(tǒng)的差分方程的響應(yīng)的響應(yīng)一般步驟一般步驟為：為：（1）對給定的差分方程進(jìn)行）對給定的差分方程進(jìn)行Z變換變換，將時域內(nèi)的，將時域內(nèi)的激勵激勵 和響應(yīng)和響應(yīng) 分別變換成分別變換成Z域內(nèi)的激勵域內(nèi)的激勵 和和 響應(yīng)響應(yīng) 。（2）對差分方程）對差分方程Z變換后得到的變換后得到的代數(shù)方程求解代數(shù)方程求解，求得求得Z域內(nèi)的響應(yīng)域內(nèi)的響應(yīng) 。（3）對）對 進(jìn)行進(jìn)行反反Z變換變換，即可求的得待求的時，即可求的得待求的時域響應(yīng)域響應(yīng) 。 nf ny zF zY zY zY ny電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理

45、技術(shù)HITPEED第72頁Dr. Wang Yijie【例例6.4.1】 用變換分析法求解某離散系統(tǒng)的零輸入用變換分析法求解某離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)響應(yīng) 。描述系統(tǒng)的差分方程為。描述系統(tǒng)的差分方程為初始條件為初始條件為 和和 。解解 : 對差分方程對差分方程Z變換，根據(jù)移位特性，可得變換，根據(jù)移位特性，可得則則由給定的初始條件和確定所需的初始條件有由給定的初始條件和確定所需的初始條件有 nyzi 02615nynyny 20 y 31 y 021615121yyzzYzyzYzzY 112516261156ziyyyzYzY zzz 026150016051yyyyyy電氣工程系電氣工程系平臺課

46、平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第73頁Dr. Wang Yijie從中解出從中解出將初始條件將初始條件 和和 代入代入 的式中，整理后的式中，整理后可得可得將上式進(jìn)行部分分式展開，得到將上式進(jìn)行部分分式展開，得到對進(jìn)行反對進(jìn)行反Z變換，可得零輸入響應(yīng)為變換，可得零輸入響應(yīng)為36232,671yy1y2y zYzi 222756zizzYzzz 22732323zizzzzYzzzzz nnynnzi323電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第74頁Dr. Wang Yijie【例例6.4.2】 描述某線性離散系統(tǒng)的差分方程為描述某線性離散系統(tǒng)

47、的差分方程為若輸入激勵序列為若輸入激勵序列為 ，初始條件，初始條件 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：解： 對差分方程兩邊取對差分方程兩邊取z變換，得到變換，得到因?yàn)槌跏紬l件因?yàn)槌跏紬l件 ，激勵序列的，激勵序列的z變換為變換為 則上述方程變?yōu)閯t上述方程變?yōu)?nfnbyny1 nanfn zFbyzYbzzY11 zF zza azzzYbzzY110y 10y 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第75頁Dr. Wang Yijie解出解出 ，并整理得到，并整理得到 將其進(jìn)行部分分式展開，得到將其進(jìn)行部分分式展開，得到對對 進(jìn)行反進(jìn)行反Z變換，即

48、得到其零狀態(tài)響應(yīng)變換，即得到其零狀態(tài)響應(yīng) zY bzazzzY2 1azbzY zabzazb zY 111nnzsynabnab電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第76頁Dr. Wang Yijie（1） 的概念的概念 （6.4.6）表明：系統(tǒng)函數(shù)表明：系統(tǒng)函數(shù) 僅決定于系統(tǒng)的差分方程僅決定于系統(tǒng)的差分方程，而與激勵和響應(yīng)的形式無關(guān)。而與激勵和響應(yīng)的形式無關(guān)。 00( )=mjmjjzskik iibzYzH zF zaz zH zH6.4.2 離散系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)函數(shù) 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第77頁Dr

49、. Wang Yijie引入系統(tǒng)函數(shù)的概念以后，零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)引入系統(tǒng)函數(shù)的概念以后，零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)就可表示為就可表示為 （6.4.7）當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)和激勵的象函數(shù)均已知時，則系統(tǒng)的當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)和激勵的象函數(shù)均已知時，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)隨之可定，即零狀態(tài)響應(yīng)隨之可定，即 （6.4.8）由前面可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是單位響應(yīng)與激由前面可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是單位響應(yīng)與激勵的卷積和，即勵的卷積和，即 （6.4.9）重要結(jié)論重要結(jié)論:零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)等于系統(tǒng)函數(shù)與激零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)等于系統(tǒng)函數(shù)與激勵象函數(shù)的乘積勵象函數(shù)的乘積。 zHzFzYzs zHzFZnyzs1 nhnfnyzs電氣工程系

50、電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第78頁Dr. Wang Yijie當(dāng)系統(tǒng)的激勵為單位序列當(dāng)系統(tǒng)的激勵為單位序列 時，其零狀態(tài)響應(yīng)時，其零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位響應(yīng)稱為單位響應(yīng) ，那么此時有，那么此時有故有故有 顯然顯然 或或 （6.4.10）可見，可見，系統(tǒng)函數(shù)與單位響應(yīng)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)與單位響應(yīng)構(gòu)成Z變換對變換對。 n nh 1nZzF zHzYzs zHnhZ zHZnh1電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第79頁Dr. Wang Yijie【例例6.4.4】 已知一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為已知一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為試

51、確定該系統(tǒng)的差分方程。試確定該系統(tǒng)的差分方程。解解 ： 將展開成如下形式將展開成如下形式因此差分方程為因此差分方程為 21111131124zH zzz 12121213148Y zzzH zF zzz zFzzzYzz21212183411 212283141nfnfnfnynyny電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第80頁Dr. Wang Yijie【例例6.4.5】 設(shè)有一數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的差分方程為設(shè)有一數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) 和單位響應(yīng)和單位響應(yīng) ；若激勵為若激勵為 ，求其零狀態(tài)響應(yīng)。，求其零狀態(tài)響應(yīng)。解：解： （1）求）求 在

52、零狀態(tài)下對系統(tǒng)差分方程兩邊取在零狀態(tài)下對系統(tǒng)差分方程兩邊取Z變換，得變換，得故故 12216. 016 . 0nfnfnynyny zH nh nnfn4 . 0 zH zFzzYzz1212116. 06 . 01 121221221 0.60.160.60.16Y zzzzH zF zzzzz電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第81頁Dr. Wang Yijie（2）求）求 由于已經(jīng)求出系統(tǒng)函數(shù)由于已經(jīng)求出系統(tǒng)函數(shù) ，取其，取其Z反變換即求得反變換即求得 。將將 進(jìn)行部分分式展開得進(jìn)行部分分式展開得求出系數(shù)求出系數(shù) ，所以有，所以有取反變換即得單位響應(yīng)

53、取反變換即得單位響應(yīng) nh zH nh zH8 . 02 . 08 . 02 . 02)(21zKzKzzzzzH122.2,1.2KK 2.21.20.20.8zzH zzz 2.2 0.21.20.8nnh nn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第82頁Dr. Wang Yijie（3） 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為 利用部分分式展開法，得到利用部分分式展開法，得到對其進(jìn)行反變換即得系統(tǒng)在激勵作用下的零狀態(tài)對其進(jìn)行反變換即得系統(tǒng)在激勵作用下的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng) nnfn4 . 0 0.4zF zz 220.20.

54、80.4zszzYzF zH zzzz 2.20.840.20.80.4zszzzYzzzz 2.2 0.20.80.84(0.4)nnnzsynn 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第83頁Dr. Wang Yijie（2） 的零極點(diǎn)分布與的零極點(diǎn)分布與 單位響應(yīng)變化規(guī)律的關(guān)系單位響應(yīng)變化規(guī)律的關(guān)系 為了認(rèn)識系統(tǒng)的特性，有必要討論系統(tǒng)為了認(rèn)識系統(tǒng)的特性，有必要討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)所函數(shù)的極點(diǎn)所在位置與時域響應(yīng)的變化規(guī)律在位置與時域響應(yīng)的變化規(guī)律之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為式中為系統(tǒng)函數(shù)的式中為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)；式中為式中為極點(diǎn)極點(diǎn)；為

55、常系數(shù)。；為常系數(shù)。 zH nh 12012mnzrzrzrH zHzzzzzznzzz,21mrrr,210H電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第84頁Dr. Wang Yijie為了簡單起見，設(shè)中為了簡單起見，設(shè)中只含有單極點(diǎn)只含有單極點(diǎn)，這樣系，這樣系統(tǒng)函數(shù)可展開成如下形式的部分分式之和統(tǒng)函數(shù)可展開成如下形式的部分分式之和 其中其中 ，上式又可寫成，上式又可寫成 取其取其反變換反變換，即得到系統(tǒng)的，即得到系統(tǒng)的單位響應(yīng)單位響應(yīng) （6.4.11）由此可見，系統(tǒng)的單位響應(yīng)將完全決定于的由此可見，系統(tǒng)的單位響應(yīng)將完全決定于的零、極點(diǎn)在平面上的分布規(guī)律。零、

56、極點(diǎn)在平面上的分布規(guī)律。 zH zH 0niiiK zH zzz00z 01niiiK zH zKzz niniinzKnKnh10 zH電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第85頁Dr. Wang Yijie按的零、極點(diǎn)在平面上的位置可分為：按的零、極點(diǎn)在平面上的位置可分為：在單在單位圓上、在單位圓內(nèi)和在單位圓外位圓上、在單位圓內(nèi)和在單位圓外。極點(diǎn)可以是極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，也可以是，也可以是成對的共軛復(fù)數(shù)成對的共軛復(fù)數(shù)?？梢砸罁?jù)的極點(diǎn)在可以依據(jù)的極點(diǎn)在Z平面上的分布情形，判平面上的分布情形，判斷出相應(yīng)斷出相應(yīng) 的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 zHiz zH nh

57、電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第86頁Dr. Wang Yijie表表6.4.中給出了典型對應(yīng)關(guān)中給出了典型對應(yīng)關(guān)系的示意圖。圖中系的示意圖。圖中“ ”表表示示 的極點(diǎn)位置。的極點(diǎn)位置。 zH電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第87頁Dr. Wang Yijie若對任意有界的輸入序列，其輸出序列的值總是有界若對任意有界的輸入序列，其輸出序列的值總是有界的，這樣的離散系統(tǒng)就稱為的，這樣的離散系統(tǒng)就稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。即對于離散系統(tǒng)而言，如對所有的輸入序列有即對于離散系統(tǒng)而言，如對所有的輸入序列有 而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

58、滿足而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)滿足 則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中 和和 為有階正常數(shù)。為有階正常數(shù)。 ziMnf zszsMnyziMzsM6.4.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第88頁Dr. Wang Yijie離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是是式中式中M為有限正常數(shù)。即若單位響應(yīng)為有限正常數(shù)。即若單位響應(yīng) 是絕對可是絕對可和的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。和的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于對于因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)，上述條件可改寫為，上述條件可改寫為 （6.4.12） Mnhn| nh Mnhn0|電

59、氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第89頁Dr. Wang Yijie結(jié)論：結(jié)論：（1）若全部）若全部 的極點(diǎn)位于的極點(diǎn)位于單位圓之內(nèi)單位圓之內(nèi)，系統(tǒng)一定，系統(tǒng)一定是是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。（2）若）若 的的一階極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或共軛極點(diǎn)）均位一階極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或共軛極點(diǎn)）均位于單位圓上于單位圓上，而單位圓外無極點(diǎn)，該系統(tǒng)是，而單位圓外無極點(diǎn)，該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)臨界穩(wěn)定定的。的。（3）若）若 的極點(diǎn)的極點(diǎn)只要有一個位于單位圓之外只要有一個位于單位圓之外，或，或在單位圓上有重極點(diǎn)，該系統(tǒng)一定是在單位圓上有重極點(diǎn)，該系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的。的。 zH zH zH電氣工程系電氣

60、工程系平臺課平臺課 信號處理技術(shù)信號處理技術(shù)HITPEED第90頁Dr. Wang Yijie【例例6.4.6】 有一離散系統(tǒng)的差分方程為有一離散系統(tǒng)的差分方程為試求系統(tǒng)函數(shù)試求系統(tǒng)函數(shù) ，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解: 對方程兩邊取對方程兩邊取z變換，得變換，得整理后即得系統(tǒng)函數(shù)整理后即得系統(tǒng)函數(shù)由于由于 的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為 ，它們均位于單，它們均位于單位圓內(nèi)，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。位圓內(nèi)，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 122 . 011 . 0nfnfnynyny zH 112( )1( )1 0.10.2Y zzH zF zzz 10.40.5z zH zzz5 . 0, 4 . 02