大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)(第4章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論+2011.04.18)

1、1 第四章第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論2* 地球形狀接近一個(gè)兩極略扁的旋轉(zhuǎn)橢球，為研究方地球形狀接近一個(gè)兩極略扁的旋轉(zhuǎn)橢球，為研究方便，通常采用便，通常采用旋轉(zhuǎn)橢球旋轉(zhuǎn)橢球代表地球，作為描述地球表面代表地球，作為描述地球表面空間位置的基準(zhǔn)，稱其為空間位置的基準(zhǔn)，稱其為地球橢球地球橢球。S緯線NOWE赤道赤道赤道平面赤道平面起始子午面起始子午線G3用數(shù)學(xué)模型表示地球橢球，可以：用數(shù)學(xué)模型表示地球橢球，可以： 1 1）代表地球的數(shù)學(xué)表面；）代表地球的數(shù)學(xué)表面； 2 2）大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面；）大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面； 3 3）研究大地水準(zhǔn)面的參考面；）研究大地水準(zhǔn)面的

2、參考面； 4 4）地圖投影的參考面。）地圖投影的參考面。44.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系 地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球, ,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)( (或稱元素或稱元素):): 長(zhǎng)半軸長(zhǎng)半軸 短半軸短半軸 橢圓的扁率橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率橢圓的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22bbae22ee5 為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，還常引入以下符號(hào)2222, tan , cosactBeBbBeVBeW2222cos1sin1221

3、,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系64.2 橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.1 各種坐標(biāo)系的建立各種坐標(biāo)系的建立1、大地坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系大地經(jīng)度大地經(jīng)度B 大地緯度大地緯度L 大地高大地高H 72、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球位于總地球橢球( (或參考橢球或參考橢球) )質(zhì)心；質(zhì)心；Z Z軸軸與地與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即

4、指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X X軸軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)與赤道面的交點(diǎn)G G；Y Y軸軸與此平面垂直，且指向東為正。與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系83、子午面直角坐標(biāo)系子午面直角坐標(biāo)系 設(shè)設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，在過(guò)在過(guò)P點(diǎn)的子午面上，以點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x, y平面直角坐標(biāo)

5、系。在平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用點(diǎn)的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系94、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢球面上設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓在此子午面上以橢圓中心中心O為原點(diǎn)建立為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長(zhǎng)半徑以橢球長(zhǎng)半徑a為半為半徑作輔助圓，延長(zhǎng)徑作輔助圓，延長(zhǎng)與輔助圓相交與輔助圓相交點(diǎn)，則點(diǎn)，則OP與與x軸夾角稱為軸夾角稱為P點(diǎn)的點(diǎn)的歸化緯度歸化緯度u。 常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系10常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系5 5、

6、大地極坐標(biāo)系、大地極坐標(biāo)系 M是橢球面上一點(diǎn)，是橢球面上一點(diǎn)，MN是過(guò)是過(guò)M的子午線，的子午線，S為連接為連接MP的大地線長(zhǎng)，的大地線長(zhǎng)，A為大地線在為大地線在M點(diǎn)的方位角。點(diǎn)的方位角。 以以M為極點(diǎn)；為極點(diǎn)； MN為極軸；為極軸； P點(diǎn)極坐標(biāo)為（點(diǎn)極坐標(biāo)為（S, A)11常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2 坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系 子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(012常用坐標(biāo)系及其

7、關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos2213常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系c o s, s in, XxLYxLZyl空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系14常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系 2coscoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)

8、(2nH0l空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系在橢球面上的點(diǎn)：在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：15常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)16 B、u、 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 B和u之間的關(guān)系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscos常

9、用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系17uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐標(biāo)系及其關(guān)系常用坐標(biāo)系及其關(guān)系n U、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 、之間的關(guān)系之間的關(guān)系n 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)B=45時(shí)時(shí)184.3 橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的幾種曲率半徑 過(guò)橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作 法截面法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線法截線。 子午圈曲率半徑dBdSM

10、19BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑2023(1)aeMW3VcM 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑21 卯酉圈曲率半徑(N) 卯酉圈卯酉圈: :過(guò)橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無(wú)限個(gè)法截面，過(guò)橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無(wú)限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。形成的閉合的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理麥尼爾定理: : 假設(shè)通過(guò)

11、曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，假設(shè)通過(guò)曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑22BNrcosWBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑23 卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn)卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn): : 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球

12、面和短軸之間的長(zhǎng)度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)之間的長(zhǎng)度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。軸上。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑24主曲率半徑的計(jì)算主曲率半徑的計(jì)算 以上討論的子午圈曲率半徑以上討論的子午圈曲率半徑M M及卯酉圈曲率半徑及卯酉圈曲率半徑N N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。統(tǒng)稱為主曲率半徑。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsi

13、nsinsin橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑256284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑262322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑271011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109

14、) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn28 任意法截弧的曲率半徑任意法截弧的曲率半徑 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑29 任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律: 不僅與點(diǎn)的緯度不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過(guò)該點(diǎn)的法有關(guān)，而且還與過(guò)該點(diǎn)的法截弧的方位角截弧的方位角A有關(guān)。有關(guān)。 當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即當(dāng)時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即； 當(dāng)當(dāng)90時(shí)，為卯酉圈曲率半

15、徑，即時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑。主曲率半徑M及及N分別是分別是的極小值和極大值的極小值和極大值。 當(dāng)當(dāng)A由由090時(shí)，時(shí)，之值由之值由，當(dāng)，當(dāng)A由由90180時(shí)，時(shí)，值由值由N，可見(jiàn)，可見(jiàn)值的變化是以值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。為周期且與子午圈和卯酉圈對(duì)稱的。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑30l 平均曲率半徑平均曲率半徑 橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑 R R 等于該點(diǎn)子午等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑圈曲率半徑M M和卯酉圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑N N的幾何平均值。的幾何平均值。 MNR 22221eWaVNVcWbR橢球面

16、上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑31 M，N，R的關(guān)系 MRNcMRN909090橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑32 對(duì)于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑334.4 橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算 子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin34橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2c

17、os2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203512816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑36 如果以如果以B B9090代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長(zhǎng)約為長(zhǎng)約為10 002 13710 002 137m m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長(zhǎng)約旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長(zhǎng)約為為40 008 549.995

18、40 008 549.995m m。即一象限子午線弧長(zhǎng)約為即一象限子午線弧長(zhǎng)約為10 10 000000kmkm，地球周長(zhǎng)約為地球周長(zhǎng)約為40 00040 000kmkm。 為求子午線上兩個(gè)緯度為求子午線上兩個(gè)緯度B及間的弧長(zhǎng)，只需按及間的弧長(zhǎng)，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的式分別算出相應(yīng)的X及及X，而后取差：而后取差：，該，該即為所求的弧長(zhǎng)。即為所求的弧長(zhǎng)。 當(dāng)弧長(zhǎng)甚短當(dāng)弧長(zhǎng)甚短( (例如例如X40kmX40km，計(jì)算精度到計(jì)算精度到0.0010.001m)m)，可視可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑子午圈的

19、曲率半徑M M 橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算37 由子午弧長(zhǎng)求大地緯度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧長(zhǎng)公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算38橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算 子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較394.5 大地線大地線 兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的球面上是兩點(diǎn)間的大圓

20、弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢一條線呢? ? 它應(yīng)是大地線。它應(yīng)是大地線。 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba40 相對(duì)法截線相對(duì)法截線 大地線大地線41 相對(duì)法截線的特點(diǎn)相對(duì)法截線的特點(diǎn): :當(dāng)當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測(cè)得的角度三個(gè)點(diǎn)處所測(cè)得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角各點(diǎn)上正法截線之夾

21、角)將不能構(gòu)成閉合三角將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。線構(gòu)成的單一的三角形。 大地線大地線42大地線大地線大地線的定義和性質(zhì)大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線大地線。43 大地線的性質(zhì)大地線的性質(zhì): : 大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角的夾角 在橢球面

22、上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等，大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。 長(zhǎng)度差異可忽略長(zhǎng)度差異可忽略, ,方向差異需改化。方向差異需改化。 31大地線大地線44 大地線的微分方程和克萊勞方程大地線的微分方程和克萊勞方程 大地線的微分方程大地線的微分方程45AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsi

23、n(90(90)dAdLBdB大地線的微分方程大地線的微分方程46dA PTr dl cossinsinrdlNBdlAdABdltgBdSPTNctgBNPTNctgB47dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地線的微分方程大地線的微分方程大地線的克萊勞方程大地線的克萊勞方程 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地

24、線常數(shù)也叫大地線常數(shù) 48 當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線穿越赤道時(shí) 當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí) 由克萊勞方程可以寫(xiě)出由克萊勞方程可以寫(xiě)出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos494.6 將地面觀測(cè)值歸算至橢球面將地面觀測(cè)值歸算至橢球面 觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準(zhǔn)；以橢球面的法線為基準(zhǔn)； 將地面觀測(cè)元

25、素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素將地面觀測(cè)元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。 將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三三差改正差改正。 50垂線偏差改正垂線偏差改正 以測(cè)站以測(cè)站A為中心作出單位為中心作出單位半徑的輔助球半徑的輔助球, ,u是垂線是垂線偏差，它在子午圈和卯酉偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以圈上的分量分別以,表示，表示，M是地面觀測(cè)目標(biāo)是地面觀測(cè)目標(biāo)m在球面上的投影。在球面上

26、的投影。地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面51在在RR1 1RMRM中，由球面正弦定理得中，由球面正弦定理得：1110coscossinsinsinsin)90sin(ZqqZqqZuuuu很小，則有與即P52在球面在球面ZZZZ1 1M M中，根據(jù)正弦定理有：中，根據(jù)正弦定理有：1111111tan)cossincot)cossincossin)cossin()sincoscos(sinsin)sincoscos(sinsinsinsinsin)sin(sinsin mmmmummmmmmmAAZAAZqZAAAAAAZuqAAAAZuqZAAuq （則垂線偏差改正為：則垂線偏差改

27、正為：P53 標(biāo)高差改正 地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面 由于不在同一子午面或同一平行由于不在同一子午面或同一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的，當(dāng)圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的，當(dāng)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度時(shí)，照照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度時(shí)，照準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線與橢準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線與橢球面的交點(diǎn)，由此引起方向偏差球面的交點(diǎn)，由此引起方向偏差h.vHbbbBbAsbbbAhsin)180sin(2 中中在在 54212221212221222122221222220coscoscos2cos2sin2cos)sin(sincossinsincossinsinsincos)9

28、0sin(sinBBBBeBBBBBeBBBeBnBBeNBeNBnBnnvNNBnBeNBeNOnOnnnBnBnnBnBnnvnBnmaabababaaababbaabaababa）（則令中，由正弦定理有：在55ABMHeABeMHABMAsesAsbbAAABMAsevHbbBMAsevBBMAsBBbAhAbbAAbAbmAb2sincos22sincos2sincoscos1)180sin(180coscossincoscossincos2222222222002222222212 56 截面差改正截面差改正 2222111() cossin 212geSBAN 地面觀測(cè)值歸算至橢球

29、面地面觀測(cè)值歸算至橢球面57 將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算至橢球面將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算至橢球面 基線尺量距的歸算基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長(zhǎng)度加上測(cè)段傾斜改正后，將基線尺量取的長(zhǎng)度加上測(cè)段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長(zhǎng)度，以可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長(zhǎng)度，以表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長(zhǎng)表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長(zhǎng)度度S。 1. 1.垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響 )(22122121HHuuhuuSu地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面582.高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響 RHRHRSSmm10101RHSSm2

30、201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面59電磁波測(cè)距的歸算電磁波測(cè)距的歸算 12212coscos1ABeNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面60)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241A

31、AmRDRHhDS)1)(1 ()(121212AARHRHDHHDd地面觀測(cè)值歸算至橢球面地面觀測(cè)值歸算至橢球面61 大地測(cè)量主題解大地測(cè)量主題解算算4.7.1 大地主題解算的一般說(shuō)明大地主題解算的一般說(shuō)明 主題解算分為主題解算分為: : 短距離短距離(400(400kmkm) ) 中距離中距離(1000(1000km)km) 長(zhǎng)距離長(zhǎng)距離(1000(1000kmkm以上以上) ) 111 21 2222 1(,),(,),P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求11221 21 22 1(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ， 求62

32、1.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。 主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長(zhǎng)，主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長(zhǎng)，收斂越慢，因此只適用于較短的距離收斂越慢，因此只適用于較短的距離 典型解法：典型解法：高斯平均引數(shù)法高斯平均引數(shù)法 212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss i nc o st a ns i nd BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算

33、632.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面 向球面的過(guò)渡；向球面的過(guò)渡；2)2)在球面上解算大地問(wèn)題；在球面上解算大地問(wèn)題；3)3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過(guò)渡?，F(xiàn)從圓球向橢球的過(guò)渡。典型解法：典型解法：白塞爾大地主題解算白塞爾大地主題解算 特點(diǎn)：特點(diǎn)：解算精度與距離長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，它既適用于短距離解算精度與距離長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長(zhǎng)距離解算?？蛇m應(yīng)解算，也適用于長(zhǎng)距離解算?？蛇m應(yīng)20 0

34、0020 000kmkm或更長(zhǎng)的或更長(zhǎng)的距離，這對(duì)于國(guó)際聯(lián)測(cè)，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都距離，這對(duì)于國(guó)際聯(lián)測(cè)，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。具有重要意義。 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算644.7.2 勒讓德級(jí)數(shù)式勒讓德級(jí)數(shù)式 為了計(jì)算為了計(jì)算 的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，關(guān)鍵問(wèn)題是推求的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，關(guān)鍵問(wèn)題是推求各階導(dǎo)數(shù)。各階導(dǎo)數(shù)。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 22332111112323nnnd LSd

35、Ld LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A, 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算65 一階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：3coscossinsecsincostansintansindBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdSNc 二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算66 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)22222()()se

36、csincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2d BVAAttAt5 t dSccos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 332222233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算671cosuSA 1sinvSA 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算68 大地測(cè)

37、量主題解算大地測(cè)量主題解算69 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算70 4.7.3 高斯平均引數(shù)正算公式高斯平均引數(shù)正算公式 高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：的基本思想： 首先把勒讓德級(jí)數(shù)在首先把勒讓德級(jí)數(shù)在 P P點(diǎn)展點(diǎn)展開(kāi)改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)開(kāi)改在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M M展開(kāi)，以展開(kāi)，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn) M M 的復(fù)雜性，將的復(fù)雜性，將 M M 點(diǎn)用大地線兩點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的應(yīng)的 m m 點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代計(jì)點(diǎn)來(lái)代替，并

38、借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算7121,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468MMMMdBSd BSd BSBB dSdSdS (1)建立級(jí)數(shù)展開(kāi)式建立級(jí)數(shù)展開(kāi)式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdS 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算72mMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASS

39、dSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2) 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算73MmmMmMmmmdBfff BABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSd AAAdSSd A dS()() MMMmMmmMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +MmmMmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算74 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量

40、主題解算32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 75222222222388mMmmmmmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sincos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S

41、+5 8N()coscos(sincos)sincos()次 大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算7623322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()cos() 次22222212222221232243195mmmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算77 同理可得：同理可得：22222222124195mmmmmmmmmmSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次2222224222127924522

42、5m mmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次大地測(cè)量主題解算大地測(cè)量主題解算78 注意： 從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。 除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問(wèn)題解算，其計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”, 方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA794.7.4 高斯平均引數(shù)反算公式高斯平均引數(shù)反算公式 高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:222

43、222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmm mSALSANBS tAN SAt2222222222222coscossin(232)243cos(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV80230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222222101230233233248mmmm

44、mmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412mmm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),cos() 81已知：求得：1474652.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 44 797.2826S m248 04 09.6384B 23614 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA824.7.5 白塞爾大地主題解算方法白塞爾大地主題解算方法 白塞爾法解算大地主題的基

45、本思想白塞爾法解算大地主題的基本思想: : 以輔助球面為基礎(chǔ)以輔助球面為基礎(chǔ), ,將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形助球面的相應(yīng)三角形, ,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系, ,將將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。 這種方法的關(guān)鍵問(wèn)題是找出橢球面上的大地這種方法的關(guān)鍵問(wèn)題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式元素與球面上相應(yīng)元素之間

46、的關(guān)系式, ,同時(shí)也要同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。 12121212,BBAAL S 83 在球面上進(jìn)行大地主題解算在球面上進(jìn)行大地主題解算 球面上大地主題正算球面上大地主題正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主題反算球面上大地主題反算: : 已知已知 求解求解22 , 11 , 12 , 12 , 841、球面三角元素間的相互關(guān)系、球面三角元素間的相互關(guān)系12211121221212 a b c sinsinsincos( )sinsinsincos( )sincoscossinsincoscos( )sincossincoscoss

47、inc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos( )coscoscoscossinsincos()coscossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i( )sinsincoscossincos( ) 85 球面上大地主題正解112, 2已 知 求,2111sinsincoscossin cos( ) i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg86 球面上大地主題反解方法球面上大地主題反

48、解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossincosu bduuuu211212sin costan( ) ( )cossinsincoscosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p872 2 、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式88 在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 423842394240dBBdS dMdd

49、LAdS dNBddABA dS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 89白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：1. 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；3.3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度化緯度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu90,?S L 2211dS

50、NNucaNeedBABVVtansintantansintan 2222222222222111111eVeBWue VueueVcoscoscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 912122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin 以上為白塞爾微分方程以上為白塞爾微分方程.92 3 、白塞爾微分方程的積分白塞爾微分方程的積分21221ppS

51、aeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 21212220222201111ppppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 932201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin2816 24611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos 94 積分得到下式：積分得到下式：1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABC112222

52、22SABCBCsin(cos)sin(cos) 2462464635146 42 5 61 583 21 0 2 431 2 85 1 6kkkAbkkBbkkCbk()()() 95 適合于反算: 適合于正算: 迭代法: 1122sin 2(cos 2)sin 2(cos 2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 初始值962122211QQLLLeudcos 212124624621246242128162816QQQQeeeLLLuuudeee uuud(coscoscos(coscos)cos 22

53、201uAcoscossin 09090AAucos()sin sin() AddNusincos 20udAdcossin 97 將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。212464622006440281681616QQeeeeeLAAe + +Ad sin()()cossin()cossin 98 正算：正算： 反算：反算：2102122LLLAsin(sinsin) 02122LAsin(sinsin) 246466240046624003281616 16128323264eeeeeeAAeeeAA() ()cos()cos()cos(

54、)cos 994 白塞爾法大地主題正算步驟白塞爾法大地主題正算步驟 1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度2.計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,CA,B,C以及以及, 1111222221BLAAS B LAA,(),()22111WeBsin 21111 euBWsinsin 1111uBWcoscos 011111AuA tgtguAsincossinsec 100 4.計(jì)算球面長(zhǎng)度計(jì)算球面長(zhǎng)度 迭代法: 111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBC

55、Asin(cos) 10101022222sin ()sinsincoscos 10101022222cos ()coscossinsin 101 5.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù)計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù) 6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角 010122LAsin(sin()sin) 2111uuuAsinsincoscoscossin 2222222222222222222222111111111euB uBWW ueBuu B Barctaneueusinsincoscostantansinsintancos-cos 102112111uAAarctanuAucossincoscos

56、cossinsin 1111AarctanuuAsinsincoscossinsincos 21LL 1035 白塞爾法大地主題反算步驟白塞爾法大地主題反算步驟 1. 1.輔助計(jì)算輔助計(jì)算112112BLBL AAS,21lLL 22111WeBsin 22221WeBsin 21111BueWsinsin 22221BueWsinsin 111BuWcoscos 222BuWcoscos 112auusinsin 212auucoscos 112buucossin 212buusincos 1042.用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長(zhǎng)度及用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長(zhǎng)度及

57、經(jīng)差經(jīng)差 ，第一次趨近時(shí)，取第一次趨近時(shí)，取。211212upAuuuuqsincostancossinsincoscos 2121ppu qbb Aarctanqsincoscos 11pAqAsincostancos 11pAqAsinsincos 12aacoscos arctansincos L L105 計(jì)算下式計(jì)算下式,重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程2.3. 計(jì)算大地線長(zhǎng)度計(jì)算大地線長(zhǎng)度S 4. 計(jì)算反方位角計(jì)算反方位角21+ 111uAtantansec 011AuAsincossin 02122LAsin(sinsin) L 11222222SABCBCsin(cos)sin

58、(cos) 1212uAbbc o ss ina r c t a nc o s 106107108),(),(21BLFyBLFx4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念 1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程 所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡(jiǎn)略地說(shuō)來(lái)就是將橢球面上元素所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡(jiǎn)略地說(shuō)來(lái)就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上，研究這個(gè)問(wèn)題的專門(mén)學(xué)科叫地圖投影學(xué)。上，研究這個(gè)問(wèn)題的專門(mén)學(xué)科叫地圖投影學(xué)。投影變換的基本概念投影變換的基本概念109 2 、地圖投影的變形地圖

59、投影的變形1.長(zhǎng)度比 : 長(zhǎng)度比長(zhǎng)度比m就是投影面上一段無(wú)限小的微分線段就是投影面上一段無(wú)限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。二者之比。 不不同點(diǎn)上的長(zhǎng)同點(diǎn)上的長(zhǎng)度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長(zhǎng)度比也不相同度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長(zhǎng)度比也不相同 1212012p pPPmP Plim dsmdS 投影變換的基本概念投影變換的基本概念1102.主方向和變形橢圓主方向和變形橢圓 投影后一點(diǎn)的長(zhǎng)度比依方向不同而變化。其中最大及投影后一點(diǎn)的長(zhǎng)度比依方向不同而變化。其中最大及最小長(zhǎng)度比的方向，稱為主方向。最小長(zhǎng)度比的方向，稱為主方向。 在橢球面

60、的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長(zhǎng)度比在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長(zhǎng)度比的極值方向，也就是主方向。的極值方向，也就是主方向。 投影變換的基本概念投影變換的基本概念111 , a bxy122byax,12222byaxrrm1投影變換的基本概念投影變換的基本概念 以定點(diǎn)為中心，以長(zhǎng)度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個(gè)長(zhǎng)以定點(diǎn)為中心，以長(zhǎng)度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個(gè)長(zhǎng)度比的極值為長(zhǎng)、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。度比的極值為長(zhǎng)、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。112 3.投影變形 1 1）長(zhǎng)