平面向量題型歸納總結(jié)

1、平面向量題型歸納一.向量有關(guān)概念：【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】uuu r1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，記作： AB或a。注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意 不能說向量就是有向線段 ，為什么（向量可以平移）。uuu r例：已知A （1,2）, B （4,2）,則把向量 AB按向量a= （ 1,3 ）平移后得到的向量是uur r2 .向量的模：向量的大小（或長度），記作：|AB|或|a|。3 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的uuu4 .單位向量：單位向量：長度為1的向量。若e是單位向量，則|e| 1。（與AB共線的單uuu位向量是_

2、AB_）;|AB|相等向量有傳遞性;a、b叫做平行向量，記作：a / b ,5 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,6 .平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量 規(guī)定零向量和任何向量平行提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）；三點(diǎn)A、B、C共線uur uuurAB、AC共線;如圖，在平行四邊形ABCD 中,卜列結(jié)論中正確的是uuuA. ABuuirCDB.uuuABuuurADuuurBDuuur C. ADuu

3、rABuurACD.uuurADuurBC7.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。uura的相反向量是一a、ABuuuBA。例：下列命題:r(1)若 a，則 a b。（ 2）若 ab,b c,則 a c。(6)若 ab,bc ,r r則 a/c 。 (3)uur uuir若AB DC ,則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則uuur uurAB DC 。其中正確的是題型1、基本概念1:給出下列命題:若|ai=i bi向量可以比較大小;方向不相同的兩個向量一定不平行;r r rabbuuuABuuurCDuuu ABuurCD a b bacmar mbr r r a

4、 b mar nab |a| |b|a/b|a b| |ar rb| arb角形法則:uurABuur unrBC AC ;unr unr uuu uuur uuir AB BC CD DE AE;uurABuurACuuuCB （指向被減數(shù)）uuu1、化簡（ABuuu2、已知|OA|urnr3、在平行四邊形 ABCD中，若ABunrADuurr unrAB AD ,則必有 (uuir rA. AD 0 B.uuuABunr似ADC.ABCD是矩形D.ABCD是正方形9.平行四邊形法則r r以a,b為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為 題型2.向量的加減運(yùn)算uuu uuur uuur uuuu

5、MB) (BO BC) OMuuu uur5, |OB| 3,則| AB|的最大值和最小值分別為題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1、計(jì)算：(1) 3(a b) 2(a b)r(2) 2(2 arr r5b 3c) 3( 2a 3b 2c)題型4.作圖法求向量的和r3a3r一 b 和 2a 一 b。r r1、已知向量a, b ,如下圖，請做出向量題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1、已知在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請用向量uuu uuur uurAB, AC 表示 AD 。r uur uurb ,求 A評口 AD ouuur uuur2、在平行四邊形 ABCD中，已知AC a,BD題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

6、11rL* .一7一 下一1 x設(shè)=（工山）,卜=（孫內(nèi)）.則工1十力=（工1 + 4,耳+ /：卜a-b = （x -Jrj1西二 （2,加J2、設(shè)用工”死1鳥（不心）,則需二體-不力其實(shí)質(zhì)是將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，irr1、已知 a（1, 4）,b練習(xí)：若物體受三個力（3,8），則 3a1b 2rrrFi (1,2) , F2 ( 2,3), F3（1, 4）,則合力的坐標(biāo)為uur2、已知 PQ ( 3, 5),P（3,7）,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是rrrr rr r r3、 . 已 a ( 3, 4) ， b (5,2) ，求 a b ， a b ， 3a 2b 。ruuur2、已知A(1,2)

7、, B(3,2)，向量占(x 2, x 3y 2)與AB相等，求x, y的值。5、已O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，uuur uuur r uuruA(2, 1),B( 4,8),且 AB 3BC 0,求 OC 的坐標(biāo)。三.平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2 ,使a=2e??；祝喝我獠还簿€的兩個向量稱為一組基底。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底u(yù)r uu1、已知e1, e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：uruu uruu ur ur ur ur ur uu ur ur uu uuura. ea和ee

8、，b. 3e2色和436ec. e3e2和a3ed.3和3練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是（）(A) ei(0,0)，e2(1, 2)ei( 1,2)，e2(5,7)(C)g(3,5)&(6,10)(D)ei(2, 3), e2(1,J)2e1e224,r _八，r2、.已知a (3,4),能與a構(gòu)成基底的是()A. (3,4) B. (4,3) C. ( 3. 4) D. ( 1,-) 5 55 55533、知向量ehe2不共線，實(shí)數(shù)（3x-4y）ed（2x-3y）e2 =6e+3e2 ,則x y的值等于 rirrb-rfa-4、設(shè)6,62是兩個不共線的向量，AB2e1ke2,

9、CBe3e2,CD2&e?,若A、BD三點(diǎn)共線，求k的值.5、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1), B(-1,3),若點(diǎn)C(x, y)滿足OC = a OA + (3 OB ,其中a , (SCR且a+p=1,則x, y所滿足的關(guān)系式為()A. 3x+2y-11=0B . (x-1) 2+( y-2) 2=5 C . 2x-y=0 D . x+2y-5=0四.平面向量的數(shù)量積：- uuu r uuu r1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a, b,作OA a,OB b, AOB0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時，a , b同向，當(dāng) = 時，a , b反向,當(dāng)=一時，

10、a , b垂直。2實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作 a ,它的長度和方向規(guī)定如下:r-一一一a, 2當(dāng) >0時， a的方向與a的方向相同，當(dāng) <0時， a的方向與a的方向相反，當(dāng)=0時,rr_a 0,注意： aw。UULT UUU例1、已知AD,BE分別是LUUABC的邊BC, AC上的中線，且ADr uuu r uuua,BE b,則BC可用r r向量a,b表布為例2、已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2 DB , CDr AB的值是2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a , b ,它們的夾角為，我們把數(shù)量r r| a |b | cos叫做a與b的數(shù)量積(

11、或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a ? b ,即a ? b = a bcos規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量3.向量的運(yùn)算律：1 .交換律:r a,r r r r ra , a?b b?a2 .結(jié)合律:r rc, ar ?br ra?br a,r ?ca ?cb ?c。題型8:有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1 :判斷下列各命題正確與否:(1) (a b) c a (bc)r , 一 ,，c當(dāng)且僅當(dāng)r T 一、a 0時成立；(3) (ab) c a c b c ；r (4)(ab) cr r r 一一一 rrra (b c)對任息a,b,c向重都成立;.r(5)若 ar r

12、o,a br ra c ,則b c ；(6)對任意向量a,有a2m(a b) =ma +mb其中正確的序號是r rr r0；若a b c b,則2、下列命題中： a (b c) a b a c ； a (b c) (a b) c；222(a b) | a |21 a | | b | |b|;右 ab 0,則 a 0或 br r r2 小 a b a ；-2ar r；(a b)2 2a b ；(ar 2 r2 r r r2b)a 2a b b。其中正確的是題型9、求單位向量r【與a平行的單位向量:r星|a|,r _1.與a(12,5)平行的單位向量是。2.r題型10、數(shù)量積與夾角公式：ar r

13、rb |a | | b|cos ;cos1 1.1) 平行的單位向量是r ra b-rj|a| |b|向量的模：若a (x, y),則| a |a2r 2 r|a| , |ab|(lb)21、MBC 中，| AB |一一 1 r2、已知 a (1-),b 2(0,|AC|1 r r3、已知 |a| 3,|b|則 AB BC4,(2b)(2ar b)4、已知a,b是兩個非零向量，且r u kb, d的夾角為60°,(arirc與d的夾角為-,則k等于r求(1) ar3b)。r r r r ra b ,則a與a b的夾角為5、已知a (J3,1),b (2J3,2),求a與br的夾角。6

14、、已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC。7、已知非零向量 占上滿足ab,b(b 2a),則a與b的夾角為8：已知 ABC 中 ABC 50o, BC9：已知向量a與向量b的夾角為120°uuu uuuBA,則BA與AC的夾角為r,若向量c=a + b,且a,c,則；的值為 b10： 已知 | a| =1| b| =2,r rr r r| a + b|=2,則b與2a-b的夾角余弦值為rr r rr r r r11：已知向量I a I = J2 , | b | =2, a和b的夾角為135 ,當(dāng)向量a+ b與 a + b的夾角為銳角時，求的取值范圍。題

15、型11、求向量的模的問題,# r,、，r - r2r 2如向量的模：若 a(x,y),則 |a| Jx2y2, a|a|2,r r T-r- |a b| .(a b)21、已知零向量a (2,1),a.b10, a b2、已知向量a,b滿足忖1，M 2, a b 2,則a b 3、已知向量 a (1J3), b ( 2,0),則 |a b 4、已知向量a (1,sin ),b (1,cos )，則a b的最大值為 2BC 16,5、設(shè)點(diǎn) 線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn) A在直線BC外，AB- 叼 |AB AC卜則 AM()(A) 8(B) 4(C) 2(D) 16、 設(shè)向量a , b滿足a Ibl1及4a

16、 3b 3,求3a 5b的值練習(xí)：已知向量 a,b滿足a 21b 5ab 3求a b和a b7、設(shè)向量a, b滿足a 1,b 2,a (a 2b),則2a b的值為 r - 一8、已知向量a、b滿足a 1,|b|4,則|a b|的最大值是 最小值是題型12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uur° urnuunxOA 60°,求OA的坐標(biāo)。1 .已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A在第二象限，|OA| 2, xOA 150°,求OA的坐標(biāo)。uuu -2 .已知O是原點(diǎn)，點(diǎn) A在第一象限，|OA| 4J3,r rrr五、平行與垂直知識點(diǎn)：a/babx1y2x2 y1；r r r ra b

17、 a b 0 x1x2 v1y 0題型13:向量共線問題1、已知平面向量a (2,3x),平面向量b2, 18)，若a/ b,則實(shí)數(shù) x2、設(shè)向量a (2,1) ,b (2,3)若向量a b與向量C ( 4, 7)共線，則 3、已知向量a (1,1),b (2, x)若a b與4b 2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是()A. -2B. 0C. 1D. 24、已知向量 OA (k,12),OB (4,5),OC ( k,10),且A, B, C三點(diǎn)共線，則k umuuuuiuir練習(xí)：設(shè) PA (k,12),PB (4,5), PC (10*),則卜=時,A,B,C 共線5、已知a,b不共線，c ka b

18、, d a b ,如果c / d ,那么k= , c與d的方向關(guān)系是r rrr r rr r r r練習(xí)：已知 a (1,1),b(4, x) ,ua 2b , v2a b ,且 uv,貝Ux =6、已知向量 a (1,2),b (2,m),且 a/b ,則 2a 3b 題型14、向量的垂直問題1、已知向量a (x,1),b (3,6)且a b,則實(shí)數(shù)x的值為2、已知向量a (1, n) ,b ( 1, n),若2a bWb垂直，則a -rh-rrfc-練習(xí)：已知a = (1, 2), b = (-3, 2)若k a +2b與2 a-4 b垂直，求實(shí)數(shù) k的值3、已知單位向量 m和n的夾角為一

19、，求證：(2n m) m34、a (3,1),b (1,3),c (k,2),若 « 。 b,則k 練習(xí)：a (1,2),b (2, 3),若向量菊足于ca)/ b , c (a B ,貝U c5、以原點(diǎn)。和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是r題型15、b在a上的投影為|b|cos ,它是一個實(shí)數(shù)，但不一定大于0。1、已知| a | 3 , | b | 5 ,且a b 12 ,則向量a在向量b上的投影為 r2、已知arr r8, e是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為 一時，a在e方向上的投影為 3練習(xí)：已知2一 一4, a與b的夾角，則向量b在向量a上

20、的投影為3題型16、三點(diǎn)共線問題1 .已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求證：A,B,C 三點(diǎn)共線。uur 2 r r uuur2 .設(shè) AB (a 5b), BC2r r uuir2a 8b,CDr r3(a b),求證：A B、D二點(diǎn)共線。uuu r r uuir練習(xí)：已知AB a 2b, BCrr uurr r5a 6b,CD 7a 2b,則一定共線的三點(diǎn)是3.已知A(1, 3), B(8, 1),若點(diǎn)C(2a 1,a 2)在直線AB上，求a的值。4.已知四個點(diǎn)的坐標(biāo)O(0,0), A(3,4) , B( 1,2), C(1,1),是否存在常數(shù)t,使uur uur u

21、uurOA tOB OC 成立2ei e2, CD 3ei e2 ,若3OA xOC,貝 Ux=5： e1, %是平面內(nèi)不共線兩向量，已知 AB ei ke2, CBA, B, D三點(diǎn)共線，則k =6: 設(shè) O是直線l外一定點(diǎn)，A B、C在直線l上，且OBr rr rr r7：設(shè)a, b是兩個不共線向量，若 a與b起點(diǎn)相同，t e r, t=時，a , t b ,1 r r八，1 ( a + b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上。38:如圖，在 ABC3,點(diǎn) O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分別交直線 AB AC于不同的兩點(diǎn) M N,若AB= miAM XC= nXN則什n的值為9:在 OAB勺邊 OA

22、 OB上分別取點(diǎn) M N,使 | OM ： | OA = 1 ： 3, | ON ： I OB = 1 ： 4,設(shè)線段AN與B幟于點(diǎn)P,記OA= a, OB= b,用a, b表示向量OP一. . f 1> > 1>.f f.練習(xí)：如圖，在4OA升，OO4OA O氏OB AD與BC交于點(diǎn) M 設(shè)OA= a, OB= b.(1)用a、b表示OM求證:1一7P(2)已知在線段 AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過M點(diǎn)，設(shè)O叁pOA O已qOB3 =1. 7q六、線段的定比分點(diǎn)：1 .定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線%P2上異于巳、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個實(shí)數(shù)uur uuru

23、umuuur,使P1PPP2 ,則 叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段 PP2的以定比為 的定比分點(diǎn)；2 .的符號與分點(diǎn) P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P 1P2上時>0;當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2的延長線上時<1;當(dāng)P點(diǎn)在線段P2 Pl的延長線上時10;uuu3uuu例1、若點(diǎn)P分AB所成的比為-,則A分BP所成的比為4uuuu3 .線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)R(x1,y1)、P2(x2,y2), P(x,y)分有向線段PP?所成的比為Xix2x ，則 1 ，特別地，當(dāng)V1 V211時，就得到線段P1 P2的中點(diǎn)公式x1 x2 x 2y2。題型17、定比分點(diǎn)12、若 M

24、 (-3, -2 ), N (6,-1 )，且 MP MN,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為31 uuiinuuir3、已知A(a,0), B(3,2 a),直線y ax與線段AB交于M ,且AM 2MB ,則a等于2七、平移公式：如果點(diǎn)P（x,y）按向量ra h,k平移至P(x, y),則 x x h ；曲線y y krf(x,y) 0按向量ah,k平移得曲線f (x h, y k)0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性,題型18、平移1、按向量a把（2, 3）平移到（1, 2）,則按向量a把點(diǎn)（7,2）平移到點(diǎn) 2、函數(shù)y sin 2x的圖象按向量 a平移后，

25、所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1,則a =八、向量中一些常用的結(jié)論（1） 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;r r r r|a b| |a| |b|rr rr r rrrrrl|a|r r r r rr|b| |a b|；當(dāng)a、b反向或有0（2） |a|b| |ab| |a|b|,特別地，當(dāng) a、b同向或有 0rr r r r r rr xtz r r _|ab| |a|b|a|b| |ab| ；當(dāng) a、b不rr r r rr共線|a | |b| |a b| |a| |b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似).(3)在 ABC中，若A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3,

26、 y3 ,則其重心的坐標(biāo)為G x1 x2 x3 y1 y2 y3 o 如 3'31、若/ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2,1)、(-3,4)、(-1 , -1 ),則/ABC的重心的坐標(biāo)為 uuur uuiuuiuunuuiurnuuirrPG1(PAPBPC)G為 ABC的重心，特別地PAPBPC0P為3ABC的重心；uuu uuu uuu uur uur uur PA PB PB PC PC PAP 為 ABC 的垂心；uuu uuur0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是 BAC的角平分線所在直向量 (1ABAC )(|AB| |AC|線)；uur uur uuur uurr uur uu

27、u r |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的內(nèi)心;uuuu(3)若P分有向線段P1P2所成的比為，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn),uuur 則MPuuurMPi1uuuuMP25uuur特別地P為P|P2的中點(diǎn)MPuuur uuuuMPiMP2 .2，uur uuu uuur(4)向量PA、PR PC中三終點(diǎn)A B、C共線 存在實(shí)數(shù)uunuuri使得PA PBuurPC且1.如2、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1), B( 1,3)，若點(diǎn)C滿足OC 1 OA 2 OB ,其中1，2 R且121,則點(diǎn)C的軌跡是題型19、判斷多邊形的形狀uur r uur r uu

28、ur uur1 .若AB 3e, CD 5e,且| AD | | BC |,則四邊形的形狀是 。2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),證明四邊形 ABCD 是梯形。3 .已知A( 2,1), B(6, 3), C(0,5),求證：ABC是直角三角形。4、在 ABC中，若BA BA AB CB 0 ,則 ABC的形狀為A .等腰三角形B .等邊三角形uuuuuu5、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA ( 1,8),OB角三角形。C.等腰直角三角形D .直角三角形uuLr(4,1),OC (1,3),求證：ABC是等腰直6、平面四邊形 ABCD 中，AB a , BC

29、b, CD c, DA d,且 a b b c c d di,判斷四邊形 ABCD的形狀.題型20:三角形四心1、已知 ABC的三個頂點(diǎn)A B、C及 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)UUV巳若PAUU! LUIV VPB PC 0 則點(diǎn)P是 ABC勺A.重心 B.垂心 C .內(nèi)心 D .外心2.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn),uu uiru uiruuiru uiruuu若OAOB OBOC OCOA則O是三角形ABC的(A)內(nèi)心(B)外心UUU23、已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)， 若OA(A)內(nèi)心(B)外心練習(xí)、已知O, N, P在 ABC所在平面內(nèi)，且(C)重心(D)垂心uuu2 uur2OB O

30、C，則O是三角形ABC的( )(C)重心(D)垂心OA OB OC , NA NB NC 0 ,且PA?PB PB?PC PC? PA,則點(diǎn) O, N, P 依次是 ABC 的( )(A)重心外心垂心 (B)重心外心內(nèi)心(C)外心重心垂心 (D)外心重心內(nèi)心4、在平面內(nèi)有urABW 點(diǎn) 0,若 ABum(OAuurOB)uuu uuu uurAC (OC OA) 0 ,貝U點(diǎn) O是 ABCWA.重心5、已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足uur uuruuu uuurOP OA(AB AC),R,則動點(diǎn)P 一定通過 ABC的()(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心

31、6、已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足uuu uuuruur uuuAB ACOP OAuuu + uuurI AB| |AC|R,則動點(diǎn)P 一定通過 ABC的(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足uur uuuOP OAuuuuurABAC-tuur+ -uuur| AB | cosB | AC | cosCR ,則動點(diǎn)P 一定通過 ABC的()8、uurOP(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心已知O平面上uuir uuurOB OC(A)內(nèi)心個定點(diǎn)，C是平面內(nèi)不共線點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足uuuAB uuu+ -utuuuurAC|