隨機(jī)變量基礎(chǔ)

1、 第一章第一章 隨機(jī)變量基礎(chǔ)隨機(jī)變量基礎(chǔ)隨機(jī)變量理論隨機(jī)變量理論隨機(jī)變量隨機(jī)變量分析分析概率特性概率特性概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)數(shù)字特征數(shù)字特征用確定量來(lái)表示用確定量來(lái)表示不確定量的特征不確定量的特征均值均值 方差等方差等特征函數(shù)特征函數(shù)概率特性轉(zhuǎn)換域函數(shù)概率特性轉(zhuǎn)換域函數(shù)研究方便研究方便 一、隨機(jī)變量基礎(chǔ)一、隨機(jī)變量基礎(chǔ)1.1 1.1 概率論的基本術(shù)語(yǔ)概率論的基本術(shù)語(yǔ) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)： (1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行； (2)試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，所有可能的結(jié)果能事先明確； (3)每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。例：投擲硬幣可重復(fù)

2、性可重復(fù)性總體確定性總體確定性具體隨機(jī)性具體隨機(jī)性隨機(jī)事件隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件，如投擲硬幣出現(xiàn)正面就是一個(gè)隨機(jī)事件。 1.1 1.1 概率論的基本術(shù)語(yǔ)概率論的基本術(shù)語(yǔ)基本事件基本事件 隨機(jī)試驗(yàn)中最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件，如投擲骰子出現(xiàn)1、2、.、6點(diǎn)是基本事件。樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件組成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為，如投擲骰子的樣本空間為1,2,3,4,5,6。頻數(shù)和頻率頻數(shù)和頻率 在相同條件下的n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱(chēng)為事件A的頻數(shù)，比值稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率。頻

3、率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。 概率概率 事件發(fā)生可能性大小的度量。( )limAnnP An1.2 1.2 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義定義：定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S=e，如果對(duì)于每一個(gè)e S，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值函數(shù)X(e)，稱(chēng)X(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。注意：隨機(jī)變量是定義在樣本空間注意：隨機(jī)變量是定義在樣本空間S S上的單值函數(shù)，上的單值函數(shù)， X(e) X(e)的的隨機(jī)性隨機(jī)性在在e e中體現(xiàn)。中體現(xiàn)。根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同可以分為： 連續(xù)型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量1.2 1.2 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量是指它的取值為

4、有限個(gè)或者可列無(wú)窮個(gè) 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為 ，其概率為),.,1(nkxk),.,2 , 1()(nkpxXPkk X x1 x2 . xn pk p1 p2 . pn 離散隨機(jī)變量X的概率分布/分布律 1.2 1.2 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義幾種典型的離散隨機(jī)變量的概率分布 (0,1) (0,1)分布分布 隨機(jī)變量的可能取值為0和1兩個(gè)值，其概率分布為 ) 10(10,1ppXPpXP設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果 和 ，且AAqpAPpAP1)(,)(mnmmnnqpCmXP)()0(nm ),(pnBX那么在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生m次的概率為： 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 1.2

5、1.2 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義幾種典型的離散隨機(jī)變量的概率分布 泊松分布泊松分布 隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,，且概率分布為 !)(kekXPk,.1 , 0k0)(PX1.3 1.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)分布函數(shù) 隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,，且概率分布為設(shè)X為隨機(jī)變量，x為實(shí)數(shù)，定義 F(x)=P(Xx) 為X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。分布函數(shù)性質(zhì)分布函數(shù)性質(zhì)0)()(12xFxF12xx 0( )1F x ，)(1)(xFxXP1221()()( )P xXxF xF x)()()(1221xFxFxXxP右連續(xù))()(xFx

6、F1.3 1.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 分布函數(shù)是連續(xù)的，即 ，因此)()(xFxF0)( xXP離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 分布函數(shù)是階梯型的，即iiiipxXPxFxF)()()(分布函數(shù)則表示為：iiixxUpxF)()(0,1)分布的分布函數(shù) 1.3 1.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度概率密度概率密度 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記為 ，即)(xfdxxdFxf)()(概率密度函數(shù)性質(zhì)：0)(xf1)(dxxf21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxP1x2xkx1p2pkp( )

7、F xx1xkx1p( )f xx2pkp2x離散型隨機(jī)變量的概率密度離散型隨機(jī)變量的概率密度(PDF)(PDF)1.3 1.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布 正態(tài)分布正態(tài)分布( (高斯分布高斯分布) ) 222)(exp21)(xxf-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度 ),(2NX221()( )exp22xXxFxdx21( )exp22xxxdx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 均勻分布均勻分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布其它01)(bxaabxf(

8、, )XU a b 在實(shí)際問(wèn)題中，定點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨在實(shí)際問(wèn)題中，定點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，正弦波的隨機(jī)相位等都用到均勻分布。機(jī)數(shù)，正弦波的隨機(jī)相位等都用到均勻分布。 瑞利分布瑞利分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布0002exp)(222xxxxxf，瑞利分布概率密度瑞利分布概率密度 2 02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4 指數(shù)分布指數(shù)分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布000)(xxexfx，指數(shù)分布概率密度指數(shù)分布概率密度 0123456700.511.5 對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布)(2)(exp21)(22xUI

9、nxxxf 為尺度參數(shù)為尺度參數(shù) 為形狀參數(shù)為形狀參數(shù)01234567891000.10.20.30.40.5對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度 1.4 1.4 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布1 1、二維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間的樣本空間S=e,X=X(e)S=e,X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定義在是定義在樣本空間樣本空間S S上的兩個(gè)隨機(jī)變量上的兩個(gè)隨機(jī)變量, ,由由X X和和Y Y構(gòu)成的矢量（構(gòu)成的矢量（X X，Y Y）稱(chēng)為）稱(chēng)為二維隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量。Se( ), ( )X e Y exy2R1.4 1.4 多維隨機(jī)變

10、量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布2 2、二維隨機(jī)變量的分類(lèi)、二維隨機(jī)變量的分類(lèi) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量是指離散型隨機(jī)變量是指(X,Y)(X,Y)的取值為有限個(gè)或者可列無(wú)窮個(gè)的取值為有限個(gè)或者可列無(wú)窮個(gè)(,)( ,1,2,.)iiijP Xx Yypi j1ijijp 聯(lián)合概率分布列：聯(lián)合概率分布列：二維離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律：二維離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律：1.4 1.4 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3 3、二維分布函數(shù)、二維分布函數(shù) 設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，x，y為實(shí)數(shù)，定義 ,),(yYxXPyxF為二維隨機(jī)變量的的分布函數(shù)

11、。二維分布函數(shù)圖解二維分布函數(shù)圖解 二維隨機(jī)變量落在某一區(qū)域的概率二維隨機(jī)變量落在某一區(qū)域的概率 1.4 1.4 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布4 4、二維分布函數(shù)性質(zhì)、二維分布函數(shù)性質(zhì)1),(0yxF0),( yF0),(xF0),(F1),(F )(),(xFxFX)(),(yFyFY邊緣分布邊緣分布由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù)由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù) 1.4 1.4 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布5 5、二維概率密度、二維概率密度 yxyxFyxf),(),(26 6、二維概率密度性質(zhì)、二維概率密度性質(zhì)0),(yxf xydxdyyxfyxF),(),

12、(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(可以求出邊緣概率密度可以求出邊緣概率密度1.4 1.4 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布7 7、條件分布函數(shù)、條件分布函數(shù) 8 8、條件概率密度、條件概率密度|)|(|xXyYPxyFXYyxyFxyfXYXY)|()/(|)()|()()|(),(|xfxyfyfyxfyxfXXYYYX稱(chēng)隨機(jī)變量稱(chēng)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立獨(dú)立( ,)( )( )XYf x yfx fy1.5 1.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 1、均值、均值( (數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望) ) (1) (1) 均值為線性算子；均值為線性算子；(3) (3) 若若

13、，則稱(chēng)，則稱(chēng)X X與與Y Y正交正交。0)(XYEXmNiiipxXE1)(離散型隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量：性質(zhì)：性質(zhì)：)()()(YEXEXYE(2) (2) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X與與Y Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立，則有，則有所有取值的統(tǒng)計(jì)平均所有取值的統(tǒng)計(jì)平均()( )E Xxfx dx定義：定義：為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的均值，記為的均值，記為 。 1.5 1.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征2 2、方差、方差 性質(zhì)：性質(zhì)：定義：定義：)()(2XEXEXD22()()E XEX通常記為通常記為 ， 稱(chēng)為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。稱(chēng)為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。2XX反映隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程

14、度！反映隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度！(1)(1)( )0D c (2)(2)2()()D cXc D Xc， 為常數(shù)(3)(3)對(duì)于對(duì)于n n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，)()()(11nnXDXDXXD221214 ，1.5 1.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征3 3、協(xié)方差、協(xié)方差 與與 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差：協(xié)方差：性質(zhì)：性質(zhì)：(1)(1)1XYrcov(, )()( )()() ( )XYX YEXE XYE YE XYE X E YK)()(),cov(YDXDYXrXY相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)：描述兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系(2)(2)1XYr的充分必要條件是X與Y依

15、概率1線性相關(guān)；當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)， ，此時(shí)X與Y不相關(guān)，反之不成立。(3)(3)0XYr1.5 1.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4 4、矩、矩K K階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：K K階中心矩：階中心矩：K KL L階混合矩：階混合矩： K KL L階混合中心矩：階混合中心矩：)(kXmXElkYXE)()(lYkXmYmXEkE X1.5 1.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征例題：例題： pXP 1pqXP10例例1 1 設(shè)X為服從(0,1)分布的隨機(jī)變量，且求X的均值和方差。 例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，其概率密度為 求均值與方差。otherbxaabxf，01

16、)(1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)定義：定義：設(shè)有一實(shí)函數(shù)設(shè)有一實(shí)函數(shù) 以及隨機(jī)變量以及隨機(jī)變量 ，定義一個(gè)，定義一個(gè)新的隨機(jī)變量新的隨機(jī)變量 ，稱(chēng)隨機(jī)變量，稱(chēng)隨機(jī)變量 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 的的函數(shù)。函數(shù)。)(XgY ( )yg xXYX隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知已知 的統(tǒng)計(jì)特性，求的統(tǒng)計(jì)特性，求 的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。XY1 1、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布若若g(x)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)：為單調(diào)連續(xù)函數(shù)： ( )( )YXfy dyfx dx)(1ygx單調(diào)函數(shù)示意圖單調(diào)函數(shù)示意圖 )(xgy yxxy0P yYydyP xXxdx( )(

17、)YXdxfyfxdydydxJ 雅可比雅可比(Jacobi)(Jacobi)1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)例、例、設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與隨機(jī)變量與隨機(jī)變量Y的關(guān)系為的關(guān)系為 a,b 為常數(shù)，已知為常數(shù)，已知X的概率密度為的概率密度為fX(x)，求，求Y的概率密度。的概率密度。baXY),(2mNX如果如果正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)變量。正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)變量。1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)例例2、設(shè)電阻設(shè)電阻R設(shè)計(jì)為設(shè)計(jì)為50，但實(shí)際值為一均勻分布于，但實(shí)際值為一均勻分布于4555之間的隨機(jī)變量之間的隨機(jī)變量X，求輸出電壓，求輸出電壓u的

18、分布函數(shù)的分布函數(shù)和概率密度。和概率密度。1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)若若g(x)為非單調(diào)函數(shù)：為非單調(diào)函數(shù)： 11( )()()YXXnnfyfxJfxJ)(xgdyy y 22dxx 2x11dxx 1xx0/kkJdxdy)(11yhx )(yhxnn其中其中1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)例例2、設(shè)平方律檢波器的輸入輸出關(guān)系為設(shè)平方律檢波器的輸入輸出關(guān)系為 求求Y的概率密度。的概率密度。2(0)YbXb1.6 1.6 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)1.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征2 2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征

19、)(XgY dxxfxgdyyyfYEXY)()()()(均值：均值： 方差：方差： 2( ) ( )( ( ) D YE g XE g XdxxfmxgXY)()(21.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征3 3、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布),(),(21222111XXgYXXgY只考慮只考慮 為單調(diào)情形：為單調(diào)情形： 221221112121),(),(yxyxyxyxyyxxdSdSJYX雅可比變換為：雅可比變換為： 12,g g1 2112212(,)(,)YYX Xfy yfx xJ1.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征

20、例例3 設(shè)設(shè)X1、 X2為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，求其和、差的概率為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，求其和、差的概率密度。密度。112YXX 212-YX X 11 211122212122111()(,)( (),()222YYYX Xfyfy y dyfyyyydy1 21112212212121(,)( ,)()/2,()/22YYX XX Xfy yfx xJfyyyy1112122212121/ 21/ 2( ,)11/ 21/ 2(,)2xxyyx xJxxy yyy 112212(+)/ 2()/ 2xyyxyy解：解：1.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量

21、之和的概率密度為其各自的概率密度的卷積。兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度為其各自的概率密度的卷積。兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之積和商的概率密度？?jī)蓚€(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之積和商的概率密度？duuyufuyfXXY)/,(1)(2112YX XduuyufuyfXXY),()(2112/YXX令令12()/ 2uyy111121121()( ,)()()YX XXXfyfu yu dufyfy則，( )()( )jXjxXXE efx edx 1 1、特征函數(shù)的定義、特征函數(shù)的定義1.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的特征函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的特征函數(shù)若若X X為離散型隨機(jī)變量，則有：為離散型隨機(jī)變量，則有：若若X X為連續(xù)型

22、隨機(jī)變量，則有：為連續(xù)型隨機(jī)變量，則有：1( )( )2j xXXfxed( )()kjxjXXkkE eeP Xx 1 1、特征函數(shù)的性質(zhì)、特征函數(shù)的性質(zhì)1.7 1.7 隨機(jī)變量函數(shù)的特征函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的特征函數(shù)(3) (3) 若若 (C(C是常數(shù)是常數(shù)) )，則，則CXY ( )()YXC (4) (4) 若若 (a(a、b b是常數(shù)是常數(shù)) )，則，則baXY( )()jbYXea(5)(5)相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)是各特征函數(shù)之乘積，即的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)是各特征函數(shù)之乘積，即 (1)(1)(0)1X(2)(2)( )1X1niiYX1( )( )nYX ii1.

23、7 1.7 隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)例例4、設(shè)、設(shè)X X為為(0,1)分布隨機(jī)變量，其概率分布為：分布隨機(jī)變量，其概率分布為：求特征函數(shù)。求特征函數(shù)。qXPpXP0,1例例5、設(shè)設(shè)X為均勻分布隨機(jī)變量，其概率分布為：為均勻分布隨機(jī)變量，其概率分布為：otheraaxaxf0,21)(求特征函數(shù)。求特征函數(shù)。1.7 1.7 隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)例例6、若隨機(jī)變量相應(yīng)的特征函數(shù)分別為：若隨機(jī)變量相應(yīng)的特征函數(shù)分別為：(1)(2)cos)(X求隨機(jī)變量的分布。求隨機(jī)變量的分布。2cos)(X(0)nnXnndj md2 2、特征函數(shù)與矩的關(guān)系、特征函數(shù)與矩的關(guān)系1.7 1

24、.7 隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)或或定理：定理：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的的n n階矩為階矩為 ，則與特征函數(shù)，則與特征函數(shù)的關(guān)系為：的關(guān)系為：nnXEm (0)()nnXnndmjd 1 1、二維正態(tài)隨機(jī)變量、二維正態(tài)隨機(jī)變量1.8 1.8 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量222exp21)(XXmxxf一維概率密度：一維概率密度：定義：定義：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量 ,如果它們的聯(lián)合概率密度為：如果它們的聯(lián)合概率密度為： 21,XX)()(2)()1 ( 21exp121),(222221221222122121112121XXXXXXXXXXXXmxmxmxrmxrrxxf其中其

25、中r r為相關(guān)系數(shù)。為相關(guān)系數(shù)。則稱(chēng)則稱(chēng) 是是聯(lián)合正態(tài)聯(lián)合正態(tài)的。的。 21,XX1 1、二維正態(tài)隨機(jī)變量、二維正態(tài)隨機(jī)變量1.8 1.8 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正態(tài)分布概率密度正態(tài)分布概率密度 二維正態(tài)分布概率密度二維正態(tài)分布概率密度 2 2、二維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)、二維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)1.8 1.8 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量(1) (1) X1 1, ,X2 2的邊緣概率密度也是正態(tài)的的邊緣概率密度也是正態(tài)的221111112)(exp21)(XXXXmxxf222222222)(exp21)(XX

26、XXmxxf(2)(2)若若X1,X2的不相關(guān)，則的不相關(guān)，則r=0，兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立，兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立12121212( ,)()()X XXXfx xfxfx3 3、二維概率密度的矩陣表示、二維概率密度的矩陣表示1.8 1.8 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣：)()(22122121212211XXXXXXmXEmXmXEmXmXEmXEK22221211XXXXXXrr222222212121)1 ()(XXXXXXrrK2121212121 XXXXXXrrKK3 3、二維概率密度的矩陣表示、二維概率密度的矩陣表示1.8 1.8 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣：)()(22122121212211XXXXXXmXEmXmXEmXmXEmXEK22221211XXXXXXrr222222212121)1 ()(XXXXXXrrK2121212121 XXXXXXrrKK3 3、二維概率密度的矩陣表示、二維