數(shù)列基礎(chǔ)知識

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識梳理一、 數(shù)列1、 數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù)，在函數(shù)的意義下，數(shù)列是某一定義域為正整數(shù)或它的有限子集1,2,3,4，n的函數(shù)，即當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，其圖像是無限個或有限個孤立的點，數(shù)列的一般形式為 通常簡記為 ，其中是數(shù)列的第n項，也叫通項。注意：1）與是不同的概念，表示數(shù)列而表示的是這個數(shù)列的第n項2）數(shù)列與集合的區(qū)別集合中元素性質(zhì)：確定性，無序性，互異性；數(shù)列中數(shù)的性質(zhì)：確定性，有序性，可重復(fù)性。2、 數(shù)列的通項公式當(dāng)一個數(shù)列的第n項與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表示，就把這個公式叫數(shù)列的通項公式，可根據(jù)數(shù)列的通項公式算出數(shù)列的

2、各項，也可判斷給定的數(shù)是否為數(shù)列中的項或可確定是第幾項。但不是所有數(shù)列都可以寫出通項公式，數(shù)列的通項公式也不唯一。3、 數(shù)列的表示方法數(shù)列看成一個特殊的函數(shù)，所有從函數(shù)的觀點出發(fā)，數(shù)列的表示方法有以下三種：1）解析法:通項公式和遞推公式兩種；2）列表法3）圖像法（數(shù)列的圖像是一系列孤立的點）4、 數(shù)列的分類(1)有窮數(shù)列和無窮數(shù)列(2)單調(diào)數(shù)列，搬動數(shù)列，常數(shù)列5、 6、 等差數(shù)列1）定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 表示定義的表示為：或者公差可正可負或為零，為零時，數(shù)列為常數(shù)列。2）等

3、差數(shù)列的通項公式對于第二個公式要求 是數(shù)列中的項即可，也可表示為3）等差數(shù)列的增減性4）等差中項任意兩個數(shù)有且僅有一個等差中項 ，即。5）等差數(shù)列前項和公式（倒序相加法）第二個公式可整理成，設(shè) 則，可看成是關(guān)于的二次函數(shù)（常數(shù)項為0）那么可以得出一下結(jié)論：7、 等比數(shù)列1) 定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公比，公差通常用字母 表示定義的表示為：或者公比；當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列。2）等比數(shù)列的通項公式3）等比數(shù)列的增減性4）等比中項如果在 中間插入一個數(shù) 使 成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項。如果是的等比中項，那

4、么 ；只有同號的兩個數(shù)才有等比中項。一個等比數(shù)列從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）是它的前一項與后一項的等比中項。5）等比數(shù)列前項和公式等比數(shù)列前項和公式的特點：當(dāng) 可以化為 ，那么 二、 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1. 等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若公差 ，此數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差，此數(shù)列為遞減數(shù)列；若，此數(shù)列為常數(shù)列。(2)有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的2倍。(3)若 ，特別地若此條性質(zhì)可推廣到多項的情形，但要注意等式兩邊下標(biāo)和相等，并且兩邊和的項數(shù)相同。(4)等差數(shù)列每隔相同項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列依

5、然是等差數(shù)列，但剩下的項不一定是等差數(shù)列(5)等差數(shù)列連續(xù)幾項之和構(gòu)成的新數(shù)列依然是等差數(shù)列，即 是等差數(shù)列。(6)若數(shù)列 和數(shù)列是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其中 為常數(shù)。(7)項數(shù)為偶數(shù) 的等差數(shù)列，有項數(shù)為奇數(shù) 的等差數(shù)列，有2. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1)單調(diào)性(2)有窮等比數(shù)列中, 與首末兩項等距離的兩項積相等，并且等于首末兩項之積；特別地若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的平方。(3)若 ，特別地若(4) 等比數(shù)列每隔相同項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列依然是等比數(shù)列，但剩下的項不一定是等比數(shù)列.(5) (6) 等比數(shù)列連續(xù)幾項之和構(gòu)成的新數(shù)列依然是等比數(shù)列，即 是等比數(shù)列。(7) 若數(shù)列 和數(shù)列是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，其中 為常數(shù)。三、 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法1. 等差數(shù)列的判定方法(1)定義法: (