2020-2021年北京西城高三期末數(shù)學(xué)試卷附答案

1、2021北京西城高三（上）期末2021.1本試卷共5頁，共150分，考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小麴，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)己知集合力= x|lvx<3, 8 :x|0vxw4,則/1UB =(A) (0,3)(D) (-1,4)(C) (0,4(D) (-1,4（2）在復(fù)平面內(nèi)，身數(shù)二所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（I.T）,則二5 ）(A) 2(B) -2i(C) y/2(D) 2i(A) /(2)=2(4)己知4(4,8), 8(2,4),C（Ay）三點(diǎn)共線，

2、ay的值為(A) 4(B) 5(C)6(D) 7<3）已知/（x）為奇函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么(B)/(2) = -2（5）己知雙曲線捺-卓=1的焦足等于實(shí)軸長的2倍，則其漸近線的方程為(A) y = ±y/3x(B) y=±2x(C)(D) y=±-x<6）已知半徑為2的ES經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,其圓心到直線3x-4y+l2 = 0的距衰的最小值為(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3<7）己知函數(shù)/（x） = sin2x,xeg.6J,則“b-a云楙”是“/的值域?yàn)?L1J”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件<C)充分必

3、要條件(D)既不充分也不必要條件(8)被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式，C = Kb&(l+)，其中。為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為 biUs； J,為信道帶寬，單位為Hz； J為信噪比,香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)199. % = 2000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳軸速率記為J 當(dāng)?shù)? 9999, J/ = 3000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為 NAG，則a為 ci(A) I (B) -(C) (D) 324(9)設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)的定義域?yàn)?。，若存在非零?shí)數(shù)c£。，使得/(c) + g(c)=O.則稱函數(shù)/(x)和以幻在。 上具有性質(zhì)P.現(xiàn)有三組函數(shù)：

4、x) = x,=/(*) = 27, g(x) = Y'/(*) = -/,或幻=2'其中具有性質(zhì)P的是(A)(B)(C)®(D)®(10)在校長為】的正方體46CD-44GA中，分別為BR.4G的中點(diǎn)，點(diǎn)?在正方體的表面上運(yùn)動，且 滿足A/尸J.QV,則卜.列說法正確的是<A)點(diǎn)戶可以是楂的中點(diǎn)(B)線段的最大值為日點(diǎn)P的軌跡是正方形(D)點(diǎn)P軌跡的長度為2;石第二部分(非選擇題共110分)一、填空題共5小題.每小題5分，共25分。(11) (x-2)5的展開式中x的系數(shù)是.(12)數(shù)列4是公差為-2的等差數(shù)列，記何的前項(xiàng)和為Z，且q,4,q成等比數(shù)

5、列，則q=(13)一個三棱錐的三視圖如圖所示，該三校錐中最氏棱的長度為.£ (£)wn(14)已知蜿物線Q:爐=2度(夕0)的焦點(diǎn)為尸.過點(diǎn)M(T,4)作卜軸的垂線交版物線C于點(diǎn)力,且滿足AFAM,則購物線。的方程為:設(shè)直線/交拋物線C于另一點(diǎn)8,剜點(diǎn)6的縱坐標(biāo)為.(15 )炎炎愛日，冰激凌成為非常受歡迎的舌尖上的味道.某商店統(tǒng)計(jì)了一款冰激凌6月份前6天母天的供應(yīng)量和 銷售房，結(jié)果如下表，6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供應(yīng)量901009010090100銷售量809085809085記/為6月1日冰激凌的供應(yīng)量，力為6月I日冰激凌的銷偉量，其中1 = 12

6、.30.用銷凌的數(shù)/)”中 十 】)+川人一。x 100%,( W 1,£N)來轉(zhuǎn)價從6月1日開始連續(xù)天的冰激凌的銷售情 )+ P" +1) + + + - 1)況.當(dāng)?shù)?1時，表示6月，日的日銷件指數(shù).給出下列四個結(jié)論:在6月1日至6日這6天中，P(4,l)最小，。5,1)最大:在6月1日至6日這6天中,H銷售指數(shù)越大，說明該天冰激凌的梢售量越大：？(1,3)一2(4.3)：如果6月7日至12 口冰激凌每天的供應(yīng)量和銷生量與6月1日至6日每天的供應(yīng)量和 銷售量對應(yīng)相等,則對任意w1,234,5,6.7,都有叩,6) = "1.12).其中所有1E確結(jié)論的序號是.

7、三、解答題共6小虺，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16) (本小題13分)如圖，在直三極柱力8C-4""中，4" = RC = 2,彳4=4. ABLAC, BE工4小交A4干點(diǎn)E , D為CQ 的中點(diǎn).< 1)求證：8E J.平面力4ct< 11)求二面角。-力4一0的余弦值.(17)(本小題13分)已知力8C的面積為4應(yīng)，再從條件、條件這兩個條件中選擇一個作為已知，求,< 1)b和C的值:(II) sin(4-0 的值.條件:a=6,c。sC = T：條件M = C,cosB = -；.注：如果選擇條件和條件分別解答，技

8、第一個解答計(jì)分.(18(本小題14分)防洪工程對防洪減災(zāi)起著重要作用，水庫是我國廣泛采用的防洪工程之一，既有滯洪作用又有蓄洪作用.北京地 區(qū)2010年至2019年每年汛末(10月I日)水庫的蓄水量數(shù)據(jù)如下：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量(億立方米)!1.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1(I)從2010年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年的數(shù)據(jù),求這兩年蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對值小于I億 立方米的概率：(II)從2014年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中誨機(jī)選取兩年的數(shù)掂，設(shè)X為翡水最超過33億

9、立方米的年份個數(shù)，求 的機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期里：(III)由表中數(shù)據(jù)判斷從哪年開始連續(xù)三年的水庫蓄水量方差最大？(結(jié)論不要求證明)(19)(本小題15分)已知函數(shù)/(x) = x；-x. 求曲線y = 刈在點(diǎn)(1 , /)處的切線方程;(II)求函數(shù)/(x)的單詞區(qū)間和極值：(III)設(shè)函數(shù)幻=4”)-2, xw(0e),試判斷的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論. xsmx(20)(本小題15分)已知橢隰C: ? + = 1.(I)求橢身。的離心率和長軸長：(H)已知直線y = h + 2與橢踹。有兩個不同的交點(diǎn)46. P為x軸上一點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)上,使得尸，"是 以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腹

10、直角三角形？若存在，求出女的假及點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.（21）（本小題15分）對于數(shù)列MJ，定義。：二廠；設(shè)也：的前項(xiàng)和為設(shè)。. =、.寫出 W，Q；, W，：:UD證明：”對任意cZ,有S：的充要條件是“對任意eN有|%-。"二】><111）已知首項(xiàng)為0.項(xiàng)數(shù)為m+1（心2）的數(shù)列4滿足：對任意 1 ww帆且neN.有q.j-qwf-LOJ：S； = %.求所有滿足條件的數(shù)列q的個數(shù).2021北京西城高三(上)期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分)(I) D A(3) C (4) C(5> A (6> B <7) B (

11、8)D(9) B (10) D二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)(II) 80 (12) 8, f2 + 9(13)2蘇(14) V = 4x,U5)注，第(12)和(14)題第一空3分,第二空2分.第(15)題全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3 分.三、解答卷(共6小強(qiáng),共85分)(16)(共 13 分)解：(I)因?yàn)槿庵?18C-44G為直三棱柱，所以力4，平面/"C,所以例1.4。1分因?yàn)?5044=4,所以4CJ.平面44烏43分因?yàn)锽Eu平面/48聲,所以/CJ.AE4分因?yàn)?Ml 片,ac?aba9所以MJ,平面幽C5分(II)由(I)知力8,力仁4

12、4,兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-小.則為(。0,0) ,瓦(20,4) “(022).8(2,0,0).7分設(shè)£(0,0,«)，所以 AD=(fi2,2),力瓦二(2,0,4) ,“=(一2,0,。)'因?yàn)?AB -L BE 9 所以4</ 4 = 0 9 即 u 8分所以平面世C的一個法向量為而+2,01)9分設(shè)平面AB、D的法向量為 =二)，所以!.而=。.所以口，+ 23,即匕7, 10分“ "jK.n12x + 4z = 0.；x = -2z.令二二-1則x = 2y = l ,所以平面ABD的一個法向母為 = (2J,-1)II分1

13、2分所以cos<5前處二"叵 | if | V6xV5 6由已知，二面用C-44-。為銳角，所以二面角C-彳用一。的余弦值為叵13分6(17)(共 13 分)若選擇條件：解：(I)在48C中.因?yàn)閏osC = -g,所以CeW，m，sinC = J1-WC =半2分因?yàn)镾 =；。力sinC = 4>/I, a = 6 ,所以6 = 24分由余弦定理，c2 =a2 +b2 -2aftcosC = 48, 5 分7分所以c = 466分(II)由正弦定理二一=三=三 sin/ sin B sine所以si“邛,Sins邛9分因?yàn)?8£嗚),所以85/二半，C0S8;

14、平11分所以 sin(4 - 8) - sin 4cos 8 - cos /sin 813分若選擇條件；解：(I)在48C中，因?yàn)?f=C,所以a = c因?yàn)閏os 8 二一1，所以sinB = 71 - cos' B =2 分929因?yàn)镾 =4csin8c? 乂 = 4及, 229所以a-c = 342 4分由余弦定理，b2 = tf2 + c - lacccB- 64 ,所以b = 86分(II)由正弦定理得，一=今, sin A sin B所以 sin 4 = sin 8 = x = 18分b 893因?yàn)?£(0,§,所以cos力二 Jl -$in°

15、 4 =10 分月f 以 sin(4 - 5) = sin J cos B - cos J sin B（18）（共】4分）解：（D設(shè)事件A為“連續(xù)兩年的蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對值小于I億立方米*從2010年到2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年共有9種可能,2分山圖表可知，事件A包含“2011年和2012年）由014年和2015年7由018年和2019年”3分所以尸（力）=| = ；4分（II）由表可知，2014到2019年的樣木數(shù)據(jù)中，蓄水量超過33億立方米有2年，蓄水量不超過33億立方米有 4年.隨機(jī)變量X的所有可能取值為0, 1, 25分C。62P(-V=0) = -L = - = - P

16、(X=1) =C2 .C01P(*=2)=皆 $8分L.1J所以隨機(jī)變量X的分布列為:9分X012P25815£1522 I 2所以 E(X) = 0xq + lx + 2 不=§11 分(I1D從2016年開始連續(xù)三年的水庫蓄水量方差最大14分(19)(共 15 分)解:(I)由/(x) = P-x得八2=3，11分因?yàn)?(1) = O r(l) = 23分所以曲線y = /(x)在點(diǎn)(L/。)處的切線方程為=七24分(H)令/'(幻=0,得3/-1=0,解得.丫 = 一或*當(dāng)x變化時./(勸和/'(X)變化情況如下表：X(-co,-y)3旦 3(y. +

17、 <»)/'.00+/(幻024326 97分所以，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-日,乎)，單調(diào)遞增區(qū)間是叫-殍人 g.+8)：/(X)在X二-g處取得極大值竽，在X二半處取祖極小值-學(xué).9分一一1(III) x丘(0.幻，«刈=0,即=-2 = 0,smx等價于-l-2sinx010分設(shè)g(x) = x2 -1 - 2sinxtxe(0,n),則gr(x) = Zr-2cosx.當(dāng)上嗚時.g(x)>0, g(外在區(qū)間與x)上單調(diào)遞增.又以)=：-3<0, g(z) = x2 -l>0.24所以g在區(qū)間亨正)上有一個零點(diǎn)11分當(dāng)x£(

18、0, 時,設(shè) h(x) = g9(x) =2x-2cosx./x) = 2 + 2sinx>0,所以g'(x)在區(qū)間IO,手上單調(diào)遞增12分又g'(o)= -2yo* &'(?) 五>0,所以存在”(0令使得gg = 0.所以，當(dāng)xw(0,x°)時，g(x) <0 f g(x)單調(diào)遞減:當(dāng)時，g'(x)>o9 g(x)埴詢遞增13 分2又g(0) = T<0, gg)=9-3v0, 24所以g(x)在區(qū)間(0,今上無零點(diǎn)14分綜上所述，函數(shù)外在定義域內(nèi)只有一個零點(diǎn)15分(20)(共 15 分)解：(I)由題意：a?

19、 = 4 ,= 2,所以。=21分因?yàn)?=從+。2,所以1=2, c = V22分所以2 = £ =蟀3分a 2所以府圓C離心率為弓，長軸長為44分II)聯(lián)立y = kx + 2.44-消y整理知(2*+1*+如+ 4 = 05分因?yàn)橹本€與橢圜交于48兩點(diǎn)，故A>0.解得公>；_汝4設(shè)/(芭.乂)，8(%)，則玉+&=而二7，而七=后3印+1故。(-4k22r+1'2公+1假設(shè)存在上和點(diǎn)P(hO),使用尸是以尸為宜角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.所以.駕上 11=7.解得加=哥，故外簫,°)又因?yàn)?PB =1,所以而,而0所以（ _胴,乂）（0_勿，/）

20、=0 , aP（xI-/nX.rl-/n） + y2 =0.整理得（產(chǎn) +1）玉& +（2A /w）（X1 + xi） + zn? 4 4 = 0 .4QL所以 +（督一用）4 + "/44 = 012/A +1/青 1代入加=工號_,整理得K = |,即a2 Ml4分2JT+1當(dāng)£-1時.P點(diǎn)坐標(biāo)為g,0）：當(dāng)&】時.P點(diǎn)坐標(biāo)為（-|,0）.此時,仍是以尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 (21)(共 15 分)解：(I)因?yàn)?=1，%=：，%=：，%=1，% = ， 22 X 432根據(jù)題意可得&=-1(II)必要性：對 =1,有S；=%-4因此 1%-41 = |5：|二|0：1二15分