線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型new學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共131頁(yè)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型:描述控制系統(tǒng)輸入、輸出變量以描述控制系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間程、傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式等。建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系表達(dá)式等。建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系統(tǒng)的分析統(tǒng)的分析(fnx)研究是至關(guān)重要的。研究是至關(guān)重要的。第1頁(yè)/共130頁(yè)第二頁(yè)，共131頁(yè)。動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)(dngti)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(

2、xtng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(xtng)時(shí)變時(shí)變(sh bin)系統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)(定常系統(tǒng)定常系統(tǒng))這門課程將要研究的是線性定常系統(tǒng)這門課程將要研究的是線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法數(shù)學(xué)模型的建立方法:解析法或?qū)嶒?yàn)法。解析法或?qū)嶒?yàn)法。 第2頁(yè)/共130頁(yè)第三頁(yè)，共131頁(yè)。建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟:（1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一個(gè)方程；可考慮列寫一個(gè)方程；（2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律）根據(jù)各變量所遵循的基本定

3、律(物理定律、物理定律、化學(xué)定律化學(xué)定律)或通過(guò)實(shí)驗(yàn)等方法得出的基本規(guī)律，列或通過(guò)實(shí)驗(yàn)等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化和線性寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化和線性化；化；（3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)(do sh)的微的微分方程；分方程； 第3頁(yè)/共130頁(yè)第四頁(yè)，共131頁(yè)。例例2-1 試列寫圖中所示試列寫圖中所示RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入入(shr)為為ui(t)，輸出為，輸出為u0(t) 。 解解 根據(jù)根據(jù)(gnj)基爾

4、霍夫定理，可列出以下基爾霍夫定理，可列出以下式子：式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(220第4頁(yè)/共130頁(yè)第五頁(yè)，共131頁(yè)。整理(zhngl)得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網(wǎng)絡(luò)(wnglu)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階線性常微分方程。 第5頁(yè)/共130頁(yè)第六頁(yè)，共131頁(yè)。例例

5、2-2 圖為一彈簧阻尼圖為一彈簧阻尼(zn)系統(tǒng)，假設(shè)初始靜止，當(dāng)外力系統(tǒng)，假設(shè)初始靜止，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試列寫外力作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試列寫外力F(t)與位移與位移y(t)之間的微分方程。之間的微分方程。 第6頁(yè)/共130頁(yè)第七頁(yè)，共131頁(yè)。解解 彈簧和阻尼器有相應(yīng)的彈簧阻力彈簧和阻尼器有相應(yīng)的彈簧阻力F1(t)和粘性和粘性(zhn xn)摩擦阻力摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律，根據(jù)牛頓第二定律有有 ：2221)()()()(dttydmtttFFF)()(1tkyt Fdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由彈簧(tnhung)

6、、阻尼器特性寫出 式 中 k 彈 簧(tnhung)系數(shù) f 阻尼系數(shù)第7頁(yè)/共130頁(yè)第八頁(yè)，共131頁(yè)。整理(zhngl)且標(biāo)準(zhǔn)化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 稱為(chn wi)時(shí)間常數(shù)； 稱為(chn wi)阻尼比； 稱為(chn wi)放大系數(shù)。 kmT/)2/(mkfzkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTFz得第8頁(yè)/共130頁(yè)第九頁(yè)，共131頁(yè)。例例2-3 2-3 電樞輸入電壓電樞輸入電壓u0(t)u0(t)，電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)角為。，電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)角為。RaRa、LaLa、ia(t)ia(t)分別為電樞電路的電阻分別為電樞

7、電路的電阻(dinz)(dinz)、電感和電、電感和電流，流，ifif為恒定激磁電流，為恒定激磁電流，ebeb為反電勢(shì)，為反電勢(shì)，f f為電動(dòng)機(jī)軸上為電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)，的粘性摩擦系數(shù)，MLML為負(fù)載力矩。為負(fù)載力矩。 dttdceeb)(LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD)()()()(22tfMdttdfMdttdJMdttdJMffDD第9頁(yè)/共130頁(yè)第十頁(yè)，共131頁(yè)。解解 電樞回路(hul)電壓平衡方程為 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce為電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)(dinsh)系數(shù) 力矩平衡(pnghng)方程為 LDMd

8、ttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 為電動(dòng)機(jī)電樞的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J為電動(dòng)機(jī)的力矩系數(shù) Mc)()()()(22tfMdttdfMdttdJMdttdJMffDD第10頁(yè)/共130頁(yè)第十一頁(yè)，共131頁(yè)。整理(zhngl)得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(無(wú)量(wling)綱放大系數(shù)aacRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK電機(jī)(dinj)轉(zhuǎn)速電磁時(shí)間常數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù)第11頁(yè)/共130頁(yè)第十二頁(yè)，共131頁(yè)。dtdMccLMc

9、cRtuKKdtdTTdtdTTLMeaLMeaaeffMMe)( ) 1()(22第12頁(yè)/共130頁(yè)第十三頁(yè)，共131頁(yè)。例例2-4 2-4 熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動(dòng)動(dòng)(din dn)(din dn)控溫開(kāi)關(guān)?？販亻_(kāi)關(guān)。 第13頁(yè)/共130頁(yè)第十四頁(yè)，共131頁(yè)。能量(nngling)守恒定律 容器壁散失水帶出水吸收加熱水帶入lChiQQQQQ0其中 Qh 加熱器供給(gngj)的熱量； QC 貯槽內(nèi)水吸收的熱量； Q0 熱水流出槽所帶走的熱量: Qi 冷水進(jìn)入

10、槽帶入的熱量: Ql 隔熱壁逸散的熱量:dtdTCQCVHTQ 0iiVHTQ RTTQelC貯槽水的熱容量；V流出槽水的流量；H 水的比熱；R熱阻；Ti進(jìn)入(jnr)槽水的溫度；T槽內(nèi)水的溫度；Te槽周圍空氣溫度。 iiVHTQ dtdTCQCRTTQel第14頁(yè)/共130頁(yè)第十五頁(yè)，共131頁(yè)。整理(zhng l )得 RTTTTVHdtdTCQeih)(或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回(fnhu)第15頁(yè)/共130頁(yè)第十六頁(yè)，共131頁(yè)。線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性：uyH(u)y=H(u)H(ku)=kH(u) 則稱系統(tǒng)具有齊次性。齊次性：若系統(tǒng)滿足

11、疊加性：若系統(tǒng)滿足 H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)則稱系統(tǒng)具有疊加性。同時(shí)(tngsh)滿足齊次性和疊加性的系統(tǒng)稱線性系統(tǒng)。第16頁(yè)/共130頁(yè)第十七頁(yè)，共131頁(yè)。 假 如 元 件 的 輸 出(shch)與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。 將 非 線 性 函 數(shù) x 2 = f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) )(! 21)()()(2101102121011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx第17頁(yè)/共130頁(yè)第十八頁(yè)，共131頁(yè)。當(dāng)(x1x10)為微小增量時(shí)，可略去(l q)二階以上各項(xiàng)，寫成 )()

12、()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 為工作點(diǎn)(x10，x20)處的斜率，即此時(shí)以工作點(diǎn)處的切線代替(dit)曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。 101xdxdfK 第18頁(yè)/共130頁(yè)第十九頁(yè)，共131頁(yè)。圖為一鐵芯線圈，輸入為ui(t)，輸出(shch)為i(t)。線圈的微分方程為 )()(tuRidtidi)()(tuRidtdidiidi)(tuiiRiii0第19頁(yè)/共130頁(yè)第二十頁(yè)，共131頁(yè)。 線圈中的磁通 對(duì) 也有增量變化(binhu)，假如在i0附近連續(xù)可微，將在i0 附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即 020

13、21200)()(! 21)(ididididii因是微小增量(zn lin)，將高階無(wú)窮小量略去，得近似式 ididi00)(常數(shù)(chngsh)0|)()(iidiiddiid第20頁(yè)/共130頁(yè)第二十一頁(yè)，共131頁(yè)。)(tuiRdtidLi 這就是鐵芯線圈的增量(zn lin)化方程，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常略去增量(zn lin)符號(hào)而寫成 )(tuRidtdiLi返回(fnhu)()()(|0000tuuiiRdtiiddidiii第21頁(yè)/共130頁(yè)第二十二頁(yè)，共131頁(yè)。 非線性函數(shù)的線性化，是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，忽略掉高階無(wú)窮小量及余項(xiàng)，得到(d do)近似的線性

14、化方程，來(lái)替代原來(lái)的非線性函數(shù)。 第22頁(yè)/共130頁(yè)第二十三頁(yè)，共131頁(yè)。 一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出(shch)關(guān)系的微分方程為 :)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn第23頁(yè)/共130頁(yè)第二十四頁(yè)，共131頁(yè)。 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)(xtng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，定義為線性定常系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)。 即，)()()(sRsCsGGain增益(zngy)速寫第24頁(yè)/共130頁(yè)第二十五頁(yè)，共131頁(yè)。若已知線性定

15、常系統(tǒng)(xtng)的微分方程為 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 設(shè)c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(do sh)初始值均為零，對(duì)式(2-47)取拉氏變換，得 )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn第25頁(yè)/共130頁(yè)第二十六頁(yè)，共131頁(yè)。則系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsM

16、sRsCsG或?qū)憺?傳遞函數(shù)與輸入、輸出(shch)之間的關(guān)系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s)第26頁(yè)/共130頁(yè)第二十七頁(yè)，共131頁(yè)。r(t)c(t)SystemR(s)C(s)G(S)第27頁(yè)/共130頁(yè)第二十八頁(yè)，共131頁(yè)。1.作為(zuwi)一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算。 2.傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身(bnshn)的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無(wú)關(guān)。 第28頁(yè)/共130頁(yè)第二十九頁(yè)，共131頁(yè)。3.

17、傳遞函數(shù)可以是無(wú)量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程(wi fn fn chn)描述一樣。 4.傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)系(gun x)，對(duì)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)矩陣表示。 第29頁(yè)/共130頁(yè)第三十頁(yè)，共131頁(yè)。5.傳遞函數(shù)是有理(yul)真分式,式(2-49)可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn為分母多項(xiàng)式的根，稱

18、為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)(jdin)；z1、z2、 zn為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； 有確定的零極點(diǎn)(jdin)分布第30頁(yè)/共130頁(yè)第三十一頁(yè)，共131頁(yè)。6.傳遞函數(shù)是系統(tǒng)(xtng)單位脈沖響應(yīng)的Laplace變換。)(tg為系統(tǒng)單位脈沖作用下的系統(tǒng)輸出：定義時(shí)，系統(tǒng)的輸出c(t)稱為)()(ttr當(dāng))(tg此時(shí)，1)()(tLtrL所以：)()()()(sGsRsGsCG(s)R(s)C(s)第31頁(yè)/共130頁(yè)第三十二頁(yè)，共131頁(yè)。7.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次總是(zn sh)大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即nm。

19、這是由于實(shí)際系統(tǒng)的慣性所造成的。 nnnnasasasasD1110)(第32頁(yè)/共130頁(yè)第三十三頁(yè)，共131頁(yè)。 控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開(kāi)具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分(jfn)環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等。 第33頁(yè)/共130頁(yè)第三十四頁(yè)，共131頁(yè)。1. 比例(bl)環(huán)節(jié) 環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無(wú)時(shí)間(shjin)滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無(wú)慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為c(t)=Kr(t) 比例(bl)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 Ks

20、RsCsG)()()(式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。 G(s)R(s)C(s)第34頁(yè)/共130頁(yè)第三十五頁(yè)，共131頁(yè)。2. 慣性(gunxng)環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié)) 慣性環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)(dngti)方程是一個(gè)一階微分方程 )()()(tKrtcdttdcT其傳遞函數(shù)為 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)(sh jin chn sh) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù) G(s)R(s)C(s)第35頁(yè)/共130頁(yè)第三十六頁(yè)，共131頁(yè)。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)(hnsh)時(shí)，其單位階躍響應(yīng)為 )1 (11)()(111TeKsTsKLsCLtc單位階躍響應(yīng)(xing

21、yng)曲線 第36頁(yè)/共130頁(yè)第三十七頁(yè)，共131頁(yè)。11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 慣性環(huán)節(jié)(hunji)實(shí)例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中 RLT RK1第37頁(yè)/共130頁(yè)第三十八頁(yè)，共131頁(yè)。2. 積分(jfn)環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為(chn wi)積分環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)特性方程 dttrTtcti0)(1)(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGi1)()()(式中Ti為積分(jfn)時(shí)間常數(shù)。 G(s)R(s)C(s)第38頁(yè)/共130頁(yè)第三十九頁(yè)，共131頁(yè)。積分環(huán)節(jié)的單位(dnwi)階躍響應(yīng)為 tTtC

22、i1)(它隨時(shí)間直線增長(zhǎng)，當(dāng)輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶(jy)功能，如圖所示。 第39頁(yè)/共130頁(yè)第四十頁(yè)，共131頁(yè)。上圖為運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)(hunji)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 第40頁(yè)/共130頁(yè)第四十一頁(yè)，共131頁(yè)。4. 微分(wi fn)環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動(dòng)態(tài)(dngti)方程 dttdrTtcd)()(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGd)()()(式中Td稱微分(wi fn)時(shí)間常數(shù) 它的單位階躍響應(yīng)曲線 )()(tTtcdG

23、(s)R(s)C(s)第41頁(yè)/共130頁(yè)第四十二頁(yè)，共131頁(yè)。如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)，因此我們(w men)常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù) 1)(sTsKTsGdd其單位(dnwi)階躍響應(yīng)為 dTKetc1)(第42頁(yè)/共130頁(yè)第四十三頁(yè)，共131頁(yè)。 曲線如下圖所示，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)(xingyng)是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值很大而Td值很小時(shí)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。 Td值很小時(shí)(xiosh)第43頁(yè)/共130頁(yè)第四十四頁(yè)，共131頁(yè)。5. 二階振蕩(zhndng)環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié)) 二階振蕩環(huán)節(jié)(hunji)的動(dòng)態(tài)方程為 )()()(2)(

24、222tKrtcdttdcTdttcdTz其傳遞函數(shù) 12)()()(22TssTKsRsCsGz2222)(nnnssKsGz式中 為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，在后面(hu mian)時(shí)域分析中將詳細(xì)討論。 Tn1G(s)R(s)C(s)第44頁(yè)/共130頁(yè)第四十五頁(yè)，共131頁(yè)。 圖 中 所 示 為 R L C 網(wǎng) 絡(luò)(wnglu)，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動(dòng)態(tài)特性方程 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其傳遞函數(shù) 222202 11)()()(nnnissRCsLCstUtUsGz式中 LCn1LCR2zG(s)R(s)C(s)第45頁(yè)/共

25、130頁(yè)第四十六頁(yè)，共131頁(yè)。6. 延遲(ynch)環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié)) 延 遲 環(huán) 節(jié) 是 輸 入 信 號(hào)(xnho)加入后，輸出信號(hào)(xnho)要延遲一段時(shí)間后才重現(xiàn)輸入信號(hào)(xnho)，其動(dòng)態(tài)方程為 )()(trtc其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越(choyu)函數(shù) sesRsCsG)()()(式中稱延遲時(shí)間 G(s)R(s)C(s)第46頁(yè)/共130頁(yè)第四十七頁(yè)，共131頁(yè)。 需要指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場(chǎng)合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過(guò)程、管道反應(yīng)和管道混合過(guò)程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測(cè)量裝置系統(tǒng)等。遲延過(guò)大往往會(huì)使控制效果惡化( hu)，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。 返回(fnhu)第47頁(yè)/共130頁(yè)

26、第四十八頁(yè)，共131頁(yè)。 在控制工程中，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系(linx)用圖形來(lái)表示，即方框圖和信號(hào)流圖。 第48頁(yè)/共130頁(yè)第四十九頁(yè)，共131頁(yè)。 方框圖也稱方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，具有形象和直觀的特點(diǎn)(tdin)。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號(hào)流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種，即信號(hào)線、比較點(diǎn)、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點(diǎn)。 第49頁(yè)/共130頁(yè)第五十頁(yè)，共131頁(yè)。第50頁(yè)/共130頁(yè)第五十一頁(yè)，共131頁(yè)。 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)(xtng)在清楚系統(tǒng)(xtng)工作原理及信號(hào)傳遞情況下，可按方框圖的基

27、本連接形式，把各個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)(xtng)方框圖。 例2-5 圖中為一無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò)。選取(xunq)變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為 第51頁(yè)/共130頁(yè)第五十二頁(yè)，共131頁(yè)。dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI零初始條件下，對(duì)等式(dngsh)兩邊取拉氏變換，得 第52頁(yè)/共130頁(yè)第五十三頁(yè)

28、，共131頁(yè)。對(duì)每個(gè)表達(dá)式畫出結(jié)構(gòu)圖圖形(txng) )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI1）引出點(diǎn)2）比較(bjio)點(diǎn)3）方框4）信號(hào)線第53頁(yè)/共130頁(yè)第五十四頁(yè)，共131頁(yè)。 RC網(wǎng)絡(luò)(wnglu)方框圖 各環(huán)節(jié)(hunji)方框圖 第54頁(yè)/共130頁(yè)第五十五頁(yè)，共131頁(yè)。例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī),描述其運(yùn)動(dòng)(yndng)方程為 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(第55頁(yè)

29、/共130頁(yè)第五十六頁(yè)，共131頁(yè)。零初始條件下，對(duì)式中兩邊(lingbin)取拉氏變換 )(1)()()()()()()()(1)()(sJsssscsscssIsLRsEsULDaMDeaaaaaaMMIME)()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME)()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME第56頁(yè)/共130頁(yè)第五十七頁(yè)，共131頁(yè)。 將同一變量的信號(hào)線連接起來(lái)，將輸入U(xiǎn)a(s)放在左端，輸出(shch)(s)放在圖形右端，得系統(tǒng)方框圖如圖

30、所示。 第57頁(yè)/共130頁(yè)第五十八頁(yè)，共131頁(yè)。串聯(lián)、并聯(lián)和反饋(fnku)三種基本形式。 1.串聯(lián)(chunlin) :n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù) :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn第58頁(yè)/共130頁(yè)第五十九頁(yè)，共131頁(yè)。即環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于(dngy)串聯(lián)的各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 環(huán)節(jié)(hunji)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)(wnglu)第59頁(yè)/共130頁(yè)第六十頁(yè)，共131頁(yè)。2.并聯(lián) :若各個(gè)環(huán)節(jié)接受同一輸入(shr)信號(hào)而輸出信號(hào)又匯合在一點(diǎn)時(shí)，稱為并聯(lián)。如圖2-34所示。由圖可知(k zh) )

31、()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn總的傳遞函數(shù)為 )()()( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn環(huán)節(jié)(hunji)的并聯(lián))()()()()(21sRsGsGsGsCn第60頁(yè)/共130頁(yè)第六十一頁(yè)，共131頁(yè)。3.反饋：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入(shr)端，與輸入(shr)信號(hào)相比較，就構(gòu)成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號(hào)與給定信號(hào)極性相反，則稱負(fù)反饋連接。反之，則為正反饋連接，反饋(fnku)連接若反饋環(huán)節(jié)(hunji)H(s)=1稱為單位反饋。

32、 第61頁(yè)/共130頁(yè)第六十二頁(yè)，共131頁(yè)。前向通道：由信號(hào)(xnho)輸入點(diǎn)到信號(hào)(xnho)輸出點(diǎn)的通道反饋通道：輸出信號(hào)(xnho)反饋到輸入點(diǎn)的通道。 偏差信號(hào)e(t)：給定(i dn)信號(hào)r(t)和反饋信號(hào)b(t) 之差 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)= )()()()(sHsGsEsB前向通道(tngdo)傳遞函數(shù)= )()()(sGsEsC閉環(huán)傳遞函數(shù)(s) :系統(tǒng)輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs“-”對(duì)應(yīng)正反饋“”對(duì)應(yīng)負(fù)反饋第62頁(yè)/共130頁(yè)第六十三頁(yè)，共131頁(yè)。)()(1)()()()()()(1)()()()()()()(1)()(

33、)()()()()()()()()()()()()()(sGsHsGsRsCssGsHsGsRsGsEsCsGsHsRsEsEsGsHsRsEsCsHsRsBsRsEsEsGsC負(fù)反饋第63頁(yè)/共130頁(yè)第六十四頁(yè)，共131頁(yè)。R(s)C(s)(s)第64頁(yè)/共130頁(yè)第六十五頁(yè)，共131頁(yè)。復(fù)雜(fz)的系統(tǒng)圖：第65頁(yè)/共130頁(yè)第六十六頁(yè)，共131頁(yè)。1）方框圖的變換應(yīng)按變換前后信號(hào)等效原則進(jìn)行。即對(duì)方框圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)保持不變。2）串聯(lián)、并聯(lián)和反饋(fnku)簡(jiǎn)化為一個(gè)等效環(huán)節(jié)3) 相同類型點(diǎn)往一起移動(dòng)。4）相同比較點(diǎn)可交換位置，相同引出點(diǎn)可交

34、換位置第66頁(yè)/共130頁(yè)第六十七頁(yè)，共131頁(yè)。引出(yn ch)點(diǎn)前移引出(yn ch)點(diǎn)后移G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1G2(s)c3G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1c31/G2(s)變換(binhun)和簡(jiǎn)化具體方法：第67頁(yè)/共130頁(yè)第六十八頁(yè)，共131頁(yè)。比較(bjio)點(diǎn)前移比較(bjio)點(diǎn)后移G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c11/G2(s)c3G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1G2(s)c3變換(binhun)和簡(jiǎn)化具體方法：第68頁(yè)/共130頁(yè)第六十九頁(yè)，共13

35、1頁(yè)。例例2-7化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)圖圖(a)所示系所示系統(tǒng)統(tǒng)(xtng)方框圖，并方框圖，并求系統(tǒng)求系統(tǒng)(xtng)傳傳遞函數(shù)遞函數(shù) )()()(sRsCsG第69頁(yè)/共130頁(yè)第七十頁(yè)，共131頁(yè)。)()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG第70頁(yè)/共130頁(yè)第七十一頁(yè)，共131頁(yè)。 圖2-37 (a)是一個(gè)(y )交錯(cuò)反饋多路系統(tǒng)，采用引出點(diǎn)后移或前移，比較點(diǎn)前移等，逐步變換簡(jiǎn)化，可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 例例2-8 2-8 試化簡(jiǎn)如圖試化簡(jiǎn)如圖2-37 (

36、a)2-37 (a)所示系統(tǒng)所示系統(tǒng)(xtng)(xtng)的的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 )()(1)(1 ()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG第71頁(yè)/共130頁(yè)第七十二頁(yè)，共131頁(yè)。圖2-37 方框圖的變換(binhun)與簡(jiǎn)化 第72頁(yè)/共130頁(yè)第七十三頁(yè)，共131頁(yè)。返回(fnhu)第73頁(yè)/共130頁(yè)第七十四頁(yè)，共131頁(yè)。 信號(hào)流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法。將信號(hào)流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀(zhgun)又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖

37、，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 第74頁(yè)/共130頁(yè)第七十五頁(yè)，共131頁(yè)?？紤](kol)如下簡(jiǎn)單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時(shí)間函數(shù)(hnsh)、復(fù)變函數(shù)(hnsh)，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數(shù)學(xué)運(yùn)算，稱作傳輸函數(shù)(hnsh)，如果xi和xj是復(fù)變量s的函數(shù)(hnsh)，稱aij為傳遞函數(shù)(hnsh)Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjijiiijjxax1因果函數(shù)第75頁(yè)/共130頁(yè)第七十六頁(yè)，共131頁(yè)。 變量xi和xj用節(jié)點(diǎn)“”來(lái)表示，傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來(lái)表示，支路上(l shng)箭頭表示

38、信號(hào)的流向，信號(hào)只能單方向流動(dòng)。 信號(hào)流圖jijixax )()()(sXsAsXjiji支路(zh l) 節(jié)點(diǎn)(ji din)第76頁(yè)/共130頁(yè)第七十七頁(yè)，共131頁(yè)。在線性系統(tǒng)信號(hào)流圖的繪制中應(yīng)包括以下(yxi)步驟： （1）將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為以s為變量(binling)的代數(shù)方程。 （2）按因果關(guān)系將代數(shù)方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211第77頁(yè)/共130頁(yè)第七十八頁(yè)，共131頁(yè)。 5152121111xaxaxax5252221212xaxaxax5552521515xaxaxax第78

39、頁(yè)/共130頁(yè)第七十九頁(yè)，共131頁(yè)。（3）用節(jié)點(diǎn)“”表示n個(gè)變量或信號(hào)(xnho)，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 例例2-9 2-9 如上圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，如上圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1v1為輸入、為輸入、v3v3為輸為輸出。選出。選5 5個(gè)變量個(gè)變量v1v1、i1i1、v2v2、i2i2、v3v3，由電壓、電流，由電壓、電流定律定律(dngl)(dngl)可寫出四個(gè)獨(dú)立方程可寫出四個(gè)獨(dú)立方程 第79頁(yè)/共130頁(yè)第八十頁(yè)，共131頁(yè)。1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()

40、(243sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點(diǎn)(ji din)表示，由因果關(guān)系用支路把節(jié)點(diǎn)(ji din)與節(jié)點(diǎn)(ji din)聯(lián)接，得信號(hào)流圖。 第80頁(yè)/共130頁(yè)第八十一頁(yè)，共131頁(yè)。節(jié)點(diǎn)(ji din)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用“”表示。 支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向 用箭頭(jintu)表示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。 輸入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路。 輸出支路：離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的支路。 源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱輸入節(jié)點(diǎn)， 如圖中節(jié)點(diǎn)X1。 匯節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖節(jié)點(diǎn)X7。 第81頁(yè)/共130頁(yè)第八十二頁(yè)，共131頁(yè)。信

41、號(hào)流圖定義(dngy)與術(shù)語(yǔ)混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路(zh l)、又有輸出支路(zh l)的節(jié)點(diǎn)， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 通道(路徑)：沿著支路箭頭方向通過(guò)各個(gè)相連支路 的路徑，并且(bngqi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過(guò)一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 第82頁(yè)/共130頁(yè)第八十三頁(yè)，共131頁(yè)。前向通道：從輸入(shr)節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到匯節(jié)點(diǎn)的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 閉通道(反饋(fnku)通道或回環(huán))：通道的起點(diǎn)就 是通道的 終點(diǎn)，如圖X2到X3又反饋

42、(fnku)到X2；X4到X5 又反饋(fnku)到X4。 自回環(huán)(hugun)：?jiǎn)我恢返拈]通道，如圖中的-H3構(gòu)成 自回環(huán)(hugun)。 第83頁(yè)/共130頁(yè)第八十四頁(yè)，共131頁(yè)。通道傳輸或通道增益：沿著(yn zhe)通道的各支路傳輸?shù)?乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒(méi)有(mi yu)任何公共的節(jié)點(diǎn)， 稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如G2H1 與G4H2。 第84頁(yè)/共130頁(yè)第八十五頁(yè)，共131頁(yè)。（1）信號(hào)流圖只適用(shyng)于線性系統(tǒng)； （2）信號(hào)流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)(hnsh)形式的代數(shù)方程； （3）信號(hào)只能按

43、箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過(guò)增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即匯節(jié)點(diǎn)； （6）對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的。 第85頁(yè)/共130頁(yè)第八十六頁(yè)，共131頁(yè)。（1）加法(jif)規(guī)則：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （2）乘法規(guī)則(guz) ：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）。 第86頁(yè)/共130頁(yè)第八十七頁(yè)，共131頁(yè)。（3）混合節(jié)點(diǎn)(ji din)可以通過(guò)移動(dòng)支路的方法消去，如圖（c）。 （4

44、）回環(huán)可根據(jù)反饋連接的規(guī)則(guz)化為等效支路，如圖（d）。 第87頁(yè)/共130頁(yè)第八十八頁(yè)，共131頁(yè)。例例2-10 2-10 將圖將圖2-432-43所示系統(tǒng)所示系統(tǒng)(xtng)(xtng)方框圖化為信號(hào)流方框圖化為信號(hào)流圖并化簡(jiǎn)求出系統(tǒng)圖并化簡(jiǎn)求出系統(tǒng)(xtng)(xtng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sRsCs 第88頁(yè)/共130頁(yè)第八十九頁(yè)，共131頁(yè)。解：信號(hào)流圖如圖解：信號(hào)流圖如圖 (a)所示?；尽；疓1與與G2串聯(lián)等效為串聯(lián)等效為G1G2支路支路(zh l)，G3與與G4并聯(lián)等效為并聯(lián)等效為G3+G4支路支路(zh l)，第89頁(yè)/共130頁(yè)第九十頁(yè)，共13

45、1頁(yè)。如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡(jiǎn)化為 支路(zh l)，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG第90頁(yè)/共130頁(yè)第九十一頁(yè)，共131頁(yè)。進(jìn)而(jn r)求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG第91頁(yè)/共130頁(yè)第九十二頁(yè)，共131頁(yè)。 給定系統(tǒng)信號(hào)流圖之后，常常希望確定信號(hào)流圖中輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，即兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的總增益或總傳輸。上節(jié)采用信號(hào)流圖簡(jiǎn)化規(guī)則，逐漸簡(jiǎn)化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費(fèi)時(shí)又麻煩

46、，而梅遜(Mason)公式可以(ky)對(duì)復(fù)雜的信號(hào)流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來(lái)更為方便。 第92頁(yè)/共130頁(yè)第九十三頁(yè)，共131頁(yè)。梅遜增益(zngy)公式可表示為 kkPT式中， T 輸出(shch)和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)； Pk 第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)； 信號(hào)流圖的特征值 =1- Lj1+ Lj2- Lj3+ Lj1所有不同回環(huán)增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和； Lj3所有三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和 k 與第k條前向通道不接觸的那部分信號(hào)流圖的，稱為第k條前向通道特征式的余子式。 第93頁(yè)/共130頁(yè)第九十四頁(yè)，共131頁(yè)。

47、例例2-11 2-11 利用利用(lyng)(lyng)梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) C(s) / R(s) C(s) / R(s)。p4L6第94頁(yè)/共130頁(yè)第九十五頁(yè)，共131頁(yè)。圖中有六個(gè)單回環(huán)，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3， 其中(qzhng)L1與L2是互不接觸的，其增益之積解：輸入量解：輸入量R(s)與輸出量與輸出量C(s)之間有三條前向之間有三條前向通道通道(tngdo)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)Pk與與k為為P1=G1G2G3G4G5 1=

48、1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1L1L2 = G3G5H1H2 )()(357266HGGHGL第95頁(yè)/共130頁(yè)第九十六頁(yè)，共131頁(yè)。系統(tǒng)(xtng)的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG第96頁(yè)/共130頁(yè)第九十七頁(yè)，共131頁(yè)。例例2-12 求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解：系統(tǒng)解

49、：系統(tǒng)(xtng)(xtng)單回環(huán)有：?jiǎn)位丨h(huán)有：L1 = G1L1 = G1，L2 = L2 = G2G2，L3 = L3 = G1G2G1G2， L4 = L4 = G1G2 G1G2，L5 = L5 = G1G2 G1G2系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)(xtng)的特征的特征式式 為：為： 212151311GGGGLiiP4L5第97頁(yè)/共130頁(yè)第九十八頁(yè)，共131頁(yè)。前向通道(tngdo)有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返

50、回(fnhu)第98頁(yè)/共130頁(yè)第九十九頁(yè)，共131頁(yè)。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的,在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等,而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系(gun x)。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來(lái)描述線性時(shí)不變系統(tǒng)(Linear Time Invariant簡(jiǎn)記為L(zhǎng)TI)。 第99頁(yè)/共130頁(yè)第一百頁(yè)，共131頁(yè)。單輸入單輸出線性連續(xù)(linx)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為(chn wi)系統(tǒng)的零

51、點(diǎn),分母多項(xiàng)式的根稱為(chn wi)系統(tǒng)的極點(diǎn)。令分母多項(xiàng)式等于零,得系統(tǒng)的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 第100頁(yè)/共130頁(yè)第一百零一頁(yè)，共131頁(yè)。 因傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比,所以我們先研究(ynji)MATLAB是如何處理多項(xiàng)式的。MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示,行向量元素依次為降冪排列的多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù),例如多項(xiàng)式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為 P=1 0 2 4 注意(zh y)盡管s2項(xiàng)系數(shù)為0,但輸入P(s)時(shí)不可缺省0。 MATLAB下多項(xiàng)式乘法處理(chl)函數(shù)調(diào)用格式為 C=conv(A,B) 第101頁(yè)/共130頁(yè)第一百零二頁(yè)，

52、共131頁(yè)。 例如給定兩個(gè)多項(xiàng)式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造(guzo)多項(xiàng)式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv( )函數(shù)來(lái)求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出(d ch)的C(s)多項(xiàng)式為10s3 +50s2 +63s +9 第102頁(yè)/共130頁(yè)第一百零三頁(yè)，共131頁(yè)。 MATLAB提供的conv( )函數(shù)的調(diào)用允許(ynx)多級(jí)嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語(yǔ)句來(lái)輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1

53、,4) 第103頁(yè)/共130頁(yè)第一百零四頁(yè)，共131頁(yè)。 有了多項(xiàng)式的輸入,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在MATLAB下可由其分子和分母(fnm)多項(xiàng)式唯一地確定出來(lái),其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子(fnz)多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第104頁(yè)/共130頁(yè)第一百零五頁(yè)，共131頁(yè)。對(duì)于其它(qt)復(fù)雜的表達(dá)式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語(yǔ)句(yj)來(lái)輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,

54、2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss第105頁(yè)/共130頁(yè)第一百零六頁(yè)，共131頁(yè)。 傳遞函數(shù)G(s)輸入之后(zhhu),分別對(duì)分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為 roots(p)其中(qzhng)p為多項(xiàng)式。 第106頁(yè)/共130頁(yè)第一百零七頁(yè)，共131頁(yè)。例如(lr),多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p) %p(s)=0的根 r=-3.3

55、533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過(guò)來(lái),若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly( )函數(shù),來(lái)求得多項(xiàng)式降冪(jin m)排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000第107頁(yè)/共130頁(yè)第一百零八頁(yè)，共131頁(yè)。 而polyval函數(shù)用來(lái)求取(qi q)給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為 polyval(p,a)其中(qzhng)p為多項(xiàng)式;a為給定變量值 例如(lr),求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時(shí)值： n=conv(3,2,1,1,4);value=po

56、lyval(n,-5) value=66第108頁(yè)/共130頁(yè)第一百零九頁(yè)，共131頁(yè)。p,z=pzmap(num,den)其中, p傳遞函數(shù)G(s)= numden的極點(diǎn)(jdin) z傳遞函數(shù)G(s)= numden的零點(diǎn)例如,傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖,采用pzmap()函數(shù)來(lái)完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?biosh),極點(diǎn)用“”表示(biosh)。其調(diào)用格式為13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH第109頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十頁(yè)，共131頁(yè)。 用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn)(jdin),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s

57、)H(s)的零極點(diǎn)(jdin)圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點(diǎn)(ln din)p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點(diǎn) 1.0000+0.0000i第110頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共131頁(yè)。 n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232s

58、ssssnumh/denh=%H(s)表達(dá)式mun=conv(mung,numh);den=conv(deng,denh);pzmap(num,den) %零極點(diǎn)(jdin)圖title(pole-zero Map) 第111頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共131頁(yè)。零極點(diǎn)(jdin)圖如圖所示 ：1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i第112頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十三頁(yè)，共131頁(yè)。 若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)(hnsh)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。 1.串聯(lián)串聯(lián)(chunlin) 如圖所示如圖所示G1(s)和和G2(s)相串聯(lián)相串聯(lián)

59、(chunlin),在在MATLAB中可用串聯(lián)中可用串聯(lián)(chunlin)函數(shù)函數(shù)series( )來(lái)求來(lái)求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(21第113頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共131頁(yè)。2.并聯(lián)并聯(lián)(bnglin) 如圖所示如圖所示G1(s)和和G2(s)相并聯(lián)相并聯(lián)(bnglin),可由可由MATLAB的并聯(lián)的并聯(lián)(bnglin)函數(shù)函數(shù)parallel( )來(lái)實(shí)現(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為其調(diào)用格式為 num,den=

60、parallel(num1,den1,num2,den2)其中(qzhng)：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(21第114頁(yè)/共130頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共131頁(yè)。3.反饋反饋(fnku) 反饋連接如圖所示。使用(shyng)MATLAB中的feedback( )函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋(fnku)極性,若為正反饋(fnku)其為1,若為負(fù)反饋(fnku)其為1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(d