命題邏輯中幾種常見的推理證明方法

1、數(shù)學科學學院09 級 3 班吳潔瓊學號 2021040288ljlj邏 輯 學 論 文命題邏輯中幾種常見的推理證明方法吳潔瓊哈爾濱師范大學150025【摘 要】 ： 命題邏輯的推理證明是?離散數(shù)學?課程的重點難點內容，其主要原因有兩個：一是內容比較抽象且方法較獨特，其靈敏性很大, 故很難掌握；二是題型以證明題居多大多數(shù)題的知識面涉及較廣, 故習題較難。而命題邏輯又是數(shù)理邏輯的根底, 純熟而靈敏地掌握好命題邏輯中推理證明的方法既是學習命題邏輯的重點, 又會為進一步學習謂詞邏輯打下良好的根底。本文結適宜當?shù)睦}講解，總結了命題邏輯中幾種常見的推理證明方法，并進展了分析和討論, 以加深學生的理解，以

2、及知識的靈敏使用。以期在幫助學生掌握命題邏輯的推理證明方法的同時, 又能對學生進展邏輯思維才能的訓練, 培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的才能。【關鍵詞】：命題邏輯；推理；證明方法數(shù)理邏輯是?離散數(shù)學?課程的主要內容之一，它主要包括命題邏輯和謂詞邏輯兩大部分而命題邏輯又是謂詞邏輯的根底, 其中的內容也比較抽象，所以學好命題邏輯又是學好數(shù)理邏輯的關鍵。學好數(shù)理邏輯既能加強學生的邏輯思維才能，又同時可以幫助同學學習數(shù)字電學好數(shù)理邏輯的關鍵是路和人工智能等其它課程。數(shù)理邏輯中關于命題邏輯證明題比較多， 能不能很好的掌握這些證明題。、命題邏輯中推理的相關概念理形式，其中序列最后一項定義 1：一個命題公式序列

3、稱為推理的結論，1，2，(1n)稱為推定義 2：對于命題公式序列1，2，n 稱為推理的條件。( p1, p2 , , pn ; p) 的任意指派(t1,t2, ,tn;t)存在使12 n為真，而 為假，那么稱此推理為無效推理,否那么是有效推理。證明命題公式為有效結論的過程就是命題邏輯推理證明的過程。而證明推理形式2 ，n ；是有效的充要條件是( 12n ) 為重言式。二、常見證明方法命題邏輯的推理證明有六種常用證明方法，分別是直接證明法，真值表法, 范式法，間接證明法。其中間接證明法里面常見的是CP 規(guī)那么證明法和反證法，本文就這幾種方法進展闡述。1 、直接證明法直接證明法就是由一組前提，利用

4、一些公認的推理規(guī)那么，根據(jù)的等價或者蘊含公式， 推演得到有效的結論。在學生熟悉了邏輯恒等式和常用的推理規(guī)那么后，大多數(shù)證明題都可以用直接證明法方便證明出。例1、用直接證明法證明(p q), (p r), (q s)推導出s r.分析：此題目需要證明的結論是個析取式可以用過蘊含表達式轉換為蘊含式，即s r s r ,所以此題實際只要推導出sr為真即可得證。詳細證明過程如下：證明：p q前提2 2) pq(1)置換qs前提(4) ps(2)、(3)假言三段論sp(4)置換(6) pr前提sr(5)、 6)假言三段論(8) sr(7)置換2 、真值表法推理是從條件推出結論的過程，條件是的命題公式，結

5、論是從前提出發(fā)應用推理規(guī)那么推出的命題公式.由于判斷推理正確的方法就是判斷重言蘊含式的方法，因此可用真值表去判斷推理是否正確的問題 .例2、證明邏輯等價式p(qr)(pq)(p r)證明邏輯等價式是有兩種方法，一種是真值表法，一種是利用邏輯等價式交換，這里就介紹用真值表法來證明。 p(qr)(pq)(pr)的真值表如下：P q rq-rp 一 (q - r)p-qp-r(p-q) 一(p-r)1 11111111 10001001 0 1110111 0 0110010 11111110 10011110 0 1111110 0 011111顯然，不管p、q、r的真假情況怎樣 邛一9一。總是和

6、8一4)一8一r)的真假一樣，所以有 p (q r) (P q) (P r)。3 、范式法析取范式和合取范式是命題公式的兩種等價形式，在等價的意義下，任何一個命題公式都有唯一的一個析取范式和一個合取范式，析取范式和合取范式可以用于判斷某個命題公式是否為重言式或矛盾式。而證明某個推理形式是有效的充要條件是這個推理形式為重言 式。所以我們可以把這種唯一的范式形式用于推理論證中，去證明一些命題公式。例3、證明(pq)(qr)(pr).證：即判斷(pq)(qr)(pr)是否為重言式。先求合取范式:(pq)(qr)(pr) (p q)(qr)(pr)(pq)(qr) (pr)(p q)q)(pq)r)(

7、p r)(pq)(pr) (qq)(q r)(pr)(pp r) (p rr) (qq p r)(qp r)得到的結果中，四個合取項都為重言式，從而該命題公式為重言式,4 、CP規(guī)那么法得證。CP規(guī)那么的內容：前提是Hi, H2,H n ,欲證明結論RS成立結論是條件式，那么將條件式作為附加前提證得S即可。設 HHi H2Hn ,由前提H證明R S ,即證明H (RS)永真，而H (RS)等價于HRS永真即可。這種證明方法比較適用于證明結論中帶有蘊含連接詞,也就是說結論是形如命題公式，用CP規(guī)那么證明可能比較簡便。再復雜的結論如形如 p (qr)的命題公式,也可以通過連續(xù)使用兩次例4、證明(p

8、 (q證：1s2s p3p4 p (q r)5q r6qCP規(guī)那么的方式來證明。r) (s p) q s r附加前提前提12否析規(guī)那么前提34別離規(guī)那么 前提7r8s r56別離規(guī)那么CP規(guī)那么4 、反證法反證法是一種間接證明問題的方法。由反證法推理規(guī)那么(萬(s S) p可知，直接證p困難時，可改證 p (s S),也就是假定p不真，設法推出矛盾，從而肯定p,這就是反證法。它的步驟：1否認結論；2找出矛盾；3肯定題設。例5、用反證法證明(p q) (q s) p.并作為附加前提，在證詳細證明過程如下:(1) pp q(3) q(4) q sq s分析：用反證法證明首先要假設結論部分命題公式的

9、否認為真, 明過程證得到任意形式的兩個互相矛盾的命題公式證明即完畢。附加前提假設前提1、2別離規(guī)那么前提4置換(6) &5合簡規(guī)那么(7) q q矛盾5、6合取規(guī)那么所以推得(p q) (q s) p.三、完畢語不管是離散數(shù)學還是其它的數(shù)學課程，注意對不同題型的解題方法的總結，才能熟能生巧，進步解題技巧。以上介紹了一些常用的命題公式證明方法，在同學們遇到此類證明題時，假設可以靈敏運用這些方法，都會迎刃而解的。同學們在運用這些方法證明推理時 也要主動找出其內在聯(lián)絡，到達系統(tǒng)掌握命題邏輯的推理論證的目的，進而也到達把握命題邏輯知識的目的?！緟⒖嘉墨I】：1王玉文、鮑曼編，數(shù)學邏輯根底M.哈爾

10、濱：哈爾濱師范大學出版社，15-22.2耿素云、屈婉玲等編，離散數(shù)學M.北京：清華大學出版社，1999, 5-11.3左孝陵等編，離散數(shù)學M.上海：上?？茖W技術文獻出版社，1998.6-15.4陳慕澤編，數(shù)理邏輯教程 M.上海：上海人民出版社，2002,40-59.【英文翻譯】：Some Familiarly Inferential Proof Methodsin the Propositional LogicWuJieQiongHarbin normal university(heilongjiang Harbin 150025)Abstract : Inferential Proof Me

11、thods in the Propositional Logic is the difficult content in the discrete mathematics course, there are two main reasons: one is that it is abstract and its methods are quite unique, so its flexibility is too big, and it is difficult to master; Another is that most of its subjects are proof ones, th

12、e knowledge of most questions involving a broader, so the topics are more difficult. And Propositional logic is the basis of mathematical logic. It is important to study propositional logic and master inferential proof methods. At the same time, it is the basis of predicate logic. This paper explain

13、ed the appropriate examples, and summarizes the proposition logic reasoning in several common proof method, and analyzed and discussed, and to deepen the students' understanding and the knowledge of the flexible use. It helps the students to master the proposition logic reasoning method proved, and