排列組合知識(shí)總結(jié)經(jīng)典題型

1、(1)知識(shí)梳理 1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類中有m1種有不同的方法，在第2類中有m2種不同的方法在第n類型有m3種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒：分類計(jì)數(shù)原理及“分類”有關(guān)，要注意“類”及“類”之間所具有的獨(dú)立性和并列性；分步計(jì)數(shù)原理及“分步”有關(guān)，要注意“步”及“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個(gè)原理進(jìn)行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏。3排列：從

2、n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.4排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.5排列數(shù)公式：特別提醒：（1）規(guī)定0! = 1       （2）含有可重元素的排列問題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,.an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于.  

3、   例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).  6組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 7組合數(shù)公式： 8兩個(gè)公式： 特別提醒：排列及組合的聯(lián)系及區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.(2)典型例題考點(diǎn)一:排列問題例1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不

4、相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.考點(diǎn)二:組合問題例2. 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員.考點(diǎn)三:綜合問題例3.4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？當(dāng)堂測試1.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)

5、生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（    ）A.70 種        B.80種         C.100 種        D.140 種2.亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（ 

6、   ）A.48 種        B.12種        C.18種       D.36種3.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（      ）A.48          B.

7、12           C.180           D.1624.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（    ）A.150種      B.180種     

8、60;  C.300種       D.345種5.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（     ）A.6        B.12     C.30     D.366.用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（    

9、60; ）A324              B.328         C.360          D.6487.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒有入選的不同選法的總數(shù)為（   ）A.85    

10、;  B.56        C.49            D.288.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（    ）A.18          B.24    &

11、#160;     C.30          D.309.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是      （     ）A.360            B.288   

12、;         C.216            D.96參考答案：例1  解：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：方法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有種站法，然后中間4人有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：方法三：若對(duì)甲沒有限制條

13、件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，和其余4人進(jìn)行全排列有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有方法二：先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有（3）因?yàn)榧住⒁也幌噜?，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為也可用“間接法”，6個(gè)人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰

14、的站法有.（4）方法一：先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有種，故共有站法.方法二：先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有種，然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素及余下2人作全排列有種方法，最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有種方法，故共有站法.（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法.方法二：首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有站法.（6）方法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有

15、種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種，共有站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有種站法，甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不在右端有種，故共有站法.例2  解  （1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法.共有種選法.            （2）方法一  至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為.   

16、60;      方法二  “至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為.      （3）方法一：可分類求解：“只有男隊(duì)長”的選法為；“只有女隊(duì)長”的選法為；“男、女隊(duì)長都入選”的選法為；所以共有種選法.          9分方法二：間接法：從10人中任選5人

17、有種選法.其中不選隊(duì)長的方法有種.所以“至少1名隊(duì)長”的選法為種. 9分（4）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有種選法.不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有種.  例3 解  （1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另  外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（2）“恰有1

18、個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”及“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個(gè)空盒有種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種方法.故共有種.當(dāng)堂檢測答案1.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有   （    ）A.70 種      &

19、#160; B.80種         C.100 種        D.140 種解析：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有=70種，解題策略：合理分類及準(zhǔn)確分步的策略。2.亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 （    ）A.48 種  &

20、#160;     B.12種        C.18種       D.36種解析：合理分類，通過分析分為（1）小張和小王恰有1人入選，先從兩人中選1人，然后把這個(gè)人在前兩項(xiàng)工作中安排一個(gè)，最后剩余的三人進(jìn)行全排列有種選法。（2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個(gè)人，然后再剩余的3人中選2人排列有種方法。共有24+12=36種選法。解題策略：1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。     

21、;     2.合理分類及準(zhǔn)確分步的策略。          3.排列、組合混合問題先選后排的策略。3.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為       （      ）A.48          B.12

22、0;          C.180           D.162解析：分為兩大類：（1）含有0，分步1，從另外兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)，種方法，2.從3個(gè)奇數(shù)中選兩個(gè)，有種方法；3.給0安排一個(gè)位置，只能在個(gè)、十、百位上選，有種方法；4.其他的3個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有種排法，根據(jù)乘法原理共種方法。（2）不含0，分步，偶數(shù)必然是2，4 ；奇數(shù)有種不同的選法，然后把4個(gè)元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種。根據(jù)加法

23、原理把兩部分加一塊得解題策略：1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。          2.合理分類及準(zhǔn)確分步的策略。          3.排列、組合混合問題先選后排的策略。4.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（    ）A.150種     

24、B.180種        C.300種       D.345種解析：4人中恰有1名女同學(xué)的情況分為兩種，即這1名女同學(xué)或來自甲組，或來自乙組，則所有不同的選法共有 種選法。解題策略：合理分類及準(zhǔn)確分步的策略。5.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（     ）A.6        B.12 

25、;    C.30     D.36 解析：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種選擇方法，然后再把兩個(gè)人全不相同的情況去掉，兩個(gè)人全不相同，可以讓甲選兩門有 種選法，然后乙從剩余的兩門選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法，所以至少有一門不相同的選法為種不同的選法。解題策略：正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略。6.用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為   （      ）A.324   

26、;           B.328         C.360          D.648解析：  第一類個(gè)位是零，共種不同的排法。         第二類個(gè)位不是零，共種不同的解法。解題策略：合理分類及準(zhǔn)確分步的策略.7.從1

27、0名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒有入選的不同選法的總數(shù)為（   ）A.85      B.56        C.49            D.28解析：合理分類，甲乙全被選中，有種 選 法，甲乙有一個(gè)被選中，有種不同的選法，共+=49種不同的選法。解題策略：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略，（2）合理分類及準(zhǔn)確

28、分步的策略.8.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為（    ）A.18          B.24          C.30          D.30將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有種不同的分法，然后三組進(jìn)行全排列共種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個(gè)班的情況排除掉，共種不同的排法。所以總的排法為種注意:這里有一個(gè)分組的問題，即四個(gè)元素分成三組有幾種不同的分法的問題。這里分為有序分組和無序分組，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究 ，這里不