多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次

1、蘭州交通大學(xué)2013年大學(xué)生數(shù)學(xué)建摸競賽論文題目：多臺設(shè)備同時故障時的最優(yōu)維修次序 參賽組號：參賽人1： 姓名 殷蘭 學(xué)院 土木工程學(xué)院 班級 工程管理1001班 參賽人2： 姓名 賈月娟 學(xué)院 土木工程學(xué)院 班級 工程管理1001班 參賽人3： 姓名 陳小麗 學(xué)院 土木工程學(xué)院 班級 工程管理1001班 學(xué)校統(tǒng)一編號，個人不得填寫論文編號： 多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序一、摘要本文是關(guān)于降低企業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)濟損失的設(shè)計問題，即在生產(chǎn)中多臺設(shè)備發(fā)生故障時的維修次序的優(yōu)化，在同樣的維修條件下，將經(jīng)濟損失降到最低。本文是關(guān)于多臺設(shè)備同時故障的最優(yōu)維修次序的模型設(shè)計，通過建模及程序流程圖的分析，得到了

2、以下的解答，為設(shè)備維修的最優(yōu)化設(shè)計提供參考：(1) 在只有一名維修工人的情況下，由于數(shù)據(jù)量不是很大，所以運用窮舉法來進行優(yōu)化設(shè)計，并最終根據(jù)所給的數(shù)據(jù)測試，得到了最優(yōu)化的維修次序為：第2組，第5組，第1組，第6組，第3組，第4組，第7組。最優(yōu)化后的最小損失為162.5000萬元。(2) 在有兩名維修工人的情況下，運用窮舉法，最終得到最優(yōu)化的設(shè)計次序為：第5組，第2組，第6組，第3組，第4組，第1組，第7組。其中，與(1)不同的是，每個工人在做完自己的工作后，再接在另外一個工人后面的機器序號進行維修。最優(yōu)化后的最小損失為：108.5000萬元。(3) 模型推廣中，運用已建立好的模型一，并給出相應(yīng)

3、的程序流程圖，為企業(yè)在實際操作中提供參考。二、問題的提出對生產(chǎn)企業(yè)而言，其生產(chǎn)設(shè)備都會在壽命期內(nèi)出現(xiàn)各種原因的故障，需要進行維修后方能繼續(xù)進行正常的生產(chǎn)。對設(shè)備進行維修，不僅需要企業(yè)承擔(dān)一定數(shù)額的維修成本，更重要的原因是因設(shè)備故障耽擱的生產(chǎn)會給企業(yè)造成更大的經(jīng)濟損失，尤其是大型企業(yè)，后者對企業(yè)造成的經(jīng)濟損失是非常巨大的。因此為了使企業(yè)的經(jīng)濟損失降到最低，一旦出現(xiàn)設(shè)備故障，就要及時對設(shè)備進行維修，使其盡快投入生產(chǎn)，但如果發(fā)生多臺設(shè)備同時出現(xiàn)故障，由于維修工人的數(shù)量有限，就只能按照一定的次序進行維修，維修好的設(shè)備馬上投入生產(chǎn)，維修工人再接著維修其它其它受損的設(shè)備。在這種情景下，由于不同設(shè)備停工給企

4、業(yè)造成的經(jīng)濟損失不同，維修所需要的時間也不同。因此，如果出現(xiàn)多臺設(shè)備發(fā)生故障，維修工人的數(shù)量少于受損設(shè)備數(shù)量時，尋求一種最優(yōu)的維修次序，把企業(yè)的經(jīng)濟損失降低到最小是企業(yè)生產(chǎn)管理中的一項重要內(nèi)容。現(xiàn)考慮一個具體的問題：某一企業(yè)同時有7臺設(shè)備出現(xiàn)故障，每臺設(shè)備維修所需要的時間和停工給企業(yè)造成的經(jīng)濟損失如下表所列機器編號1234567維修所需要的時間(小時)58784913停工所造成損失(萬元/每小時)0.61.81.20.80.81.71.0針對這一情況的設(shè)備維修問題解決一下問題：(1). 如果維修工人只有一名，試建立數(shù)學(xué)模型求解使總損失達到最小的設(shè)備維修次序。(2). 如果維修工人有兩名，每臺機

5、器的維修只能由一人單獨完成，試重新回答問題(1)。(3). 對該問題進行推廣，如果同時有n臺設(shè)備需要維修，而每臺設(shè)備的維修時間和停工造成的經(jīng)濟損失都是已知的，并且只有一名維修工人的情況下，建立是總損失達到最小的數(shù)學(xué)模型，并給出求解該問題的算法。三、問題的分析對于本類問題，可以看到這是一個最優(yōu)化的分析問題。在這個問題中，可以看到的是需要求解的三個問題都是在人數(shù)少，而機器多的情況下，對故障進行排查。題意要求的是選取可以選取損失最小的方案，對于題目要求的三個條件，可以使用最優(yōu)化模型來解決。(1). 在維修工人只有一名的情況下，首先可以想到的是可以使用貪婪算法，即選取對損失造成最大的機器優(yōu)先處理，這樣

6、可以使得企業(yè)的損失降低到最小。但是在運用貪婪算法的時候，會產(chǎn)生一個問題，就是在貪婪算法中，只會先解決對損失造成最大的機器，而忘記考慮時間了。當(dāng)機器修好后，就可以正常投入使用，這樣它就產(chǎn)生了減少損失的隱現(xiàn)效應(yīng)。所以我們在考慮此類問題進行線性最優(yōu)化，將工人維修的可能產(chǎn)生所有的情況進行列列舉，即使用窮舉法，產(chǎn)生最小的損失。(2). 在有兩名工人的情況下，也可以采用這種窮舉法，即在問題(1)的基礎(chǔ)上，選取最小損失方案。在問題(2)中，其實是將問題(1)的一維線性組合變成了二維線性組合的問題，求解思想和思路也是一樣的。(3). 在一名維修工人的情況下，將問題推廣，實際上是對這個問題進行了一定的擴充，這樣

7、的更適用于實際問題的求解中，所以對于這類問題的求解，可以建立一個求解此類問題的方案，并最終獲得一個比較好的方案。四、模型假設(shè)與符號假設(shè)4.1 模型的假設(shè)假設(shè)該工人在工作的過程中不會出現(xiàn)怠工的情況，并且工人在維修該機器時，是不會出現(xiàn)超時的現(xiàn)象。假設(shè)該工人能夠連續(xù)的完成任務(wù)，中間不會有休息的過程，這樣可以使得模型在最短的時間里解決問題使得企業(yè)的損失最小。4.2 符號假設(shè)i：機器編號；：第i臺機器每小時造成的損失；：維修第i臺機器產(chǎn)生的總損失；sum：所需的總費用；：維修第i臺所需要的時間；min：最小損失；五、模型的建立與求解5.1 模型一的建立在問題一的分析中，我們已經(jīng)否認(rèn)了貪婪算法，而采用了窮

8、舉法，在使用窮舉法的同時，使用MATLAB對優(yōu)化問題進行求解，得到了很好的效果。因為數(shù)據(jù)量比較的小，所以很容易實現(xiàn)。由排列組合可知，計算量一共為5040次，將這些排列數(shù)存入一個數(shù)組中，每次從這些數(shù)組中取出一個數(shù)，進行計算。在模型一中，在維修一臺機器的同時，別的機器處于未維修的狀態(tài)，故會產(chǎn)生損失。設(shè)第一次維修的機器為第i臺機器，則它造成的損失為： (1)當(dāng)?shù)诰S修另外一臺機器時，設(shè)此機器編號為k，則在維修第k臺機器造成的損失為： (2)用同樣的方法，計算剩下的5臺機器，當(dāng)一臺機器維修完成后，即投入使用，此時在下一次時，就無須再計算一次損失了。即計算的公式為： (3)故由上述(1)、(2)、(3)式

9、可以得到了一個損失模型，其總損失為： (4)然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失： (5)記下此時的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時的sum的數(shù)值比min小，則替換此時的最小值，并記下此時的最優(yōu)次序： (6)重復(fù)(1)到(6)的步驟，并得出一個最小的損失，此時記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.2 模型一的求解對于模型一，可以由建立的模型畫出程序流程圖，即為：圖1 模型的流程圖在附錄部分可以看到原程序。最終通過MATLAB求解出了最小損失為：Min=162.5000 (萬元) (7)此時的最優(yōu)化的次序為：2 5 1 6 3 4 7即維修機器的順序為：第2組，第5組，第1組，第6

10、組，第3組，第4組，第7組。此時，可以繪制出每一次的求解圖形，并最終驗證了最優(yōu)化模型的正確性。如圖2所示，進行5040次計算后，所顯示的圖形。圖2 窮舉法圖示5.3 模型二的建立在模型二中，我們可以采用和模型一完全相同的方式來解決，只是此時的一維變量變成了二維變量。 在此時會產(chǎn)生一個出現(xiàn)一個問題，即工人A在維修的時候，工人B已經(jīng)維修完成，而此時產(chǎn)生的數(shù)據(jù)會出現(xiàn)不均勻分布的情況，而且此時每臺機器只能由一個人完成，在這種情況下計算就產(chǎn)生了連續(xù)性。在這種情況依然采用窮舉法，只不過此時維修的次數(shù)就變成了從開始依次進行維修，即在數(shù)組中從第一個數(shù)開始，等到維修完成后，就開始往下繼續(xù)維修，直到所有的維修完成

11、。假設(shè)維修的次序為1、2、3、4、5、6、7，則工人先維修第一臺機器和第二臺機器，由于第一臺機器所維修的時間比第二臺少，所以當(dāng)工人維修完成第一臺機器后，就維修序號為3的機器，這樣依次類推，直到所有的機器維修完成。在窮舉法中，計算出最小的損失費用。設(shè)從第i臺和第j臺開始維修，則在此階段中，會有時間上的差距。若： (8)則使用的時間來計算此次損失費用： (9)由于此時第i臺還未維修完，而工人A又轉(zhuǎn)到另外一臺機器上維修，所以在此時產(chǎn)生新的計算過程，即可以求出在的這段過程中產(chǎn)生的費用： (10)接著在維修第三臺和第四臺機器時，按照同樣的方法來進行求解，最終可以得到一個計算的控制條件： (11)按照這種

12、控制方式，最終可以求得最終的損失： (12)然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失： (13)記下此時的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時的sum的數(shù)值比min小，則替換此時的最小值，并記下此時的最優(yōu)次序： (14)重復(fù)(8)到(14)的步驟，并得出一個最小的損失，此時記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.4 模型二的求解同樣的，我們采用MATLAB對程序進行控制，可以求出一個最優(yōu)化的解?？捎山⒌哪Ｐ屠L制出程序流程圖，如下圖3所示。圖3 模型二的程序流程圖在附錄中可以看到原程序，并最終可以求出最小的損失為：Min=108.5000(萬元) (15)維修的次序為：5263417即維修

13、機器序號為：第5組，第2組，第6組，第3組，第4組，第1組，第7組。此時，可以繪制出每一次的求解圖形，并最終驗證了最優(yōu)化模型的正確性。如圖4所示，進行5040次計算后，所顯示的圖形。圖4 模型二的所有圖像5.5 模型三的建立對于模型三，實際上是對模型一的推廣和應(yīng)用，在建立模型三的時候，我們也可以考慮窮舉法。由于計算機的計算速度已經(jīng)達到了相當(dāng)快的速度，所以可以忽略對于計算量的追求，我們依然采用模型一的結(jié)構(gòu)與方法。由于此時的維修工人只有一個，故我們在建立模型的時候，可以采用的是一維建模方式，這樣就不用考慮其它的因素。此時，維修的機器數(shù)變?yōu)閚臺。在維修一臺機器的同時，別的機器處于未維修的狀態(tài)，故會產(chǎn)

14、生損失。設(shè)第一次維修的機器為第i臺機器，則它造成的損失為： (16)當(dāng)?shù)诰S修另外一臺機器時，設(shè)此機器編號為k，則在維修第k臺機器造成的損失為： (17)用同樣的方法，計算剩下的n-2臺機器，當(dāng)一臺機器維修完成后，即投入使用，此時在下一次時，就無須再計算一次損失了。即計算的公式為： (18)故由上述(16)、(17)、(18)式可以得到了一個損失模型，其總損失為： (19)然后把第一組的結(jié)果存入min中記為最小損失： (20)記下此時的最優(yōu)次序，然后再繼續(xù)求第二組。如果此時的sum的數(shù)值比min小，則替換此時的最小值，并記下此時的最優(yōu)次序： (21)重復(fù)(16)到(21)的步驟，并得出一個最小的

15、損失，此時記下的維修次序就是最優(yōu)化的維修次序。5.6 模型三的程序流程圖在模型三的建立中，我們可以繪制出其程序流程圖，并求解出最優(yōu)化的損失，程序流程圖如圖5所示。在模型三中，我們會發(fā)現(xiàn)這是和模型一類似的一種算法。這樣可以說模型一是模型三的一個特例，這樣做有一個明顯的好處就是模型在實際應(yīng)用中可以通用，而不是針對專門的函數(shù)進行求解。圖5 模型三的程序流程圖六、模型的結(jié)果分析應(yīng)用該模型，需要大量的數(shù)據(jù)計算，這就需要計算機來完成。在模型二中，我們會發(fā)現(xiàn)有一些冗余量的產(chǎn)生，但這并不會影響最終的計算結(jié)果。而且計算機的性能和速度的提高，足以彌補這少量冗余的產(chǎn)生。在模型一和模型三中，因為只有一個工人，所以不會

16、產(chǎn)生數(shù)據(jù)量的冗余，而且運用窮舉法考慮了所有的情況，是一個比較好的模型。特別是模型三，在實際解決問題中，是一個很好的模型。建模的同時，也給出了程序流程圖，這樣更適用于實際解決，也更方便人們利用計算機編程解決。 七、模型的優(yōu)缺點模型中每一步推理都通過建模及程序流程圖的分析，因此計算結(jié)果也較符合實際問題，在計算中運用窮舉法來進行優(yōu)化設(shè)計，因此簡化了計算證明的復(fù)雜程度；這樣做有一個明顯的好處就是模型在實際應(yīng)用中可以通用，而不是針對專門的函數(shù)進行求解。但是我們會發(fā)現(xiàn)有一些冗余量的產(chǎn)生,這樣會導(dǎo)致計算量過大,求解困難。序號作者1,作者2.書名.出版地：出版社.出版時間. 八、參考文獻1 焦永蘭.運籌學(xué).

17、北京：中國鐵道出版社. 2010.2 姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第2版）. 北京：高等教育出版社. 1993.3 王沫然.MATLAB5.X與科學(xué)計算. 北京：清華大學(xué)出版社.2000.4 鄧建中,劉之行計算方法（第2版）. 西安：西安交通大學(xué)出版社.2001.九、附錄模型一求解的MATLAB程序：m = perms(1:7);x = ;n = 5 8 7 8 4 9 13; 0.6 1.8 1.2 0.8 0.8 1.7 1.0;min = 5*(0.6+1.8+1.2+0.8+0.8+0.7+1.0)+8*(1.8+1.2+0.8+0.8+0.7+1.0)+7*(1.2+0.8+0.8+0.7+1.0)+8*(0.8+0.8+0.7+1.0)+4*(0.8+0.7+1.0)+9*(0.7+1.0)+13*1.0;for i=1:1:5040 sum=0; t = m(i,:);sum=n(1,t(1)*(n(2,t(1)+n(2,t(2)+n(2,t(3)+n(2,t(4)+n(2,t(5)+n(2,t(6)+n(2,t(7)+n(1,t(2)*(n(2,t(2)+n(2,t(3)+n(2,t(4)+n(2,t(