二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目一基礎(chǔ)知識1. 定義：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質(zhì)（1）拋物線2axy的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸. （2）函數(shù)2axy的圖像與a的符號關(guān)系 . 當(dāng)0a時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)0a時拋物線開口向下頂點為其最高點. （3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy）（0a. 3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線 . 4. 二次函數(shù)cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422

2、，. 5. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2； 2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)0a時，開口向上；當(dāng)0a時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于y軸（或重合）的直線記作hx. 特別地，y軸記作直線0 x. 7. 頂點決定拋物線的位置. 幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同. 8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點是），（abacab442

3、2，對稱軸是直線abx2. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點為(h,k) ，對稱軸是直線hx. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 9. 拋物線cbxaxy2中，cba,的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與2axy中的a完全一樣 . （2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2，故：0b時，對稱軸為y軸；0ab（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；0ab（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè) . （

4、3）c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點的位置 . 當(dāng)0 x時，cy，拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個交點（0，c） ：0c，拋物線經(jīng)過原點; 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負(fù)半軸. 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時開口向上當(dāng)0a時開口向下0 x（y軸）（0,0 ）kaxy20 x（y軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11a,b,c, b2-4

5、ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定12二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：恒正的條件：a0 且0；恒負(fù)的條件：a0 且0。13拋物線的平移規(guī)律：在頂點式的基礎(chǔ)上-“左加右減，上加下減”。在一般式的基礎(chǔ)上- 14兩拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的條件：拋物線khxay2關(guān)于 x 軸對稱的解析式：拋物線khxay2關(guān)于 x 軸對稱的解析式：15. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：khxay2. 已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)1x、2x，通常選用交點式：21xxxxay

6、. 16二次函數(shù)的最值問題(1)公式法 :y=ax2+bx+c 中,當(dāng) a0 時,x=_,y最小=_; 當(dāng) a0, 當(dāng) x=_,y最小=_; 若 a0, 當(dāng) x=_, y最大=_.學(xué)習(xí)必備歡迎下載y x 1 o 1 o 17. 直線與拋物線的交點（1）y軸與拋物線cbxaxy2得交點為 (0, c). （ 2 ） 與y軸 平 行 的 直 線hx與 拋 物 線cbxaxy2有 且 只 有 一 個 交 點(h,cbhah2). （3）拋物線與x軸的交點二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)1x、2x，是對應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個實數(shù)根. 拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一

7、元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；沒有交點0拋物線與x軸相離 . （4）平行于x軸的直線與拋物線的交點同（ 3）一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 . 當(dāng)有 2 個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個實數(shù)根. （5）一次函數(shù)0knkxy的圖像l與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像g的交點，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時l與g有兩個交點 ; 方程組只有一組解時l與g只有一個交點；方程組無解時l與g沒有交點 . （ 6） 拋 物 線 與x軸

8、兩 交 點 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線cbxaxy2與x軸 兩 交 點 為0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的兩個根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxab444222122122121二典型題目一、選擇題1拋物線y=x2+2x-3 與 x 軸的交點的個數(shù)有( ) a.0 個b.1 個c.2 個d.3 個2二次函數(shù)y=(x-1)2+2 的最小值是 ( ) a.-2 b.2 c.-1 d.1 3用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2 寫成形如y=a(x+m)2+n 的形式 ,則 m,n 的值分別是 ( ) a.m=32,n=310b.m

9、=-32,n=-310c.m=2,n=6 d.m=2,n=-2 4關(guān)于 x 的一元二次方程x2-x-n=0 沒有實數(shù)根 ,則拋物線y=x2-x-n 的頂點在 ( ) a. 第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限5拋物線1)2(212xy可由拋物線221xy（）而得到。a先向左平移2 個單位，再向下平移1 個單位；b先向左平移2 個單位，再向上平移1 個單位；c先向右平移2 個單位，再向下平移1 個單位；d先向右平移2 個單位，再向上平移1 個單位。6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論： a+b+c0； a- b+c0；b+2a0；042acb

10、其中所有正確結(jié)論的序號是（）abcd7(0);ykx kk為常數(shù)，( ,0);ykxb k bk為常數(shù)，(0);kykkx為常數(shù)，2(0);yax aa為常數(shù)，其中，函數(shù)y 的值隨著x 值得增大而減少的是（）ab、c、d、8已知拋物線2yxbxc的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）a0c；b若 y0，則2yxbxc與 x 軸的交點是（1，0） ， （3，0） ；cy 隨 x的增大而減小的自變量x 的范圍是： x 1；d若 y0，則 x 的取值范圍是：x 1 或 x 39小明、小亮、小梅、小花四人共同探討代數(shù)式x2 4x+5 的值的情況他們作了如下分工：小明負(fù)責(zé)找其值為1 時的 x 的值，

11、小亮負(fù)責(zé)找其值為0 時的 x 的值，小梅負(fù)責(zé)找最小值，小花負(fù)責(zé)找最大值，幾分鐘后，各自通報探究的結(jié)論，其中錯誤的是（）a小明認(rèn)為只有當(dāng)x=2 時， x24x+5 的值為 1b小亮認(rèn)為找不到實數(shù)x，使 x24x+5 的值為 0 c小梅發(fā)現(xiàn)x24x+5 的值隨 x 的變化而變化，因此認(rèn)為沒有最小值d小花發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 取大于 2 的實數(shù)時， x2 4x+5 的值隨 x 的增大而增大，因此認(rèn)為沒有最大值10. 拋物線)2(22mmxxy的頂點坐標(biāo)在第三象限，則m的值為（）a21mm或 b 10mm或 c 01m d1m11已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k 的圖象上有a(2,y1)、b(2,y2)、c(-

12、5,y3)三個點 ,則 y1、y2、y3的大小關(guān)系為( ) a.y1y2y3 b.y2y1y3 c.y3y1y2 d.y3y2y112由于被墨水污染 ,一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字 : “已知二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象過點 (1,0)求證 :這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息 ,題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是 ( ) a.過點 (3,0) b.頂點為 (2,-2) c.在 x 軸上截得的線段長是2 d.與 y 軸的交點是 (0,3) 13如圖函數(shù)y=ax2-bx+c 的圖象過點 (-1,0), 則bacacbcba的值是( ) a.-3 b.3 c.-1 d.1學(xué)習(xí)必

13、備歡迎下載14已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示,下面結(jié)論 : (1)a+b+c0; (3)abc0; (4)b=2a. 其中正確的結(jié)論有( ) a.4 個 b.3個 c.2個 d.1個15二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象在x 軸的上方的條件是（）a a0，b24ac0 ba0，b24ac0 c a0，b24ac0 da0，b24ac0 16 如圖， 如果函數(shù) y=kxb的圖象在第一、 二、 三象限內(nèi)， 那么函數(shù) y=kx2bx1 的大致圖象是 （）17已知拋物線y=ax2bxc，如圖所示，則x 的方程 ax2bxc3=0 的根的情況是（）a有兩個不相等的正實根b有兩個異號實數(shù)根c

14、有兩個相等實數(shù)根d沒有實數(shù)根18下列四個函數(shù)：y=x 1； y=x3； y= x2；y=2x（ 1x2） 其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的共有（）a 1 個b2 個c3 個d4 個19已知函數(shù)y=ax2bxc的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c 有下列不等式：a0； b0； c0； 2ab0； ab c0其中正確個數(shù)為（）a 1 個b2 個c3 個d4 個20已知二次函數(shù)y=ax2 bxc的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（） （多選）a abc0 bb2 4ac0 c 2ab 0 d4a2bc0 21如圖，二次函數(shù)y=x24x3 的圖象交x 軸于 a、b 兩點，交 y 軸于點 c，

15、則 abc 的面積為（）a 6 b4 c3 d1 22函數(shù) y=ax2與 y=ax a（ a0在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）23一臺機器原價為60 萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價位為y 萬元，則 y 與x 之間的函數(shù)表達式為（）ay=60（ 1x）2by=60（1x）cy=60 x2dy=60（1x）224 拋物線 y=x2axb 向左平移2 個單位再向上平移3 個單位得到拋物線y=x2 2x1， 則 （）aa=2，b=2 ba=6，b=6 ca=8，b=14 d a=8， b=18 二、填空題1拋物線y=3(x+4)(x-2) 與 x 軸的兩交點坐標(biāo)為_,與 y 軸的交點

16、坐標(biāo)為_. 2已知拋物線y=x2（ m1）x41的頂點的橫坐標(biāo)是2，則 m 的值是3二次函數(shù)y=x22x3 的最小值是4拋物線y=x2 2axa2的頂點在直線x=2 上，則 a 的值是5二次函數(shù)y=x26x5，當(dāng)x時，0y，且y隨x的增大而減小。6已知二次函數(shù)y=x2（ ab） xa 的圖象如圖所示，那么化簡bababa222的結(jié)果是7若一拋物線y=ax2與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2 圍成的正方形有公共點，則a 的取值范圍是8把拋物線y=2x2 4x 5 向左又向上分別移動4 個單位，再繞頂點旋轉(zhuǎn)180，則所得新的圖象的表達式是9請你寫出函數(shù)y=3（ x1）2與 y=x21 具有的

17、一個共同性質(zhì)10 拋物線 y=x2 （2m1） x2m 與 x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為a （x1， 0） ， b （x2， 0） ， 且21xx=1，則 m 的值為11拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中，如圖所示點p1（ x1，y1） ，p2（x2，y2）均在拋物線上，點 p3（x3，y3）在直線上，其中2 x1x2，x3 2，則 y1、y2、y3的大小關(guān)系為學(xué)習(xí)必備歡迎下載12如圖，已知一次函數(shù)y= 2x3 的圖象與x 軸交于 a 點，則 y 軸交于 c 點，二次函數(shù)y=x2bxc 的圖象過點c，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點b若 ac ：cb=1：2，那么這個拋物線的頂點坐標(biāo)是三、解答題1已知

18、拋物線y=x2（ a2）x 12 的頂點在x=3 上，求 a 的值及頂點的坐標(biāo)2已知二次函數(shù)y=x2x6（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2x6=0 的解及使不等式x2x60 成立的 x 的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點所構(gòu)成的三角形面積3如圖所示，一單杠高22m，兩立柱之間的距離為16m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀（1）一身高07m 的小孩站在離立柱04m 處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點到地面的距離；（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長為04m 的木板，除掉系木板用

19、去的繩子后，兩邊的繩子長正好各為2m，木板與地面平行，求這時木板到地面的距離（供選用數(shù)據(jù)：36.3=18，64. 3 1 9，36.42 1）4已知拋物線y=x22mxm2 的頂點在坐標(biāo)軸上，直線y=3xb 經(jīng)過拋物線的頂點，求直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的面積學(xué)習(xí)必備歡迎下載5已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2. (1)求證 :對于任意實數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x 軸總有公共點; (2)若該二次函數(shù)圖象與x 軸有兩個公共點a、b,且 a 點坐標(biāo)為 (1,0),求 b 點坐標(biāo) . 6如圖 1 是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線形狀,拋物線兩端點與水面的距離都是1 m,拱橋的跨度為10

20、m,橋洞與水面的最大距離是5 m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4 m 的景觀燈 .若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中.(如圖 2) (1)求拋物線的解析式; (2)求兩盞景觀燈之間的水平距離. 7如圖 ,直線 y=2x+2 與 x 軸、 y 軸分別交于a、b 兩點 ,將 aob 繞點 o 順時針轉(zhuǎn)90得到a1ob1. (1)在圖中畫出a1ob1; (2)求經(jīng)過 a、a1、b1三點的拋物線的解析式. 8 已知拋物線l： y=ax2+bx+c （ 其中 a、 b、 c 都不等于0） 它的頂點p 的坐標(biāo)是（-b/2a， 4ac-b2/4a） ，與 y 軸的交點是m（0、c） 。我們稱以m 為頂點，對稱軸是y 軸且過點p 的拋物線為拋物線l 的伴隨拋物線，直線pm 為 l 的伴隨直線。（1）請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1 的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式：。伴隨直線的解析式：。（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y= -x2-3