二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目一基礎(chǔ)知識(shí)1. 定義：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質(zhì)（1）拋物線2axy的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸. （2）函數(shù)2axy的圖像與a的符號(hào)關(guān)系 . 當(dāng)0a時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn). （3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy）（0a. 3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線 . 4. 二次函數(shù)cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422

2、，. 5. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2； 2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)0a時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)0a時(shí)，開(kāi)口向下；a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于y軸（或重合）的直線記作hx. 特別地，y軸記作直線0 x. 7. 頂點(diǎn)決定拋物線的位置. 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點(diǎn)是），（abacab442

3、2，對(duì)稱軸是直線abx2. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k) ，對(duì)稱軸是直線hx. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 9. 拋物線cbxaxy2中，cba,的作用（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與2axy中的a完全一樣 . （2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對(duì)稱軸是直線abx2，故：0b時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；0ab（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；0ab（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè) . （

4、3）c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng)0 x時(shí)，cy，拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c） ：0c，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立. 如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向下0 x（y軸）（0,0 ）kaxy20 x（y軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11a,b,c, b2-4

5、ac,a+b+c,a-b+c等符號(hào)的確定12二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：恒正的條件：a0 且0；恒負(fù)的條件：a0 且0。13拋物線的平移規(guī)律：在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上-“左加右減，上加下減”。在一般式的基礎(chǔ)上- 14兩拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的條件：拋物線khxay2關(guān)于 x 軸對(duì)稱的解析式：拋物線khxay2關(guān)于 x 軸對(duì)稱的解析式：15. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：khxay2. 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1x、2x，通常選用交點(diǎn)式：21xxxxay

6、. 16二次函數(shù)的最值問(wèn)題(1)公式法 :y=ax2+bx+c 中,當(dāng) a0 時(shí),x=_,y最小=_; 當(dāng) a0, 當(dāng) x=_,y最小=_; 若 a0, 當(dāng) x=_, y最大=_.學(xué)習(xí)必備歡迎下載y x 1 o 1 o 17. 直線與拋物線的交點(diǎn)（1）y軸與拋物線cbxaxy2得交點(diǎn)為 (0, c). （ 2 ） 與y軸 平 行 的 直 線hx與 拋 物 線cbxaxy2有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)(h,cbhah2). （3）拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1x、2x，是對(duì)應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一

7、元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離 . （4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 3）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)0knkxy的圖像l與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像g的交點(diǎn)，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)l與g沒(méi)有交點(diǎn) . （ 6） 拋 物 線 與x軸

8、兩 交 點(diǎn) 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線cbxaxy2與x軸 兩 交 點(diǎn) 為0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的兩個(gè)根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxab444222122122121二典型題目一、選擇題1拋物線y=x2+2x-3 與 x 軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有( ) a.0 個(gè)b.1 個(gè)c.2 個(gè)d.3 個(gè)2二次函數(shù)y=(x-1)2+2 的最小值是 ( ) a.-2 b.2 c.-1 d.1 3用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2 寫(xiě)成形如y=a(x+m)2+n 的形式 ,則 m,n 的值分別是 ( ) a.m=32,n=310b.m

9、=-32,n=-310c.m=2,n=6 d.m=2,n=-2 4關(guān)于 x 的一元二次方程x2-x-n=0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 ,則拋物線y=x2-x-n 的頂點(diǎn)在 ( ) a. 第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限5拋物線1)2(212xy可由拋物線221xy（）而得到。a先向左平移2 個(gè)單位，再向下平移1 個(gè)單位；b先向左平移2 個(gè)單位，再向上平移1 個(gè)單位；c先向右平移2 個(gè)單位，再向下平移1 個(gè)單位；d先向右平移2 個(gè)單位，再向上平移1 個(gè)單位。6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論： a+b+c0； a- b+c0；b+2a0；042acb

10、其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）abcd7(0);ykx kk為常數(shù)，( ,0);ykxb k bk為常數(shù)，(0);kykkx為常數(shù)，2(0);yax aa為常數(shù)，其中，函數(shù)y 的值隨著x 值得增大而減少的是（）ab、c、d、8已知拋物線2yxbxc的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）a0c；b若 y0，則2yxbxc與 x 軸的交點(diǎn)是（1，0） ， （3，0） ；cy 隨 x的增大而減小的自變量x 的范圍是： x 1；d若 y0，則 x 的取值范圍是：x 1 或 x 39小明、小亮、小梅、小花四人共同探討代數(shù)式x2 4x+5 的值的情況他們作了如下分工：小明負(fù)責(zé)找其值為1 時(shí)的 x 的值，

11、小亮負(fù)責(zé)找其值為0 時(shí)的 x 的值，小梅負(fù)責(zé)找最小值，小花負(fù)責(zé)找最大值，幾分鐘后，各自通報(bào)探究的結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）a小明認(rèn)為只有當(dāng)x=2 時(shí)， x24x+5 的值為 1b小亮認(rèn)為找不到實(shí)數(shù)x，使 x24x+5 的值為 0 c小梅發(fā)現(xiàn)x24x+5 的值隨 x 的變化而變化，因此認(rèn)為沒(méi)有最小值d小花發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 取大于 2 的實(shí)數(shù)時(shí)， x2 4x+5 的值隨 x 的增大而增大，因此認(rèn)為沒(méi)有最大值10. 拋物線)2(22mmxxy的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則m的值為（）a21mm或 b 10mm或 c 01m d1m11已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k 的圖象上有a(2,y1)、b(2,y2)、c(-

12、5,y3)三個(gè)點(diǎn) ,則 y1、y2、y3的大小關(guān)系為( ) a.y1y2y3 b.y2y1y3 c.y3y1y2 d.y3y2y112由于被墨水污染 ,一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字 : “已知二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn) (1,0)求證 :這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息 ,題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是 ( ) a.過(guò)點(diǎn) (3,0) b.頂點(diǎn)為 (2,-2) c.在 x 軸上截得的線段長(zhǎng)是2 d.與 y 軸的交點(diǎn)是 (0,3) 13如圖函數(shù)y=ax2-bx+c 的圖象過(guò)點(diǎn) (-1,0), 則bacacbcba的值是( ) a.-3 b.3 c.-1 d.1學(xué)習(xí)必

13、備歡迎下載14已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示,下面結(jié)論 : (1)a+b+c0; (3)abc0; (4)b=2a. 其中正確的結(jié)論有( ) a.4 個(gè) b.3個(gè) c.2個(gè) d.1個(gè)15二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象在x 軸的上方的條件是（）a a0，b24ac0 ba0，b24ac0 c a0，b24ac0 da0，b24ac0 16 如圖， 如果函數(shù) y=kxb的圖象在第一、 二、 三象限內(nèi)， 那么函數(shù) y=kx2bx1 的大致圖象是 （）17已知拋物線y=ax2bxc，如圖所示，則x 的方程 ax2bxc3=0 的根的情況是（）a有兩個(gè)不相等的正實(shí)根b有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根c

14、有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根d沒(méi)有實(shí)數(shù)根18下列四個(gè)函數(shù)：y=x 1； y=x3； y= x2；y=2x（ 1x2） 其中圖象是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心是原點(diǎn)的共有（）a 1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)19已知函數(shù)y=ax2bxc的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c 有下列不等式：a0； b0； c0； 2ab0； ab c0其中正確個(gè)數(shù)為（）a 1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)20已知二次函數(shù)y=ax2 bxc的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（） （多選）a abc0 bb2 4ac0 c 2ab 0 d4a2bc0 21如圖，二次函數(shù)y=x24x3 的圖象交x 軸于 a、b 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) c，

15、則 abc 的面積為（）a 6 b4 c3 d1 22函數(shù) y=ax2與 y=ax a（ a0在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）23一臺(tái)機(jī)器原價(jià)為60 萬(wàn)元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)位為y 萬(wàn)元，則 y 與x 之間的函數(shù)表達(dá)式為（）ay=60（ 1x）2by=60（1x）cy=60 x2dy=60（1x）224 拋物線 y=x2axb 向左平移2 個(gè)單位再向上平移3 個(gè)單位得到拋物線y=x2 2x1， 則 （）aa=2，b=2 ba=6，b=6 ca=8，b=14 d a=8， b=18 二、填空題1拋物線y=3(x+4)(x-2) 與 x 軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi),與 y 軸的交點(diǎn)

16、坐標(biāo)為_(kāi). 2已知拋物線y=x2（ m1）x41的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則 m 的值是3二次函數(shù)y=x22x3 的最小值是4拋物線y=x2 2axa2的頂點(diǎn)在直線x=2 上，則 a 的值是5二次函數(shù)y=x26x5，當(dāng)x時(shí)，0y，且y隨x的增大而減小。6已知二次函數(shù)y=x2（ ab） xa 的圖象如圖所示，那么化簡(jiǎn)bababa222的結(jié)果是7若一拋物線y=ax2與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2 圍成的正方形有公共點(diǎn)，則a 的取值范圍是8把拋物線y=2x2 4x 5 向左又向上分別移動(dòng)4 個(gè)單位，再繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，則所得新的圖象的表達(dá)式是9請(qǐng)你寫(xiě)出函數(shù)y=3（ x1）2與 y=x21 具有的

17、一個(gè)共同性質(zhì)10 拋物線 y=x2 （2m1） x2m 與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a （x1， 0） ， b （x2， 0） ， 且21xx=1，則 m 的值為11拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中，如圖所示點(diǎn)p1（ x1，y1） ，p2（x2，y2）均在拋物線上，點(diǎn) p3（x3，y3）在直線上，其中2 x1x2，x3 2，則 y1、y2、y3的大小關(guān)系為學(xué)習(xí)必備歡迎下載12如圖，已知一次函數(shù)y= 2x3 的圖象與x 軸交于 a 點(diǎn)，則 y 軸交于 c 點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2bxc 的圖象過(guò)點(diǎn)c，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點(diǎn)b若 ac ：cb=1：2，那么這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是三、解答題1已知

18、拋物線y=x2（ a2）x 12 的頂點(diǎn)在x=3 上，求 a 的值及頂點(diǎn)的坐標(biāo)2已知二次函數(shù)y=x2x6（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫(huà)出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2x6=0 的解及使不等式x2x60 成立的 x 的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積3如圖所示，一單杠高22m，兩立柱之間的距離為16m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀（1）一身高07m 的小孩站在離立柱04m 處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離；（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長(zhǎng)為04m 的木板，除掉系木板用

19、去的繩子后，兩邊的繩子長(zhǎng)正好各為2m，木板與地面平行，求這時(shí)木板到地面的距離（供選用數(shù)據(jù)：36.3=18，64. 3 1 9，36.42 1）4已知拋物線y=x22mxm2 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=3xb 經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，求直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的面積學(xué)習(xí)必備歡迎下載5已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2. (1)求證 :對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x 軸總有公共點(diǎn); (2)若該二次函數(shù)圖象與x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)a、b,且 a 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0),求 b 點(diǎn)坐標(biāo) . 6如圖 1 是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線形狀,拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1 m,拱橋的跨度為10

20、m,橋洞與水面的最大距離是5 m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4 m 的景觀燈 .若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中.(如圖 2) (1)求拋物線的解析式; (2)求兩盞景觀燈之間的水平距離. 7如圖 ,直線 y=2x+2 與 x 軸、 y 軸分別交于a、b 兩點(diǎn) ,將 aob 繞點(diǎn) o 順時(shí)針轉(zhuǎn)90得到a1ob1. (1)在圖中畫(huà)出a1ob1; (2)求經(jīng)過(guò) a、a1、b1三點(diǎn)的拋物線的解析式. 8 已知拋物線l： y=ax2+bx+c （ 其中 a、 b、 c 都不等于0） 它的頂點(diǎn)p 的坐標(biāo)是（-b/2a， 4ac-b2/4a） ，與 y 軸的交點(diǎn)是m（0、c） 。我們稱以m 為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y 軸且過(guò)點(diǎn)p 的拋物線為拋物線l 的伴隨拋物線，直線pm 為 l 的伴隨直線。（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=2x2-4x+1 的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式：。伴隨直線的解析式：。（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y= -x2-3