高中數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法解讀 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸思想是實(shí)現(xiàn)具有相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)知識(shí)板塊進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)與形、式與數(shù)、角與邊、空間與平面、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的互化等，消去法、 換元法、數(shù)形結(jié)合法等都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們也經(jīng)常在函數(shù)、方程、 不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意相近主干知識(shí)之間的互化，注

2、重知識(shí)的綜合性轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則(1)熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決(2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)(3)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律(4)正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探討，使問(wèn)題獲得解決體驗(yàn)高考1(2016 課標(biāo)全國(guó)乙 )已知等差數(shù)列an前 9項(xiàng)的和為

3、27， a108，則 a100等于 () a100 b99 c98 d 97 答案c 解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知s99 a1a9292a529a527，得 a53，而 a10 8，因此公差 da10a51051，a100a1090d98，故選 c. 2(2016 課標(biāo)全國(guó)丙 )已知4213532 ,4 ,25 ,abc則() abacbabccbcadcab學(xué)習(xí)好資料歡迎下載答案a 解 析因 為4243552 ,42 ,ab由 函 數(shù)y 2x在r上 為 增 函 數(shù) 知ba； 又 因 為24213,33324 ,255ac由函數(shù)23yx在(0， )上為增函數(shù)知ac.綜上得ba0)，則 aksin a

4、，bksin b，cksin c. 代入cos aacos bbsin cc中，有cos aksin acos bksin bsin cksin c，變形可得sin asin bsin acos bcos asin bsin(a b)在 abc 中，由 abc ，有 sin(ab)sin( c)sin c，所以 sin asin bsin c. (2)解由已知， b2c2a265bc，根據(jù)余弦定理，有cos ab2c2a22bc35，所以 sin a1 cos2a45. 由(1)知， sin asin bsin acos bcos asin b，所以45sin b45cos b35sin b.

5、 故 tan bsin bcos b4. 高考必會(huì)題型題型一正難則反的轉(zhuǎn)化例 1已知集合a xr|x24mx2m60 ，bxr|x0 ，若 ab?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解設(shè)全集 um| (4m)2 4(2m6)0，即 um|m1 或 m32 若方程 x24mx2m60 的兩根 x1，x2均為非負(fù)，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載則mu，x1x2 4m0，? m32，x1x22m6 0所以使 ab?的實(shí)數(shù) m 的取值范圍為m|m 1點(diǎn)評(píng)本題中， ab?，所以 a 是方程 x24mx2m60的實(shí)數(shù)解組成的非空集合，并且方程 的根有三種情況：(1)兩負(fù)根； (2)一負(fù)根和一零根；(3)一負(fù)根和一正根分別求解比較麻煩

6、，我們可以從問(wèn)題的反面考慮，采取“正難則反 ”的解題策略，即先由 0，求出全集u，然后求 的兩根均為非負(fù)時(shí)m 的取值范圍，最后利用“補(bǔ)集思想 ”求解，這就是正難則反這種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，也稱(chēng)為“補(bǔ)集思想 ”變式訓(xùn)練1若對(duì)于任意t1,2 ，函數(shù) g(x)x3m22 x22x 在區(qū)間 (t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 _答案373， 5解析g(x)3x2 (m4)x2，若 g(x)在區(qū)間 (t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x) 0 在(t,3)上恒成立，或 g(x)0 在(t,3)上恒成立由 得 3x2 (m4)x 20，即 m42x3x 在 x (t,3)上恒成立，所以 m42t3

7、t 恒成立，則m 41，即 m5；由 得 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，則 m4239，即 m373. 所以使函數(shù)g(x)在區(qū)間 (t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m 的取值范圍為373mln(n1)(nn*)(1)解g(x)1ef(x)(x1) ln x(x1)，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載g(x)1x1(x0)令 g(x)0，解得 0 x1；令 g(x)1. 函數(shù) g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1， )上單調(diào)遞減，g(x)極大值g(1) 2. (2)證明由(1)知 x1 是函數(shù) g(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，g(x)g(1) 2，即 ln x(x1)2? ln xx1(當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)

8、等號(hào)成立 )，令 tx1，得 t ln(t1)(t1)取 t1n(nn*)時(shí)，則1nln 11nlnn1n，1ln 2，12ln 32，13ln 43， ，1nlnn1n，疊加得 112131nln(2 3243 n1n)ln(n1)即 112131nln(n1)點(diǎn)評(píng)解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、 不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值 (值域 )問(wèn)題，從而求出參變量的范圍變式訓(xùn)練2設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xr. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 2 1且 x

9、0 時(shí)， exx22ax 1. (1)解由 f(x)ex2x2a， xr知 f(x) ex 2，xr. 令 f(x) 0，得 xln 2. 于是當(dāng) x 變化時(shí)， f(x)，f(x)的變化情況如下表：x ( ，ln 2)ln 2(ln 2， ) f(x)0f(x)單調(diào)遞減22ln 22a 單調(diào)遞增故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2， )，f(x)在 xln 2 處取得極小值，極小值為f(ln 2) eln 22ln 22a22ln 22a. 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(2)證明設(shè) g(x) exx22ax1，xr，于是 g (x)ex2x2a，xr. 由(1)知當(dāng) al

10、n 2 1 時(shí)，g(x)取最小值為g(ln 2) 2(1ln 2a)0. 于是對(duì)任意xr，都有 g(x)0，所以 g(x)在 r 內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng) aln 21 時(shí)，對(duì)任意x(0， )，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，從而對(duì)任意x(0， )，都有 g(x)0. 即 exx22ax10，故 exx22ax1. 題型三主與次的轉(zhuǎn)化例 3已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)滿足1a1 的一切 a的值，都有g(shù)(x)0，則實(shí)數(shù)x 的取值范圍為_(kāi)答案23，1解析由題意，知g(x)3x2ax3a5，令 (a)(3x)a 3x25， 1a1. 對(duì) 1

11、a1，恒有 g(x)0，即 (a)0，1 0，1 0，即3x2 x20，3x2 x80，解得23x1. 故當(dāng) x 23，1 時(shí)，對(duì)滿足 1 a1 的一切 a 的值，都有g(shù)(x)1，即 a2 時(shí)，函數(shù)y (ta2)2a2458a12在 t0,1上單調(diào)遞增，t1 時(shí)，函數(shù)有最大值ymaxa58a321，解得 a20132(舍去 )；當(dāng) 0a21，即 0a2 時(shí)，則 ta2時(shí)函數(shù)有最大值，ymaxa2458a121，解得 a32或 a 4(舍去 )；當(dāng)a20，即 a0(舍去 )，綜上所述，存在實(shí)數(shù)a32，使得函數(shù)在閉區(qū)間0，2上有最大值1. 點(diǎn)評(píng)換元有整體代換、特值代換、三角換元等情況本題是關(guān)于三角

12、函數(shù)最值的存在性問(wèn)題，通過(guò)換元，設(shè)cos xt，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t 的二次函數(shù)問(wèn)題，把三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y (ta2)2a2458a12，0 t1 的最值問(wèn)題，然后分類(lèi)討論解決問(wèn)題變式訓(xùn)練4若關(guān)于x 的方程9x (4 a) 3x 4 0 有解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_答案(， 8 解析設(shè) t 3x，則原命題等價(jià)于關(guān)于t 的方程 t2(4 a)t40 有正解，分離變量a，得 a4t4t，t0，t4t 4，a8，即實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(， 8高考題型精練1若函數(shù)f(x)x3 tx23x 在區(qū)間 1,4上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t 的取值范圍是 () a(，518 b(， 3 c518， ) d3，

13、 ) 答案c 解析f(x) 3x22tx3，由于 f(x)在區(qū)間 1,4上單調(diào)遞減，則有 f(x)0 在1,4上恒成立，即 3x22tx3 0，即 t32(x1x)在1,4上恒成立，因?yàn)?y32(x1x)在1,4上單調(diào)遞增，所以 t32(414)518，故選 c. 2已知函數(shù)f(x) |log12x|，若 mn，有 f(m)f(n)，則 m3n 的取值范圍是 () 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載a23， ) b (2 3， ) c4， ) d(4， ) 答案d 解析f(x) |log12x|，若 mn，有 f(m)f(n)，log12m log12n，mn1，0m1，m3nm3m在 m(0,1)上單調(diào)遞減

14、，當(dāng) m1 時(shí)， m3n4，m3n4. 3過(guò)拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn) f，作一直線交拋物線于p，q 兩點(diǎn)，若線段pf 與 fq 的長(zhǎng)度分別為p，q，則1p1q等于 () a2ab.12ac4ad.4a答案c 解析拋物線 yax2(a0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21ay(a0)，焦點(diǎn) f(0，14a)，取過(guò)焦點(diǎn) f 的直線垂直于y 軸，則|pf|qf|12a，所以1p1q4a. 4已知函數(shù)f(x)(e2x1 1)(ax3a1)，若存在x(0， )，使得不等式f(x)1，則 e2x11e1，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載要使 f(x)1，則 ax 3a11e1，可轉(zhuǎn)化為：存在x(0， )使得 ae2e11x3成立設(shè)

15、 g(x)e2e11x3，則 a0，則 x33，從而1x313，所以 g(x)e23 e1，即 a0，求實(shí)數(shù)p 的取值范圍是_答案(3，32) 解析如果在 1,1內(nèi)沒(méi)有值滿足f(c)0，則f 1 0，f 1 0?p12或p1，p3或p32? p3 或 p32，取補(bǔ)集為 3p32，即為滿足條件的p 的取值范圍故實(shí)數(shù) p 的取值范圍為 (3，32)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載7 對(duì)任意的 |m|2， 函數(shù) f(x)mx22x1m 恒為負(fù)，則 x 的取值范圍是_答案(7 12，312) 解析對(duì)任意的 |m|2，有 mx22x1m0 恒成立，即|m|2 時(shí)， (x21)m2x 10 恒成立設(shè) g(m)(x21)

16、m2x 1，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)0 恒成立 (m 2,2)所以g 2 0，g 2 0，2x2 2x10，解得712x0，|a|1 恒成立的x 的取值范圍解將原不等式整理為形式上是關(guān)于a 的不等式 (x3)ax26x90. 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載令 f(a) (x 3)ax26x 9. 因?yàn)?f(a)0 在|a|1 時(shí)恒成立，所以(1)若 x3，則 f(a) 0，不符合題意，應(yīng)舍去(2)若 x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f 1 0，f 1 0，即x27x120，x25x60，解得 x4. 即 x 的取值范圍為 (，2)(4， )10已知f(x)是定義在 1,1上的奇函數(shù)，且f(1)1，若 m，n1,1， mn0 時(shí)，有f m f nmn0. (1)證明 f(x)在1,1上是增函數(shù)；(2)解不等式f(x21)f(33x)0；(3)若 f(x)t22at1 對(duì)? x 1,1，a1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍解(1)任取 1x1x21，則 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2) f x1 f x2x1x2(