實數(shù)所有知識點歸納和專項練習

1、學習必備精品知識點第六章 實數(shù)回顧知識：1.判斷題(1)0.01是 0.1 的平方根 .( ) (2)52的平方根為 5.（）(3)0 和負數(shù)沒有平方根 .（）(4)因為161的平方根是41,所以161=41.（）（5）正數(shù)的平方根有兩個，它們是互為相反數(shù). （）2.選擇題（1）下列各數(shù)中沒有平方根的數(shù)是（）a.(2)3 b.33 c.a0 d.（a2+1）(2)2a等于（）a.a b.a c.a d.以上答案都不對（3）如果 a(a0)的平方根是 m，那么（）a.a2=m b.a=m2 c.a=m d.a=m(4)若正方形的邊長是a,面積為 s，那么（）a.s的平方根是 a b.a 是 s的

2、算術平方根c.a=sd.s=a學習必備精品知識點3.填空題（1）若 9x249=0,則 x=_. (2)若12x有意義，則 x范圍是_. (3)已知 x4+yx2=0,那么 x=_,y=_. (4)如果 a0,那么2a=_,(a)2=_. 6.3 實數(shù)一.無理數(shù) 1. 無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)說明： 有理數(shù)是指有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)包括：（1）開方開不盡的數(shù)，如5； （2）有特定意義的數(shù)，如，及含的數(shù)； （3）有一定結(jié)構(gòu)的無限小數(shù)，如， 0.080080008； （4）無限不循環(huán)小數(shù)一個有理數(shù)a 與一個無理數(shù)b 進行四則運算時， ab，a-b，都是無理數(shù)，當a0 時，ab

3、，abba,都是無理數(shù)，當a0 時，ab，ba都是有理數(shù)。2. 無理數(shù)的特征（1）無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限（2）無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式3. 小數(shù)的分類4. 確定)0(2aax中的正數(shù) x 的近似值的方法（1）確定正數(shù) x 的整數(shù)部分。學習必備精品知識點根據(jù)平方的定義，把x 夾在兩個連續(xù)的正整數(shù)之間，確定其整數(shù)部分，例如：求52x中的正數(shù) x 的整數(shù)部分。因為22352，即22232x，所以32x，因此小數(shù)部分為 2。（2）確定 x 的小數(shù)部分十分位上的數(shù)字。將這兩個整數(shù)平方和的平均數(shù)與a 比較，預測十分位上數(shù)字的取值范圍，如兩個整數(shù) 2 和 3 的平方和的平均數(shù)為55 .

4、623222所以 x 的十分位上的數(shù)字一定比3小，不妨設 x2.2。設誤差為 k（k 必為一個純小數(shù)，且k 可能為負數(shù)），則 x2.2k。所以（ 2.2k）25，所以 4.844.4k k25，由于 k 是小數(shù)，所以k2很小，把它舍去，所以 4.844.4k5，所以 k0.036，所以 x2.2k2.20.0362.236 注意： 實際估算中，整數(shù)部分的數(shù)字容易估計，十分位上的數(shù)字可以采用試驗的方法進行估計，即2222.14.41,2.24.84,2.35.29,所以4.8455.29。所以2223.22.2x所以3.22 .2x，所以十分位上的數(shù)字為2。二. 平方根1. 算術平方根（1）算術

5、平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x 的平方等于a，即ax2，那么這個正數(shù) x 就叫做 a的算術平方根，特別地，的算術平方根是0。（2）算術平方根的表示方法：非負數(shù)a 的算術平方根記作“a”或“2a” ，讀作“根號 a” ，其中符號“”讀作“二次根號”，a 叫做被開方數(shù)， 2 叫做根指數(shù)，通常省略不寫。例如： 4216，16的算術平方根是 4，即416。（3）算術平方根的性質(zhì)：正數(shù)a 的算術平方根為a，0 的算術平方根是0，學習必備精品知識點即00， （3）負數(shù)沒有算術平方根。（4）算術平方根a具有雙重非負數(shù)：被開方數(shù)是非負數(shù)，即a0，算術平方根a本身是非負數(shù)，即a0。（5）理解算術平方根要注

6、意的三點：00aaa中存在兩個非負概念，即，算術平方根與平方根的相同點是它們的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)，零的平方根與算術平方根都是零。不同點是：任何正實數(shù)的平方根都有兩個，這兩個平方根互為相反數(shù)，但是任何正實數(shù)的算術平方根只有一個，是正實數(shù)平方根中的正值。當二次方根被開方數(shù)是含有字母的代數(shù)式時，它是否有意義，則需看被開方數(shù)是否非負。2. 平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一個數(shù)x 的平方等于a，即ax2，那么這個數(shù) x 就叫做 a的平方根（也叫做二次根式） 。（2）平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)a 有兩個平方根，一個是a 的算術平方根“a” ，另一個是“a” ，它們互為相反數(shù)，合起來記作“a” ，讀

7、作“正，負根號 a” ，例如： 5的平方根是5；的平方根是；負數(shù)沒有平方根。3. 開平方求一個數(shù) a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開平方。如：因為25)5(2，所以525說明： 由于開平方與平方互為逆運算，因此我們可以利用平方運算來求一個數(shù)的平方根或算術平方根，也常用平方運算檢驗所求得的平方根是否正確，注意被開方數(shù)是非負數(shù)。4. 平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系學習必備精品知識點（1）區(qū)別： 定義不同；個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，而一個正數(shù)的算術平方根只有一個；表示方法不同：正數(shù)a 的平方根表示為a，正數(shù) a 的算術平方根表示為a；取值范圍不同：正數(shù)的算術平方根一定

8、是正數(shù)，正數(shù)的平方根是一正、一負。（2）聯(lián)系： 具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中的正的那個；存在條件相同：平方根和算術平方根都只有非負數(shù)才有；0 的平方根與算術平方根都是0。5. 兩個重要的性質(zhì)（1）aa2，即當0a時，aa2，當0a時，aa2（2）)0()(2aaa6、理解平方根要把握以下三點：（ ）由中可知是一個非負數(shù)，因此在實數(shù)范圍內(nèi)，只有正數(shù)和102axa零才有平方根，負數(shù)沒有平方根。（2）非零的兩個數(shù)互為相反數(shù)時，它們的平方是同一個正數(shù)，因此一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零。（3）平方與開平方互為逆運算，因此，可以用平方運算來求一個數(shù)的平

9、方根，也可以用平方運算來檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根。三. 立方根1、立方根的概念（1）. 一般的，如果一個數(shù)x 的立方等于 a，即ax3，那么這個數(shù)就叫做a的立學習必備精品知識點方根（也叫三次方根） 。（2）. 立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0 的立方根是 0。（3.） 立方根的表示方法：每個數(shù)都只有一個立方根，用符號“3a”表示，讀作“三次根號 a” ，其中 a是被開方數(shù)， 3是根指數(shù)，要注意這里的根指數(shù)不能省略。（4）. 兩個互為相反數(shù)的立方根之間的關系：根據(jù)立方根的定義可知，若3ax，則3ax，因為33aa，即33aa，也就是說，求一個負數(shù)的立方根時，只要先

10、求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可，即三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。2、開立方求一個數(shù) a的立方根的運算叫做開立方。開立方與立方互為逆運算。例如把64 開立方，就是要求64 的立方根，那么什么數(shù)的立方等于64呢，因為6443，所以 64的立方根是 4，即4643。3、 立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1） 區(qū)別： （1）用根號表示平方根時，根指數(shù)是2 可以省略，而用根號表示立方根時，根指數(shù)3 不能省略。（2）平方根只有非負數(shù)才有，而立方根任何數(shù)都有，且每個數(shù)都只有一個立方根，如8沒有平方根，但有立方根2。 （3）正數(shù)的平方根有兩個，而正數(shù)的立方根只有一個，如2的平方根是2，而

11、立方根只有32。（2）. 聯(lián)系： （1）都與相應的乘方運算互為逆運算。 （2）都可以歸結(jié)為非負數(shù)的非負方根來研究，平方根主要通過算術平方根來研究，而負數(shù)的立方根也可轉(zhuǎn)化為正數(shù)的立方根來研究，即33aa。 （3）0 的立方根和平方根都是0。學習必備精品知識點4. 立方根中小數(shù)點的移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點每移動三位，立方根的小數(shù)點就向相同方向移動一位。如：11133133a，則1.1331.13。5. 兩個重要的性質(zhì)（1）33aa，如3272733（2）aa)a(3333，如88)8(3333四. 確定無理數(shù)近似值的方法（估算法）1. 當被開方數(shù)在 1至 1000以內(nèi)，可用乘方與開方為互逆運算來確

12、定無理數(shù)的整數(shù)部分，然后根據(jù)所要求的誤差大小確定小數(shù)部分。2. 當被開方數(shù)是正的純小數(shù)或比1000 大時，利用方根與被開方數(shù)的小數(shù)點之間的規(guī)律，移動小數(shù)點的位置，將其轉(zhuǎn)化到被開方數(shù)1至 1000以內(nèi)進行估算，即平方根中的被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）每移動2n 位，其結(jié)果的小數(shù)點向右（或向左）移動 n 位，立方根中的被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）移動3n 位，其結(jié)果的小數(shù)點向右（或向左）移動n 位。五. 無理數(shù)大小比較的常見方法1. 估算法：例 如 ：比 較2310與21的 大小 ， 因 為4103， 所 以13100， 所以212310。2. 求差法若0ba，則ba，若0ba，則ba。學習必

13、備精品知識點3. 平方法把含有根號的兩個無理數(shù)同時開方，根據(jù)平方后的大小進行比較，例如：62和33的大小，因為24)62(2，27)33(2，所以33624. 移動因式法當0a，0b時，若ba，則ba，因此可以把根號外的因式移到根號內(nèi)。六、實數(shù)1：實數(shù)（1）實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。（2）實數(shù)的分類：按實數(shù)的性質(zhì)符號分類：實數(shù)可分為正實數(shù)、零、負實數(shù)。按定義分類：實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)。 (3)無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：（a）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，而有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。（b）一切有理數(shù)都可以表示成分數(shù)。無理數(shù)不可以表示成分數(shù)。聯(lián)系：（a）無理數(shù)和有理數(shù)都是實

14、數(shù)。（b）無理數(shù)與有理數(shù)在運算中可以互相轉(zhuǎn)化。學習必備精品知識點2：實數(shù)的有關概念和性質(zhì)（1）有關概念實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義是相同的，即有理數(shù)中的概念在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用。相反數(shù)： a與a 表示任意一對相反數(shù)，如5與5互為相反數(shù)。倒數(shù)：如果a 表示一個非零數(shù)，那么a 與a1互為倒數(shù)（ a0） ，如7與17互為倒數(shù)。（2）有關性質(zhì)與 b 互為相反數(shù)a+b=0 與 b 互為倒數(shù)ab=1 0a互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即aa正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，零沒有倒數(shù)3：實數(shù)和數(shù)軸上的點的一一對應關系數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)來表示；反過來，

15、每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上找到表示它的點。4：實數(shù)大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用。在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。學習必備精品知識點正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小。可根據(jù)有理數(shù)大小的比較法則和不等式的性質(zhì)等方法比較實數(shù)的大小。對于二次根式的大小的比較，可根據(jù)前面老師的講座中所介紹的方法如：作差法、作商法、平方法、倒數(shù)法等進行比較。5：實數(shù)的運算法則和運算律有理數(shù)的運算法則和運算律同樣適用于實數(shù)，包括運算順序。實數(shù)有加、減、乘、除、乘方、開方等運算，混合運算的順序是先乘方、開方，再乘除，最后加減，同級運算按照從左到右的順序進行

16、，有括號要先算括號里的。6：無理數(shù)的乘法、除法法則及計算（1）)0b,0a(abba，)0b,0a(baab（2）)0b,0a(baba，)0b, 0a(baba（3）最簡無理數(shù)必須同時滿足下列條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)；分母中不含根號。注意：無理數(shù)的計算結(jié)果必須是最簡無理數(shù)，如3212，33317：實數(shù)中的非負數(shù)的四種形式及性質(zhì)（1）形式：0a；0a2；)0a(0a；a中，0a。（2）性質(zhì)：非負數(shù)有最小值零；有限個非負數(shù)之和仍然是非負數(shù)；若學習必備精品知識點幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0。8：實數(shù)中的無理數(shù)的常見類型（1）所有開不盡的方根，如2。（

17、2）圓周率 及含有 的數(shù)。如 31。（3）看似循環(huán)，但實質(zhì)上不循環(huán)的無限小數(shù)。如：0.12345678910111213 ，0.1010010001 。注意：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如4是有理數(shù)；不帶根號的數(shù)也可能是無理數(shù)，如 等。9：分母有理化將分母中的二次根式化去，叫做分母有理化。兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘。如果它們的積不含有二次根式。我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如a與a，63與63互為有理化因式，分母有理化時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，例如36333232，又如363)63)(63(63631，一般的，ybxa與ybxa互為有理化因式，ba與ba互為有理化因

18、式，ba與ba互為有理化因式。注意： （1）ba與ba不是互為有理化因式。（ 2）有理化因式不唯一，如ba與ba互為有理化因式，ba與ab也互為有理化因式。七. 解題方法指導：（一）關于平方根與算術平方根常用的解題方法有：學習必備精品知識點 1. 配方法：在含有字母的代數(shù)式或比較復雜的數(shù)字式進行開平方時，適當添項、拆項后，使原來多項式中一部分配成完全平方式，使問題得以簡化。 2. 特殊值法：對某些數(shù)字問題，如果先對其特殊情況進行分析，往往可以發(fā)現(xiàn)解決的方法，在關于平方根的題目中尤其是對含有未知數(shù)的代數(shù)式，根據(jù)題設條件取一些特殊值，從而求解。常取的特殊值有0、1 等值。 3. 運用二次方根被開方

19、數(shù)與算術平方根的非負性（ ）若且，則可得出1000aaa（2）若有限個非負數(shù)的和為零，則這些非負數(shù)均為零。（二）關于立方根常用的解題方法 1. 利用立方根本身的性質(zhì)求解。 2. 配方化簡：將要開立方的代數(shù)式配成立方形式，便可化簡求解。 3. 特殊值法：對含有未知數(shù)的代數(shù)式開立方的題目，有時可用到取特殊值的方法，如將未知數(shù)取 0 或 1等等來進行分析、比較從而求解。 4. 利用開立方運算與立方運算互為逆運算的關系進行解題。（三）關于實數(shù)常用的解題方法 1. 利用非負數(shù)的概念及性質(zhì)來解題：（1）幾類常見的非負數(shù)有：一個實數(shù)的偶次冪、實數(shù)的絕對值、算術根、數(shù)軸上原點和原點右邊的點所表示的數(shù)。（2）非

20、負數(shù)的性質(zhì)：（a）有限個非負數(shù)的和與積仍是非負數(shù)。（b）若有限個非負數(shù)的和為零，則每一個加數(shù)都必須是零。學習必備精品知識點（c）最小的非負數(shù)是零。（d）沒有最大的非負數(shù)。（e）非負數(shù)大于一切負數(shù)。 2. 對一個數(shù)是有理數(shù)的證明：常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商形式。 3. 要證一個數(shù)是無理數(shù)常用反證法，即假設這個數(shù)是有理數(shù)，再推出矛盾。 4. 利用逆向思維的方式：從要求或要證的結(jié)果入手，溯源求解，其中可采用各種轉(zhuǎn)換方法，如等量代換、配方法、參數(shù)法等。八、知識拓展 1. n 次方根的概念：如果（ 是大于的整數(shù)），那么叫做 的 次方根。xanxann1當 為奇數(shù)時，叫做 的奇次方根；n

21、xa當 為偶數(shù)時，叫做 的偶次方根。nxa平方根與立方根是最基本的偶次方根與奇次方根。 2. n 次方根的性質(zhì)：（1）正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)。（2）負數(shù)沒有偶次方根。（3）正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)。（4）負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)。（5）零的 n 次方根是零。實數(shù)專題訓練一、填空題：、 2 的倒數(shù)是。、4 的平方根是。學習必備精品知識點、 27 的立方根是。、2 的絕對值是。、2004年我國外匯儲備3275.34億美元，用科學記數(shù)法表示為億美元。、比較大?。?。、近似數(shù) 0.020精確到位，它有個有效數(shù)字。、若 n 為自然數(shù)，那么 (1)2n(1)2n1。、若實數(shù) a、b 滿足 |a

22、2|( b)20，則 ab。10、在數(shù)軸上表示 a 的點到原點的距離為 3，則 a3。11、已知一個矩形的長為3cm，寬為 2cm，試估算它的對角線長為。 （結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）12、羅馬數(shù)字共有7 個：i（表示 1） ，v（表示 5） ，x（表示 10） ，l（表示 50） ，c（表示 100） ，d（表示 500） ，m（表示 1000） ，這些數(shù)字不論位置怎樣變化，所表示的數(shù)目都是不變的，其計數(shù)方法是用“累積符號”和“前減后加”的原則來計數(shù)的：如 ix1019，vi 516，cd500100400，則 xl ， xi。二、選擇題：（每題 4 分，共 24 分）、下列各數(shù)中是負數(shù)的是（）a、(3) b、(3)2c、(2)3d、|2| 、在 ，3.14，sin30，0 各數(shù)中，無理數(shù)有（）a、2 個b、3 個c、4 個d、5 個、絕對值大于 1 小于 4 的整數(shù)的和是（）a、0 b、5 c、5 d、10 、下列命題中正確的個數(shù)有（）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù) aaa121的平方根是 11 在實數(shù)范圍內(nèi)，非負數(shù)一定是正數(shù)兩個無理數(shù)之和