衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)(理)萬卷檢測(cè)：立體幾何與空間向量(含答案)

1、立體幾何與空間向量本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分?？荚嚂r(shí)間120分鐘，滿分 150 分。 考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息， 然后在答題卡上作答 ,在試題卷上作答無效。第 i 卷一、選擇題1.將正方體模型放置在你的水平細(xì)視線的左上角，用斜二測(cè)畫法繪制成直觀圖，則正確的是 ( ) 2.向高為 h 水瓶中注水，注滿為止 .如果注水體積 v 與水深 h的函數(shù)關(guān)系如圖， 那么水瓶的形狀是圖中的 ( ) 3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體的體積是( ) a.253b.343c.1633d.161234.若正方體的棱長(zhǎng)為2， 則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為( )

2、a.26b.3 c.23 d.235.一球內(nèi)切于一圓臺(tái)，若此圓臺(tái)的上.下底面半徑分別是,a b，則此圓臺(tái)的體積是（）a.22()aabbab b.2322()aabbabc.322()aabbabd.1322()aabbab6.已知平面截球面的圓m。過圓心m且與成60二面角的平面截該球面得圓n.若該球的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為 ( ). a.7b.9c.11d.137. 已 知nm,為 異 面 直 線 ，m平 面，n平 面。 直 線l滿 足,lm ln ll，則（a）/，且/l（b），且 l（c）與相交，且交線垂直于l（d）與相交，且交線平行于l8.平面的斜線 l 與平面所成的

3、角是 45,則 l 與平面內(nèi)所有不經(jīng)過斜足的直線所成的角中 ,最大的角是 ( ) abcd.45.60.90.1359.已知四面體 abcd 中，ab.ac.ad 兩兩互相垂直，給出下列兩個(gè)命題：ab cdac bdad bc; 2222|abacadabacad. a. 真，真b.真，假c. 假，假d.假，真10.已知在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。在空間中可以類比得出以下一組命題：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線平行在空間中，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行在空間中，垂直于同一平面的兩條直線平行在空間中，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行其中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）a.1 b.2 c.3

4、 d. 4 11.在正四面體a-bcd 中,棱長(zhǎng)為 4,m 是 bc 的中點(diǎn) ,p 在線段 am 上運(yùn)動(dòng) (p 不與 a.m 重合),過點(diǎn) p 作直線 l 平面 abc, l 與平面 bcd 交于點(diǎn) q,給出下列命題: bc平面 amd; q 點(diǎn)一定在直線 dm 上;vc-amd=42其中正確的是 ( ) a. b.c. d. 第卷二、填空題12.某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑為1 的四分之一圓面如圖則該幾何體的表面積為13.一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為23它的三視圖的俯視圖如圖左視圖是一個(gè)矩形，則矩形的面積是14.，是兩個(gè)不同的平面， m,n 是平面及之外的兩條不同直線， 給出四個(gè)

5、論斷：nmn m，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_15.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體1111abcda b c d容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊bc 固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：水的部分始終呈棱柱狀； 水面四邊形 efgh 的面積不改變；棱11a d始終與水面 efgh 平行；當(dāng)1eaa時(shí)，aebf 是定值. 其中正確說法是. 三、解答題16. 如 圖 ， 直 棱 柱111abca b c中 ，,d e 分 別 是1,ab bb的 中 點(diǎn) ，122aaaccbab. （）證明：1/ /bc平面1acd；（）求二面角1

6、dace的正弦值 . abcd1a1c1be17.如 圖 ， 在 四 棱 錐pab c d中 ， 底 面abcd是 正 方 形 ， 側(cè) 棱pd底 面,abcd pddc e是pc的中點(diǎn)，作efpb交pb于點(diǎn)f. b a c d e f p g （）證明/ /pa平面edb；（）證明pb平面efd；（）求二面角cpbd的大小 . 18.（本小題滿分 12 分）在長(zhǎng)方體1111abcdabc d中，111113,4abbcbb，點(diǎn)1b在平面11abc上的射影為h. 1a1babcdh1c1d（）求證：h為11abc的垂心；（ ） 求 證 ：11111111112(,abcahcabcabcahca

7、bcssssss其中分 別 表 示111111,)abcahcabc的面積；（）求二面角111bacb的正切值 . 立體幾何與空間向量單項(xiàng)選擇題1.a【解析】本題考查對(duì)幾何體的直觀圖的認(rèn)識(shí).由幾何體的直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，知a 正確 . 2.b【解析】本題考查對(duì)幾何體的體積公式的理解.如果水瓶形狀的圓柱，2vr h，當(dāng)?shù)酌姘霃?r 不變時(shí)， v 是 h 的正比例函數(shù)，其圖像應(yīng)該是過原點(diǎn)的直線，與已知圖像不符.由圖知函數(shù)圖像的切線斜率大于0，且隨著高度h 的增加，切線斜率逐漸變小，可以看出，隨著高度h 的增加 v 也增加，但隨著h 的變大，體積v 在單位高度的增加是變小，圖像上升趨勢(shì)

8、變緩，所以瓶子平行于底的截面的半徑由底到頂逐漸變小. 3.d【解析】依題意知，該幾何體是由上下兩部分組成的，上部分是一個(gè)半徑為2 的半球，下部分是一個(gè)正四棱柱，其中該正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2.側(cè)棱長(zhǎng)為3，因此該幾何體的體積是32(162 )231231423，選 d. 4.c 5.b 6.d【解析】設(shè)圓n 的半徑為r，球心為 o ，平面ab ，其中線段ab是圓m的一條直徑， 連接 om,on,mn,na,nb過點(diǎn) m 在平面內(nèi)作ab的垂線交圓m 于點(diǎn) c.由題意知ab是圓 n 的一條弦，則有nanb 又m為ab的中點(diǎn)，于是有,60nmabnmc又,abom abon 因此ab平面 omn ， 又

9、ab平面 cmn 因此平面 omn 平面與 cmn 重合，即點(diǎn)o,c,m,n四點(diǎn)共面，在四邊形onc 中，=90609030onmomnomcnmc,22,1422 332omonom. 因此，球心 o 到截面的距離3on，截面圓n 的半徑24313r，截面圓n 的面積等于213r，選 d 7.d 8.c 解析 :依題意得 ,直線l與平面內(nèi)所有不經(jīng)過斜足的直線都構(gòu)成異面直線,而兩條異面直線所成的角的最大值是90 ,因此選 c. 9.a 解析：由ab ac.ab ad,得 ab 平面acd ，故ab cd,即有=0ab cd，同理，=0ac bdad bc,于是，命題為真命題. 又以ab.ac.

10、ad 為同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則abacad為以 a 為起點(diǎn)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量，從而abacad為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，而222|abacad亦表示體對(duì)角線的長(zhǎng)，故命題亦真. 10.b 11.a 解析 :連接 md, 對(duì)于 ,由于該幾何體為正四面體,點(diǎn) m 為 bc 邊上的中點(diǎn) ,所以 bcam,bcdm, 從而 bc平面amd, 故正確 ;對(duì)于 ,由 bc平面amd易得平面amd 平面abc, 又直線l平面 abc, 所以直線l一定在平面amd 內(nèi),l與 dm 不平行 ,故正確 ;對(duì)于 , 取ad的 中 點(diǎn)n, 連 接mn, 易 知mn ad, 在 等 腰 三

11、角 形amd中,mn=22mdnd=22(2 3)2=2 2, 13camdamdvs mc=1312ad mn 2=8 23,故錯(cuò) ,故選 a. 填空題12.54【解析】依題意知，該幾何體是半徑為1 的球的八分之一，因此該幾何體的表面積為22(41 )3(1 )115844. 13.23【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，利用體積為23，很容易求出這個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2，所以底面正三角形的高為3故所求矩形的面積為2 3. 14. 或15.解答題16.連接1ac交1ac于f,則f為1ac中點(diǎn) . 又 d 是 ab 中點(diǎn)，連接df，則1/ /.bcdf因?yàn)?11,dfacd bcac

12、d趟平面平面，所以1/ /.bcdf（1）由 ac=cb=22ab 得， acbc 。設(shè) c 點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，cauu r的方向?yàn)?x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-xyz.設(shè) ca=2 ， 則 d(1， 1， 0),e(0，edb1c1acba12，1), 1a(2，0， 2). cduuu r=(1，1，0), ceuur=(0，2，1), 1cauuu r=(2，0，2). 設(shè) n=（x,y,z）是平面1acd的法向量，則1.0.0ncdnca?=?=? ?uu u ruuu r即11120220 xyxz+=?+=? ?可取 n=(1,-1,-1). ，同 理 設(shè)m是 平 面1

13、a c e的 法 向 量 ， 則1.0.0mcemca?=?=? ?uuruuu r可 取m=(2,1,-2). 從 而.3cos,|3nmn mnm=，故6sin,3n m =即二面角d-1ac-e 的正弦值為6317.解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，d為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)dca . （）連結(jié),ac 交bd于 g ，連結(jié) eg .依題意得( , 0, 0),(0, 0,),(0,)22aaa apae. 底面 abcd 是正方形，g 是此正方形的中心，故點(diǎn)g 的坐標(biāo)為(, 0)22aa，b a c d e f p g x y z 且( , 0,),(, 0,)22aapaaaeg. 2paeg ，

14、這表明/paeg .而 eg平面 edb 且 pa平面edb，/pa平面edb. （）依題意得( , 0)b aa，( ,)pbaaa. 又(0,)22aade，故220022aapb de. pbde. 由已知efpb，且efdee，所以pb平面efd. （）設(shè)點(diǎn)f的坐標(biāo)為000(,)xyz， pfpb ，則000(,)( ,)xyzaaaa ，從而000,(1)xayaza ，所以000(,)22aafexyz11(,() , () )22aaa. 由條件efpb知，0fe pb，即22211()()022aaa，解得：13，點(diǎn)f的坐標(biāo)為2(,)333aaa，且(,)366aaafe，2(

15、,)333aaafd. 22220333aaapb fd，即pbfd，故efd是二面角 cpbd 的平面角 . 222291896aaaafe fd，2226|936366aaafea，22246|9993aaafda，216cos2|6663afe fdefdfefdaa，得3efd. 所以二面角cpbd 的大小為3. 18. （）證明：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：11111111111,c ba b c bbb a bbbb1a1babcdh1c1d1111111,b ca b ba ba b b?面又面111111111=b ca ba bb hb cb hbi，又，111111abbc hc hbc h面，又面，1111a bc ha hbc，同理，11ha bcv是垂心（2） （）延長(zhǎng)bh交11ac于m，連接1b m，由（）知：11,bmach且經(jīng)過又1111,acb h b hbmh