(新教材)【人教A版】20版必修一考點(diǎn)突破_素養(yǎng)提升第五課(數(shù)學(xué))

1、溫馨提示：此套題為 WordWord 版，請(qǐng)按住 Ctrl,Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比 例，答案解析附后。關(guān)閉 WordWord 文檔返回原板塊?？键c(diǎn)突破素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度 1 任意角、弧度制與三角函數(shù)的定義【典例 1】(1)已知a(n,2n)且 5a與a終邊相同，則a=()7S3SA. 一nB.nC.nD.n6423岸2a是第四象限角，P( ,X)為其終邊上一點(diǎn)，且 Sina= X,則 COSa的值為( )A.B.C.D.-4444【解析】(1)選 C.因?yàn)?5a與a終邊相同，所以 5a=a+k 2n,k Z,71所以 4a=k 2n,k 乙a=k ,k Z.T2選A.

2、由定義可得 sina=-=x,x0),則 sina=,rcosa=.當(dāng)已知a的終邊上一點(diǎn)求a的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便.r【加練固】1.在-360 360的范圍內(nèi)，與-510 終邊相同的角是()A.330 B.210 C.-150 D.30 【解析】 選 B C.因?yàn)?510 -3602+210,-510 =-360 150 因此與-510 終邊相同的角是 210 ,-150 .2.已知一扇形的圓心角是a,所在圓的半徑是 R.(1) 若a=60 ,R=10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積.(2) 若扇形的周長(zhǎng)是 30,當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【解析】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為 I,

3、弓形面積為 S弓,因?yàn)閍=60 =_,R=10(cm),10n所以 l= aR 二二(cm).X10-2cx10sinx10 xcos =50(cm2)6 6 2 /因?yàn)?l+2R=30,所以 l=30-2R,1115222515從而 S=-lR=-(30-2R) R二-R2+15R二-. 一所以當(dāng)半徑 R= cm 時(shí),15225I1=30-2x=15(cm),扇形面積的最大值是cm2,這時(shí)a= . =2(rad).所以當(dāng)扇15225形的圓心角為 2 rad,半徑為 cm 時(shí)，面積最大，為 cm2.24角度 2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式2 書(shū)耳n ra=， WaWn貝LItana=52

4、(2)已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn) O 重合,始邊與 X 軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P -,貝ysin(a+n)=2艇/a=，且 Sin2a+COS2a=1 得 COS答案:-2【典例 2】(1)已知 sin【解析】(1)由 sina=，因?yàn)椋籛aWn,可得ncosa=-，所以 tansniffa=-2.cosa由角a的終邊過(guò)點(diǎn) P 一 .，得 sin所以 sin(a+兀)二【類題通】1.已知某角的弦函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，先利用平方關(guān)系求另一弦函數(shù)值再求切函數(shù)值，需要注意的是利用平方關(guān)系時(shí)，若沒(méi)有角度的限制，要注意分類 討論.2.已知角終邊上的點(diǎn)求角的三角函數(shù)值時(shí)，先根據(jù)條件求出定點(diǎn)到原點(diǎn)的距

5、離，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值；利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)時(shí)，關(guān)鍵注意 兩點(diǎn)：函數(shù)名和函數(shù)的符號(hào).【加練固】1.化簡(jiǎn)._得（ ）A.sin 2+cos 2B.cos 2-s in 2D. 士 cos 2-sin 2【解析】選 cl + 2s 沅（兀-2 廠 cos（兀-2）二_ 1 +二. -,7T因?yàn)?_2，所以原式二sin 2-cos 2.2.-已知 =-1,求下列各式的值：t.ana-1sha-3cosa(1).(2)sina+sinacosa+2.saa+eositana1【解析】由 =-1,得 tana=.C.s in 2-cos 2sina-3cosff ta?i(r35(1)

6、 -=二=-.iantr+l 7+1 3(2) sin2a+sinacosa+2=sin2a+sinacosa+2(cos2a+sin2a)3si ?;2a-sin(xcosa+2cQS2a 3tan2atana+2tan2a+l素養(yǎng)二邏輯推理角度 1 任意角、弧度制與三角函數(shù)的定義【典例 3】(1)如圖， ABC 是正三角形，曲線 CDEF 叫做正三角形的漸開(kāi)線，其中弧弧、弧 1的圓心依次是 A,B,C,如果 AB=1,那么曲線 CDEF 的長(zhǎng)是_,曲線 CDEF 圍成圖形的面積是 _ .n若a0,則點(diǎn) P(tana,COSa)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限2n【解析】（1）因

7、為ZDAC= ZDBE= ZECF=120 二；,2n lit12TT ITC2TT所以弧 二的長(zhǎng)是X1 二一,s扇形 ACD二LX仁，弧的長(zhǎng)是X2 二1皈4irS扇形 BDE= 一x _ X2= _ ,Q2nD.第四象限?。旱拈L(zhǎng)是：X3=2n,S扇形CEF= X2n X3=3n,2714E114花14則曲線 CDEF 的長(zhǎng)是+ +2n=4n；面積為：+ +3n= n.14答案：4n n3it選 B.因?yàn)?a0,所以 tana0,所以點(diǎn) P(tana,cosa位于第二象限.【類題通】1. 涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些 量、求哪些量,然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、

8、扇形面積公式直接求解或列方程組求解.2. 角的三角函數(shù)值的符號(hào)由角的終邊所在位置確定，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定角 的終邊所在的象限，同時(shí)牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，記憶口訣：一全正，二正弦,三正切，四余弦.【加練固】1. 如果點(diǎn) P(sin0 cos0,2cos0)位于第三象限，則角0位于第_ 象限.【解析】因?yàn)辄c(diǎn) P(sin0cos0,2cos0)位于第三象限，所以 sin0cos0(sin8 0,0,2cos00,即一.-所以角0在第二象限.ICOS01 Q答案：二2. 已知。O 的一條弧彳常的長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則從 OA 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OE 所形成的角a的弧度數(shù)是_ .【解析

9、】設(shè)。O 的半徑為 r,其內(nèi)接正三角形為 ABC.如圖所示，r+2aSin7FTcrD 為 AB 邊中點(diǎn),AO=r, /OAD=30所以 J -的弧長(zhǎng) I二AB= ,；r.又因?yàn)?a 是負(fù)角 所以 a二-=-=-=.答案:-, .角度 2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【解析】(1)因?yàn)閺?7,所以原式二(1-cosB)2(1+cosfl)2(i-ros9) (1+CO50)二*【- 一上+_ sin a軸電罰松SH=厲細(xì)獵曲掀AD=r cos 30=r,所以邊長(zhǎng) AB=2AD=lcosSCD50nA,代“).【典例 4】化簡(jiǎn)tan(2 曠 cr) sn?(-2na)cos(6ira)求證：

10、=-ta n a .(2)左邊=Isin8| jinfl |sinB tail(a) si?i (-ff)cos (-&):-)(-tana) (rsina) cosa(1-CGSB)2i(l+cos&)21PK0 H-cosfl 22二-tana=右邊,即原等式成立.【類題通】利用同角三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)(1) 同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此 sin2a+COS2Bsinpcosy(2) 利用平方關(guān)系時(shí)，往往要開(kāi)方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號(hào) 所在象限進(jìn)行分類討論.【加練固】1.求證:a _ r_ =1tan ( lg) sin(rr+)cos(ff+乎)

11、tflllflSIWta n tr+sniff所以原等式成立.ta?rirswra(2)方法一:因?yàn)橛疫?(血71曠曲應(yīng))t心皿曲1住2丄27ta?rrtflirffcosct(tanasina)tanasinattiHZa(l-cos2ff),即要就角tan(2n-a)cos-ajcos(rr-a)(1)丄FtanasinatanasmsL【證明】(1)左邊二tan (a)-sin(鄉(xiāng)+ a) -cos (壬 + 兌)-cos(鄉(xiāng)-a)COS(一億)(-tana)(tana) (rsmcdcosa=- -=1=(-tans) (-cflsff)sinff右邊.taixasina=左邊,(tflntrsi/iffjtandsina tan fl-sin a所以原等式成立.IItaiiasma sma方法二：因?yàn)樽筮叾?，右邊tanirtanacosa 1-costr=_=MI飛辱sina所以左邊二右邊，原等式成立.smtrcosa2.已知 =2.sina-lcos