人教版高中數(shù)學(xué)必修二教學(xué)案-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修二教學(xué)講義年級(jí)：上課次數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：課題直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式復(fù)習(xí)課型預(yù)習(xí)課同步課 復(fù)習(xí)課習(xí)題課授課日期及時(shí)段教學(xué) 內(nèi)容直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、直線的交點(diǎn)求兩直線AIXBiyCiO(ABQ0)與A2XB?yC20(A2B2C20)的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線AXBIVCIoABICI方程聯(lián)立所得方程組的解即可若有工，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線Ax B2 y C2 0A2 B2 C2AiBiCiAiBi重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直A2B2C2A2B2線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐

2、標(biāo)要點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)二、過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共冋屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有X, y以外，還有根據(jù)具體條件取不冋值的變量，稱為參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù)由于參數(shù)取法不冋，從而得到不冋的直 線系.過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線 li： AX Biy Ci 0, A2X B2y C2 0交點(diǎn)的直線方程 為AlX Biy Ci (A2X B?y C2) 0 ,其中 是待定系數(shù).在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到A?x B? y C2 0 ,因此它不能表示直線2 知識(shí)點(diǎn)三、兩點(diǎn)間的

3、距離公式兩點(diǎn)R(Xi, yj, P2(X2, y2)間的距離公式為PP2 J(X2 Xi)2 (V2 Vi)2 要點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握知識(shí)點(diǎn)四、點(diǎn)到直線的距離公式上IAXo Byo C點(diǎn)P(Xo, yo)到直線AX By C 0的距離為d .JA B2要點(diǎn)詮釋：(1) 點(diǎn)P(Xo，yo)到直線AX By C 0的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)P的距離中最小距離；(2) 使用點(diǎn)到直

4、線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；(3) 此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等知識(shí)點(diǎn)五、兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線AX By Ci 0與直線AX By C2 0的距離為要點(diǎn)詮釋：(1) 兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2) 利用兩條平行直線間的距離公式d 1C-C2 1時(shí)，一定先將

5、兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中X，y的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式【典型例題】類型一、判斷兩直線的位置關(guān)系例1.是否存在實(shí)數(shù)a,使三條直線I1 : ax y 1 0， l2 : X ay 1 0， l3: X y a 0能圍成一個(gè)三角形？請(qǐng)說明理由.【解析】要使三條直線能圍成一個(gè)三角形，則它們中任意兩條都不平行，且三條直線不相交于同一點(diǎn).1(1) 當(dāng) I1 /I2 時(shí)，a 一，即 a=± 1.a(2) 當(dāng) I1 /I3 時(shí)，一a= 1 ,即 a=1.1(3) 當(dāng) I2/I3 時(shí)，1 ,即 a=1.ax ay 10（4）當(dāng)l1與l2、l3相交于同一點(diǎn)時(shí)，由得交點(diǎn)（一1一

6、a, 1）,將其代入 ax+y+1=0中，得Xyaoa= 2 或 a=1.故當(dāng)a 1且a- 1且a 2時(shí)，這三條直線能圍成一個(gè)三角形.【總結(jié)升華】本例分類討論時(shí)容易疏忽某種情況，特別是三條直線相交于同一點(diǎn)這種情況更要注意.舉一反三:【變式1】直線5x+4y 2m 仁0與直線2x+3y m=0的交點(diǎn)在第四象限，求 m的取值范圍.【答案】3,2【解析】5x 4y 2m 12x 3y m 0,0,解得2m 37m 27第18頁共13頁2m 30所以 7,解得m 3,2心027類型二、過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程例2 .求經(jīng)過兩直線 2x3y3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線 3x+y 仁0平行的直線

7、方程.【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出所要求的直線方程；也可利用直線系（平行系或過定點(diǎn)系）求直線方程.解法一：設(shè)所求的直線為I ,由方程組2x 3y 3 0 得Xy20S35 .直線I和直線3x+y 仁0平行,7直線I的斜率k= 3.73根據(jù)點(diǎn)斜式有y 3 X55即所求直線方程為15x+5y+16=0 .解法二：直線I過兩直線2x3y 3=0和x+y+2=0的交點(diǎn),設(shè)直線I的方程為2x3y 3+(x+y+2)=0 ,即(+2)x+( 3)y+2 3=0.直線I與直線3x+y 仁0平行,2 323 的/曰 11 ，解得 _3 112從而所求直線方程為15x

8、+5y+16=0 .【總結(jié)升華】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學(xué)符號(hào)語言中一種有用的工具，是一種很有用的解題技巧，應(yīng)注意掌握和應(yīng)用.舉一反三：【變式1】求證：無論 m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m 1)x+(m+3)y (m 11)=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).證法一：對(duì)于方程 (2m 1)x+(m+3)y (m11)=0，令 m=0，得 X 3y11=0 ;令 m=1，得 x+4y+10=0 .x 3y 11 0解方程組y,得兩直線的交點(diǎn)為(2, 3).x 4y 10 0將點(diǎn)(2, 3)代入已知直線方程左邊，得(2m 1)× 2+(m+3) × (3) (m 11

9、)=4m 23m 9 m+1 仁0 .這表明不論 m取什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)(2, 3).證法二：將已知方程以由于m取值的任意性,m 為未知數(shù)，整理為 (2x+y 1)m+( x+3 y+11)=0 .有2x y 10 ,解得Xx 3y 110y所以所給的直線不論m取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)(2, 3).類型三、對(duì)稱問題例3.已知直線丨1：2x+y 4=0,求11關(guān)于直線I : 3x+4y 仁0對(duì)稱的直線12的方程.【答案】2x+11y+16=0【解析】解法一：由2x3xy 4 04y 1 0，得直線l1與l的交點(diǎn)為P( 3, 2),顯然P也在直線I 2上.在直線1上取一點(diǎn)A(2, 0)

10、,又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為y0 04t x0 23B (x0, y0),則3202y0 1 04解得B ,5故由兩點(diǎn)式可求得直線 I 2的方程為2x+11y+16=0 .解法二：設(shè)直線I 2上一動(dòng)點(diǎn)M (x,y)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為M '(x',y'),則y'y4Xx'X3,解得C X'X.y' y .3410y227x 24y 62524x 7y 8257 X 24 v 624 X 7v 8顯然M '(x', y')在11上，故24 O ,即2x+11y+16=0 ,這便是所求的直線252512的方程.【總結(jié)

11、升華】求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線的基本途徑是把它轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題，即在其上取一點(diǎn)(或兩點(diǎn))，求出它們關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式即可求得所求的直線方程.一般地，當(dāng)對(duì)稱軸的斜率為±1時(shí)，求P (xo, yo)的對(duì)稱點(diǎn)Q,只需由對(duì)稱軸方程解出 X,再用yo代替V,即得到對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)，類似地，可得到縱坐標(biāo).舉一反三：【變式1】(1)求點(diǎn)P (o, yo)關(guān)于直線Xy+C=O的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求直線I仁Ax+By+C=O關(guān)于直線l 2: x+y 3=O的對(duì)稱直線I 3的方程.【答案】(1)( yo C, xo+C) ;( 2) Bx+Ay 3A 3B C=O .例4

12、.在直線I : 3x y 仁0上求一點(diǎn)P,使得：(1) P到A (4, 1)和B (0, 4)的距離之差最大;(2) P到A (4, 1)和C ( 3, 4)的距離之和最小.【答案】(1)( 2, 5)( 2)11 26J77【解析】 設(shè)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B: AB /與l的交點(diǎn)P滿足(1);設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Cz, AC /與l的交點(diǎn)P滿足(2)事實(shí)上，對(duì)(1),若P：是l上異于P的點(diǎn)，則P'AP'B | P'A| P'B' | AB'| IPAl| PB'| |PA| |PB | ;對(duì)于(2),若P:是l上異于P的點(diǎn)，則| P

13、9;A| |P'C| |P'A| | P'C | | AC'| | PA | PC | .(1)如圖1所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)B/的坐標(biāo)為(a, b),b 4kBB' kl1 ,即 31 ,a a+3b- 12=0 .又由于BB ：的中點(diǎn)坐標(biāo)為a b 42, 2,且在直線l上,a b 4 3 - 1 0, 即卩 3a b6=0.2 2解得 a=3, b=3 , BZ ( 3, 3).于是直線AB ：的方程為y 1 X 4 ,即2x+y 9=0.3 13 4解由I的直線方程與 AB Z的直線方程組成的方程組得x=2 , y=5 ,即I與AB Z的交點(diǎn)坐標(biāo)

14、為(2, 5),所以P (2, 5)3 24(2)如圖2所示，設(shè)C關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)為C',求出C /的坐標(biāo)為 _ 5 5AC /和I交點(diǎn)坐標(biāo)為P11 26J77故P點(diǎn)坐標(biāo)為11 26J '77 AC /所在直線的方程為 19x+17y 93=0.【總結(jié)升華】由平面幾何知識(shí)(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊)可知，要在直線I上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn) A、B的距離之差最大的問題，若這兩點(diǎn) A、B位于直線I的同側(cè)，則只 需求出直線 AB的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若A、B兩點(diǎn)位于直線I的異側(cè)，則先求A、B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)(如 A )關(guān)于直線I

15、的對(duì)稱點(diǎn)A /,再求直線A / B的方程，再求它們與直線I的交點(diǎn)即 可.對(duì)于在直線I上求一點(diǎn)P,使P到平面上兩點(diǎn) A、B的距離之和最小的問題可用類似方法求解.舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)M (3, 5),在直線I : x2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和0,使厶MPQ周長(zhǎng)最小.5 97【答案】P 5 ,9、QO,72 42【解析】由點(diǎn)M (3,5)及直線I ,可求得點(diǎn)M關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)M1(5,1).同樣容易求得點(diǎn) M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2( 3,5) 據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線 M1M2的方程為X 2y 70 ,解方程組' ，得交點(diǎn)P ,令X 0 ,得到M1 M 2與y軸的交點(diǎn)Q(0,7).

16、x 2y 2 02 42類型四、兩點(diǎn)間的距離例5.已知直線I過點(diǎn)P (3, 1),且被兩平行直線I 1： +y+1=0 , I2： x+y+6=0截得的線段長(zhǎng)為 5,求直 線I的方程.【答案】y=1或x=3【解析】 設(shè)直線I與直線I 1、I 2分別交于點(diǎn) A (X1, y1)B (X2、y2),則x>y1y210 ,兩方程相6 0減，得(X1 x2)+(y 1 y2)=5 ,由已知及兩點(diǎn)間距離公式，得(X1 X2)2+(y1- y2)2=25,由解得x1x25X1或y1 y20y1X20 ,又點(diǎn)A (X1, y1)、B (x2, y2)在直線I上，因此直線I的斜率為y250或不存在，又直

17、線I過點(diǎn)P (3, 1),所以直線I的方程為y=1或x=3 .【總結(jié)升華】 從交點(diǎn)坐標(biāo)入手，采用“設(shè)而不求” “整體代入”或“整體消元”的思想方法優(yōu)化了解題過程.這種解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能.另外，靈活運(yùn)用圖形中的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱，線段中垂線的性質(zhì)等，同樣是很重要的.舉一反三：【變式1】如圖，直線l上有兩點(diǎn)A、B , A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 X1, X2,直線I方程為y=kx+b ,求A、B兩點(diǎn)的距離.【答案】IABl ,(1 k2)(x2 x1)2；1 k2x2 X1 |例6已知函數(shù)f() JX2 2x 2 Jx2 4x 8 ,求f (x)的最小值，并求取得最小值

18、時(shí) X的值.【答案】4 ,.103【解析】將函數(shù)表達(dá)式變形為：f() .(X1)2(01)2X(X 2)2(02)2,可以看作P(X,0)到點(diǎn)A ( 1, 1)與到點(diǎn)B ( 2, 2)的距離之和，即在 X軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小. f(x) X2 2x 2.x2 4x 8.(X 1)2 (0 1)2.'(X 2)2 (0 2)2 .0)到點(diǎn)B (2, 2)的(2, 2)的距離之和的(2, 2)間的距離，其它表示點(diǎn) P (X, 0)到點(diǎn)A (1, 1)的距離加上點(diǎn) P (X, 距離之和，即在 X軸上求一點(diǎn)P (X, 0)與點(diǎn)A (1 , 1)、B 最小值.由下圖可知，可轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)

19、AZ ( 1 , 1)和B距離為函數(shù)f (X)的最小值. f (X)的最小值為 譏1 2)2 ( 1 2)2.4 4再由直線方程的兩點(diǎn)式得A' B的方程為3x y 4=0 .令y=0 ,得X - .當(dāng)X 時(shí)，f (x)的最小值為3310 .【總結(jié)升華】本例中，由“x2 2x 2. (X 1)2 (0 1)2 ”與兩點(diǎn)間距離公式結(jié)構(gòu)相似，因而可得到“ f(x) ”的幾何意義，利用圖形的形象直觀，使問題得到簡(jiǎn)捷的解決.舉一反三：【變式1】試求f (X)XX1)21MX 2)24的最小值.【答案】3&【解析】f (x). (X1)2(0 1)2(X 2)2(0 2)2 ,它表示點(diǎn)P

20、(X, 0)到點(diǎn) A ( 1, 1)的距離加上點(diǎn) P(X,0)到點(diǎn)B (2,2)的距離之和，即在X軸上求一點(diǎn)P(X,0)與點(diǎn) A ( 1, 1 )、B(2,2)的距離之和的最小值可轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)A /( 1 , 1)和B (2, 2)間的距離，其距離為函數(shù)f (X)的最小值. f (X)的最小值為(1 2)2( 12)Z 3 2 類型五、點(diǎn)到直線的距離例7 .已知在厶ABC中，A (1 , 1),B(m,、而,C(4, 2)( 1v m< 4),求 m為何值時(shí)， ABC的面積S最大?【答案】4【解析】以AC為底，則點(diǎn)B到直線A ( 1,1), C (4, 2),AC4 1)2 (2 1)2

21、.10.AC的距離就是又直線AC的方程為X3y+2=0 ,AC邊上的高，求出 S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.點(diǎn)B(m, m)到直線AC的距離d.10再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出這邊上的高，從 S1 ACld11 m Wm2| 1m222. 1< m< 4, 1m*21m3 122 2 0歸J1 S1m 324242當(dāng)m3 0,m9時(shí),S最大.24故當(dāng)m 9 時(shí)，ABC的面積最大24【總結(jié)升華】 利用兩點(diǎn)間距離公式求出三角形的一邊長(zhǎng),而求出三角形的面積，這是在解析幾何中求三角形面積的常規(guī)方法，應(yīng)熟練掌握，但應(yīng)注意的是點(diǎn)到直線的距離公式中帶有絕對(duì)值符號(hào)，因此在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)必須對(duì)它的正負(fù)性

22、進(jìn)行討論.舉一反三：【變式1】I過點(diǎn)M(-2,1),且與點(diǎn)A(-1,2) , B(3,0)的距離相等，求直線I的方程.【答案】y 1 X 2y 0【解析】法一：直線I過AB的中點(diǎn)(1, 1),所以I的方程為y 1 .直線I / AB ,則設(shè)I的方程為y 1 k(x 2)1則k ,所以I的方程為：x 2y 02法二：由題意知直線I的斜率存在，設(shè)I的方程為y 1 k(x 2),則A、B兩點(diǎn)到直線I的距離Ik 1|5k 1|1 k21 k2解得：k 0,k-2所以I的方程為：y 1和X 2y 0【變式2】若點(diǎn)P( a, b)在直線+y+仁O上，求 a2 b2 2a 2b 2的最小值.【答案】3 22

23、類型六、兩平行直線間的距離例&兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A (6, 2)和B ( 3, 1),并且各自繞著 A、B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為 d.(1) 求d的變化范圍；(2) 當(dāng)d取最大值時(shí)，求兩條直線的方程.【答案】(1) (0,3 v10 ;( 2) 3x+y 20=0 和 3x+y+10=0【解析】(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，即兩直線分別為x=6和X= 3,則它們之間的距離為 9.當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，設(shè)這兩條直線方程為I 1: y 2=k(x 6), I 2: y+仁k(x+3),即I 1： kxy 6k+2=0 ,|3k_1_6k_2|>k2 1I 2：

24、kx y+3k 1=0.3|3k1| ,即(81 d2)k2 54k+9 d2=0.k21T k R,且 d 0, d>0, =542 4(81 d2)(9 d2)0,即 0 d 綜合可知，所求的d的變化范圍為(0,3-,10.(2)由右圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線垂直于 AB .Wl 2 ( 1) 1而 kAB _6 ( 3)3所求的直線的斜率為一3.故所求的直線方程分別為y2= 3(x 6)和y+1 = 3(x+3),即3x+y 20=0和3x+y+10=0 .【總結(jié)升華】 在尋求問題的解的過程中，作圖是非常重要的，它既可以給人以直觀的感覺，又是解題的方法的再現(xiàn)，這說明數(shù)形結(jié)合可優(yōu)

25、化思維過程舉一反三：【變式1】已知直線l: 2x y+a=O (a>0),直線I 2： 4x+2y+1=0和直線13: x+y 1=0，且11與l 2的距離是 5 10(1)求a的值;(2)能否找到一點(diǎn) P,使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： P是第一象限的點(diǎn)；P點(diǎn)到I 1的距離是P點(diǎn)1 _到I 2的距離的：P點(diǎn)到I 1的距離與P點(diǎn)到I 2的距離之比是,'2 : 5 若能，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明2理由.(2) P 1,379 181y 20 ,Ia (12)|7、5,22 110【答案】(1) a=3【解析】(1)直線12即2x11與12的距離d解得a 3 (2)能找到點(diǎn)P,使得

26、P點(diǎn)同時(shí)滿足三個(gè)條件.設(shè)點(diǎn)P(o, yo),若P點(diǎn)滿足條件,則P點(diǎn)在I1、I 2平行的直線I :2X y且 c _3|1|C1,即 C 13或 C2 .5 21162Xo yo 13P點(diǎn)滿足條件,0 或 2x0 yo ；由點(diǎn)到直線的距離公式,l2xo yo 3I 2 |xo yo 1|Xo 2yo 40 或 3xo 20由P在第一象限，所以3x020不可能.聯(lián)立方程C13 C2X0 y° c 0 ,解得xo3,y。2xoXo 2yo 4 01 ,應(yīng)舍去.2yo衛(wèi)o6,解之得X0Xo 2yo 4 09，yo3718p（1,37）即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn)勵(lì)學(xué)國(guó)際學(xué)生課后作業(yè)年級(jí)：上課次數(shù)：作業(yè)上交時(shí)間：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：梁春曉作業(yè)內(nèi)容作業(yè)得分作業(yè) 內(nèi) 容【鞏固練習(xí)】1.直線3x （k+2）y+k+5=0與直線kx+（2k 3）y+2=0相交，則實(shí)數(shù) k的值為（）A . k 1 或 k 9 B . k 1 或 k 9 C. k 1 且 k9 D. k 1 且 k 92 .斜率為1的直線與兩直線2x+y 仁0和x+2y 2=0分別交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程（）.A . X y+仁0B . x+y 仁0C. X2y+3=0D . x 2y 3=03 .直線y=2x 4 與 y IX22關(guān)于直線I對(duì)稱，則直線I的方程