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1、第一節(jié) 函數(shù)1一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無(wú)限集無(wú)限集,Ma ,Ma .,的子集的子集是是就說(shuō)就說(shuō)則必則必若若BABxAx .BA 記作記作2數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相等相等與與就稱集合就稱集合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何

2、元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.32.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxab4bxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義

3、區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.53.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 64.4.常量與變量常量與變量: : 在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,注意注意常量與變量是相對(duì)常量與變量是相對(duì)“過(guò)程過(guò)程”而言的而言的.通常用字母通常用字母

4、a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.75.5.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式:8因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 定定義義 設(shè)設(shè)x和和y是是兩兩個(gè)個(gè)變變

5、量量, ,D是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx ,二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念9()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D10定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC ox

6、y),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例如，例如，222ayx 11 (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn12(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x13 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理

7、數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)14(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg15 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).16例例1 1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖其波形如圖所示所示,寫出電壓寫出電壓U與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系

8、式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt解解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號(hào)的電壓?jiǎn)稳敲}沖信號(hào)的電壓,2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),(200 tEU)(2 tEU即即17,),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t. 0 U其表達(dá)式為其表達(dá)式為是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 18例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故19三、函數(shù)的

9、特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否則稱無(wú)界否則稱無(wú)界上有界上有界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)Xxf202函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI21)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在

10、區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有223函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf23有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 244函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的

11、周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個(gè)不為零的如果存在一個(gè)不為零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl2l 2l23l 23l25)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy 四、反函數(shù)四、反函數(shù)26五、小結(jié)基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量,

12、 絕對(duì)值絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)27思考題思考題設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式.28思考題解答思考題解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf29一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不

13、等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè)2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 時(shí)，時(shí)，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習(xí)習(xí) 題題30二、證明二、證明xylg 在在), 0( 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和. .四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),( 上繪出上繪出)(xf的圖形的圖形. .五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，

14、兩個(gè)奇函數(shù)的五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). .六、證明函數(shù)六、證明函數(shù)acxbaxy 的反函數(shù)是其本身的反函數(shù)是其本身. .七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函數(shù)數(shù)，并并指指出出其其定定義義域域. .31一、一、1 1、225tt , ,222)1(2)1(5 tt； 2 2、1,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . .七、七、)1 , 1( ,11ln xxy. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案3233一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù)

15、xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 342.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 353.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 364.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 37xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)38正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 39xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 40正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 41xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 425.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyar

16、csin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)43xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)44xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)45 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc46二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)

17、合函數(shù)復(fù)合函數(shù).,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y47注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等

18、函數(shù)初等函數(shù).48例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x49,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 50三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxe

19、ex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 2151xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),52雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 532.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar).1ln

20、(sinh2 xxxyarsinhar xy54.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 :D y反雙曲余弦反雙曲余弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y55.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y56四、小結(jié)函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式

21、函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )57思考題思考題下下列列函函數(shù)數(shù)能能否否復(fù)復(fù)合合為為函函數(shù)數(shù))(xgfy ，若若能能，寫寫出出其其解解析析式式、定定義義域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu58思考題解答思考題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的值域與的值域與)(uf的定義域之交集是空集的定義域之交集是空集.59._1反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，.

22、_)(ln31)(2的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，則函數(shù)，則函數(shù)，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?、函?shù)、函數(shù)xfxf一、填空題一、填空題:._32復(fù)合而成的函數(shù)為復(fù)合而成的函數(shù)為，、由函數(shù)、由函數(shù)xueyu ._2lnsin4復(fù)合而成復(fù)合而成由由、函數(shù)、函數(shù)xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，為為）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椤⑷?、?aaxfaxfaaxfxfxfxf練練 習(xí)習(xí) 題題60.sin的圖形的圖形”作函數(shù)”作函數(shù)二、應(yīng)用圖形的“疊加二、應(yīng)用圖形的“疊加xxy .)()()(111011)(

23、，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，三、設(shè)三、設(shè)xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 05020. 0500220形形出圖出圖之間的函數(shù)關(guān)系，并作之間的函數(shù)關(guān)系，并作千克千克于行李重量于行李重量元元元，試建立行李收費(fèi)元，試建立行李收費(fèi)出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費(fèi)千克每千克收費(fèi)千克以下不計(jì)費(fèi)，千克以下不計(jì)費(fèi)，定如下：定如下：四、火車站行李收費(fèi)規(guī)四、火車站行李收費(fèi)規(guī)xxf61一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、,3ee； 3 3、2xey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, k

24、k2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . .三、三、 1, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,11, 11,)(xexxexfg. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案62四、四、 50),50(3 . 0105020,2 . 0200 xxxxxy6364“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入65R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS662

25、2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX211 167二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4

26、, 2n;,21,81,41,21n2n21n68注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 69.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限70問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是

27、,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:71,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx72定義定義 如果對(duì)于任意給定的

28、正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N73x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.

29、)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每一個(gè)或任給的每一個(gè)或任給的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使74數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：75

30、例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 76例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq

31、則則, 10 q若若,lnlnqn 77例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 78四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無(wú)界稱為無(wú)界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx都落在閉區(qū)間都落在

32、閉區(qū)間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界79定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .802.唯一性唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得

33、使得., 021NN ;1 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.81例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成立成立有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)無(wú)休止地反復(fù)取無(wú)休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1

34、的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx823.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列如果數(shù)列收斂于收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是是anx83五.小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性唯一性有界性唯一性.84思考題思考題指出下列證明指出下列證明1lim nnn中的錯(cuò)誤。中的錯(cuò)誤。證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1

35、ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn85思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價(jià)）（等價(jià)）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實(shí)際上就是不等式實(shí)際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒(méi)有采用即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大” 的值的值nnln86從而從而 時(shí)，時(shí)，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln87一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利

36、用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. .練練 習(xí)習(xí) 題題88“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入89.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限90.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限9

37、1.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限92.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限93.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限94.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限95.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限96.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限97.)1(11時(shí)的變化趨

38、勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限98.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限99.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限100.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限101.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限102103.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限104問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))

39、(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.105定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的

40、函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定義定義定定義義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) Axfx)(lim106:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且107xxysin 3.幾何解釋

41、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA108xxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 109二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf

42、無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的過(guò)程的過(guò)程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 110定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00

43、xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定義定義定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1112.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 112例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )

44、(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 113例例4. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx114例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 x

45、x取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明1153.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy116左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 00

46、0 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作117.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x118三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定理定理 若在某個(gè)過(guò)程下若在某個(gè)過(guò)程下, ,)(xf有極限

47、有極限, ,則存在則存在過(guò)程的一個(gè)時(shí)刻過(guò)程的一個(gè)時(shí)刻, ,在此時(shí)刻以后在此時(shí)刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一.119推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)120).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxf