《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第十一章 第5節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

1、2一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)左左側(cè)和側(cè)和右右側(cè)側(cè)3n曲面的分類(lèi)曲面的分類(lèi):1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面4莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:5曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為有向曲面有向曲面. .有向曲面的投影問(wèn)題有向曲面的投影問(wèn)題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊 .,cos,cos)(.,cos)()(面垂直面垂直即曲面與即曲面與時(shí)時(shí)

2、當(dāng)當(dāng)即取曲面下側(cè)即取曲面下側(cè)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)即取曲面上側(cè)即取曲面上側(cè)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xoySxyxyxy0000 .)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S :面面上上的的投投影影有有向向曲曲面面在在 xoy.其它坐標(biāo)面上的投影其它坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似可定義有向曲面在類(lèi)似可定義有向曲面在6二、概念的引入實(shí)例實(shí)例: : 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .( (1 1) ) 流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為常常向向量量 v, ,有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域A A, ,求求單單位位時(shí)時(shí)間間流流過(guò)過(guò)A A的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 ( (假假定定密密度度為為 1 1) ).

3、.Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量7( (2 2) ) 設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定定流流動(dòng)動(dòng)的的不不可可壓壓縮縮流流體體( (假假定定密密度度為為 1 1) )的的速速度度場(chǎng)場(chǎng)由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給給出出, ,是是速速度度場(chǎng)場(chǎng)中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函數(shù)數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上連連續(xù)續(xù), , 求求在在單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 . .xyzo 8xyzo iS ),(iii ivin0 把曲面把曲面分成分成n小塊小塊is ( (is 同時(shí)也代表同時(shí)也代表 第第i小

4、塊曲面的面積小塊曲面的面積),), 在在is 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ),(iii , , 1. 分割分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv單位法向量為單位法向量為 .in0求解方法求解方法9xyzo iS ),(iii ivin0,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 該該點(diǎn)點(diǎn)處處曲曲面面的的單單位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,、近似、近似2通通過(guò)過(guò)is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的 流流量量的的近近似似值值為為 ).,(niSnviii2103. 求和求和通通過(guò)過(guò)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量niiiiSnv1010iiiiiiiiin

5、iiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,( 14.4.取極限取極限0 .的精確值的精確值取極限得到流量取極限得到流量 ,),(),(),(kRjQiPviiiiiiiiii kjiniiii coscoscos0 , , niiiiSnv1)(,()(,()(,(limxyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 10 xyiiiinixziiiiniyzniiiiiSRSQSP)(,(lim)(,(lim)(,(lim 10101011定義定義 設(shè)為光滑的有向曲面設(shè)為光滑的有向曲面, ,函數(shù)

6、在上函數(shù)在上有界有界, ,把分成把分成n塊小曲面塊小曲面iS( (iS同時(shí)又表同時(shí)又表示第示第i塊小曲面的面積塊小曲面的面積),),iS在在xoy面上的投面上的投影為影為xyiS )(, ,),(iii 是是iS上任意取定的一點(diǎn)上任意取定的一點(diǎn), ,如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0 時(shí)時(shí), , nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, , 則稱(chēng)此極限為函數(shù)則稱(chēng)此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面在有向曲面上上對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)yx,的曲面積分的曲面積分( (也稱(chēng)也稱(chēng)第二類(lèi)曲面第二類(lèi)曲面積分積分) ) 三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì)12記記作作 dxdyzyxR)

7、,(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類(lèi)似可定義類(lèi)似可定義niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 13存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在 有有 向向 光光滑滑 曲曲 面面 上上 連連 續(xù)續(xù) 時(shí)時(shí) , , 對(duì)對(duì) 坐坐 標(biāo)標(biāo) 的的 曲曲 面面 積積 分分 存存在在 . . 組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(記記物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQd

8、ydzzyxP),(),(),( dxdyzyxR),(dydzzyxP),(dzdxzyxQ),(記為記為為閉曲面時(shí)為閉曲面時(shí)當(dāng)當(dāng),.),(),(),(),(指定一側(cè)的流量指定一側(cè)的流量單位時(shí)間流體流向單位時(shí)間流體流向密度為密度為的流體中的流體中表示在速度為表示在速度為1kzyxRjzyxQizyxPV14性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 215四、計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積

9、分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxys)( 化為二重積分化為二重積分基本方法基本方法:16 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdy

10、zyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(17則有則有給出給出由由、如果、如果,),(zyxx 2yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由、如果、如果,),(xzyy 3zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意(1)(1)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .:計(jì)算公式計(jì)算公式則有則有給出給出由由、如果、如果,),(yxzz 1xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(”。”?！毕?/p>

11、側(cè)為“”下側(cè)為“取上側(cè)為“取上側(cè)為“”?！薄！焙髠?cè)為“”后側(cè)為“取前側(cè)為“取前側(cè)為“”。”?！弊髠?cè)為“”左側(cè)為“取右側(cè)為“取右側(cè)為“。）組合積分應(yīng)分別積分）組合積分應(yīng)分別積分（2分塊積分。分塊積分。）分塊曲面或閉曲面應(yīng)）分塊曲面或閉曲面應(yīng)（318例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外側(cè)側(cè)在在0, 0 yx的的部部分分. .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 19 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyDdxdyyxxy221xyDdxdyyxxy2212xyDdd221cossin2

12、xyDdxdyyxxy)(221152取內(nèi)側(cè)？取內(nèi)側(cè)？問(wèn)題：若問(wèn)題：若xyz2 1 202例例,)(zdxdydydzzx2計(jì)計(jì)算算其中 是旋轉(zhuǎn)拋物面 )(2241yxz)(20 z取下側(cè)。 解： zdxdy先先求求)(:2241yxz在xoy 面投影域?yàn)?822 yxDxy:取 的方向?yàn)橄聜?cè)， zdxdydxdyyxxyD)(412222032041dd 8,)(2dydzzx再求其中： 24yzx把 分成兩部分： 21214yzx :取前側(cè)； 224yzx :取后側(cè)。 24222zyyDyz:dydzzxdydzzxdydzzx21222)()()(dydzzyzyzD)(224dydzz

13、yzyzD)(224yzDdydzyz242dzyzdyy22222412242222222232831dyy )(220232832dyy )( dycos)cos(sin2283222232022043128 dcos 8 1688)(原原式式23例例3. 計(jì)算積分其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解解: 由被積表達(dá)式及積分曲面的對(duì)稱(chēng)性知原式dxdyxz)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)13dxdyxz)(yxDdxdyxa)(23ydxdxz2)(ydxdxayxD)(2yxDdxdya333axz

14、ydxdyxzdzdxzydydzyx)()()(24五、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). .對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsn25曲面的法向量的方向余弦為曲面的法向量的方向余弦為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz ),(yxfz

15、xyzoxyDdsndxdyyxzyxzdSyx),(),(221,1yxzzn26對(duì)面積的曲面積分為對(duì)面積的曲面積分為 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)均均成成立立) )dSzyxPdydzzyxP cos),(),(類(lèi)似可得類(lèi)似可得dSzyxQdzdxzyxQ cos),(),(27dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系:由此知由此知dSdydz cosdSdzdx cosdSdxdy cos也有也

16、有 coscoscosdxdydzdxdydzdS28向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA為為有向曲面上點(diǎn)有向曲面上點(diǎn)),(zyx處的單位法向量處的單位法向量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱(chēng) 為稱(chēng) 為 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA為向量為向量A在在n上的投影上的投影. .dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 29例例4. 設(shè) ,:221yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算dSzI cos2解解: dSzI cos2dxdyz2dd)1(210202 yx1zo1nyxDdxd

17、yyx)(22130例例5 5 計(jì)計(jì)算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及 2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). . 解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(231dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222xyDdxdyyxx)(212222022220)21cos(dd.11cos,1cos2222yxyxx .832 把把對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分 dzdxzyxQdydzzy

18、xP),(),(dxdyzyxR),( 化化 成成對(duì)對(duì)面面積積的的曲曲面面積積分分, ,其其中中 是是平平面面 63223 zyx在在 第第一一卦卦 限限的的部部分分 的的上上側(cè)側(cè) . . :練習(xí)練習(xí)答案：答案：dSRQP)5325253( . . 33六、小結(jié)1 1、物理意義、物理意義2 2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)曲面的側(cè)“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”34228511P習(xí)題習(xí)題)(),)()(24432335莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:36典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶37典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶38典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面: