[數(shù)學]8三維變換與投影ppt課件

1、三維圖形變換與投影三維圖形變換與投影主要內(nèi)容主要內(nèi)容 三維圖形的根本問題三維圖形的根本問題 三維幾何變換三維幾何變換 平面幾何投影平面幾何投影 三維圖形顯示流程圖三維察看三維圖形顯示流程圖三維察看 - - 坐標系之間的變換坐標系之間的變換 - - 察看坐標系中的投影變換察看坐標系中的投影變換視見體視見體 - - 三維裁剪三維裁剪 - - 規(guī)范化視見體規(guī)范化視見體三維圖形的根本問題三維圖形的根本問題 如何將三位的物體圖形在二維的顯示設備上顯如何將三位的物體圖形在二維的顯示設備上顯示出來？示出來？ 在三維空間中如何經(jīng)過空間多邊形、曲面來表示復在三維空間中如何經(jīng)過空間多邊形、曲面來表示復雜的物體？雜

2、的物體？ 如何在圖形的顯示結(jié)果中反映出來物體之間或同一如何在圖形的顯示結(jié)果中反映出來物體之間或同一物體的不同部分之間的遮擋關(guān)系？物體的不同部分之間的遮擋關(guān)系？ 如何在計算機虛擬的場景中模擬光線的傳播過程以如何在計算機虛擬的場景中模擬光線的傳播過程以產(chǎn)生逼真的、顏色分布自然的圖形？產(chǎn)生逼真的、顏色分布自然的圖形？三維幾何變換三維幾何變換平移與縮放平移與縮放110001000100011zyxtttzyxzyx平移平移PtttTPzyx),(縮放縮放110000000000001zyxssszyxzyxPsssSPzyx),(旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 11000010000cossin00sincos1zyx

3、zyx指定旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度旋指定旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)角度有正負轉(zhuǎn)角度有正負最簡單的是繞著坐標軸的旋最簡單的是繞著坐標軸的旋轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)：沿沿 z 軸軸110000cossin00sincos000011zyxzyx沿沿 x 軸軸沿沿 y 軸軸110000cos0sin00100sin0cos1zyxzyx)(zR)(yR)(xR旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 繞平行于坐標軸如繞平行于坐標軸如 x x 軸的旋轉(zhuǎn)：軸的旋轉(zhuǎn)：1 1平移使其旋轉(zhuǎn)軸與平行與它的坐平移使其旋轉(zhuǎn)軸與平行與它的坐標軸重合：標軸重合：Trans1Trans1；2 2對對 x x 軸完成指定的旋轉(zhuǎn)：軸完成指定的旋轉(zhuǎn)：RxRx；3 3平移將其旋轉(zhuǎn)軸移回原

4、來的位置：平移將其旋轉(zhuǎn)軸移回原來的位置：Trans2Trans2。復合變換為：復合變換為： M = Trans2 M = Trans2 * * Rx Rx * * Trans1 Trans1其中其中 Trans2 Trans2 為為Trans1 Trans1 的逆。的逆。此直線方程為：此直線方程為：x = k;y = y0;z = z0 x = k;y = y0;z = z0其中其中k k為恣意實數(shù)，為恣意實數(shù)，y0,z0y0,z0為常為常值。值。Trans1 = T ( 0.0, -y0, -z0)Trans1 = T ( 0.0, -y0, -z0)旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 繞恣意與坐標軸不平行的軸的

5、旋轉(zhuǎn)：繞恣意與坐標軸不平行的軸的旋轉(zhuǎn)：1 1平移使得旋轉(zhuǎn)軸經(jīng)過坐標原點：平移使得旋轉(zhuǎn)軸經(jīng)過坐標原點： ；2 2旋轉(zhuǎn)使得旋轉(zhuǎn)軸與某一個坐標軸旋轉(zhuǎn)使得旋轉(zhuǎn)軸與某一個坐標軸 ( z ) ( z ) 重合：重合： ；3 3繞此重合坐標軸繞此重合坐標軸 ( z ) ( z ) 進展指定旋轉(zhuǎn)：進展指定旋轉(zhuǎn)： ；逆旋轉(zhuǎn)使得旋轉(zhuǎn)軸回到原來方向：逆旋轉(zhuǎn)使得旋轉(zhuǎn)軸回到原來方向： ; ;逆平移使得旋轉(zhuǎn)軸回到原來位置：逆平移使得旋轉(zhuǎn)軸回到原來位置： 。復合變換為：復合變換為： 需求確定其中的需求確定其中的 和和 。)(zR1TR1RTRRRTMz)(11TTR旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 確定確定T T和和R R。恣意一條直線可以由

6、其上的兩個點的坐標恣意一條直線可以由其上的兩個點的坐標來表示，沿此軸的正向給定兩個來表示，沿此軸的正向給定兩個點：點： 。 其軸向量為：其軸向量為： 其單位向量為：其單位向量為：那么平移變換那么平移變換 就是將就是將 點移到原點位點移到原點位置。置。 1P1P2P2P),(12121212zzyyxxPPV),(|cbaVVu1P1P2PuT旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 R R的作用就是將矢量的作用就是將矢量 u u 與與 z z 軸重合，軸重合，此過程可以分解為兩步：此過程可以分解為兩步：1 1將矢量將矢量 u u 繞繞 x x 軸旋轉(zhuǎn)到達軸旋轉(zhuǎn)到達 xz xz 平平面：面： ；2 2然后再繞然后再繞 y

7、y 軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到 z z 軸軸 。)(xR)(yRuxyzuu旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 將矢量將矢量u u沿沿x x軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到xz xz 平面相當平面相當于將于將u u在在yzyz平面內(nèi)的投影向量平面內(nèi)的投影向量u u繞著繞著x x軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到z z軸的過程。由于軸的過程。由于u u=(0,b,c)=(0,b,c)，所以旋轉(zhuǎn)角度由，所以旋轉(zhuǎn)角度由u u與與z z軸之間的夾角決議，即軸之間的夾角決議，即又又所以所以22| |coscbddcuuuuzz其中dbsinuxyzuuxzxzbucbkjiuuuuu1000sin| | |旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 此時的矢量此時的矢量u u為：其為：其x x 分

8、量與分量與u u的的x x分量分量一樣，其一樣，其y y 分量為分量為0 0，其，其z z分量為分量為u u的的模，即模，即u u=( a, 0, d);=( a, 0, d);所以所以又又所以所以duuuuzz| | cosasinuxyzuuyzyzaudakjiuuuuu1000sin| | | 旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一 10000/00/00001)(dcdbdbdcRx所以有：所以有：100000001000)(daadRy)()(xyRRRTRRRRRTMxyzyx)()()()()(111旋轉(zhuǎn)二旋轉(zhuǎn)二 得到復合矩陣得到復合矩陣 的更快的方法是利用正交矩陣的乘積依然是正交的更快的方法是利用正交

9、矩陣的乘積依然是正交矩陣。矩陣。那么有那么有 )()(xyRRR1000000)()(333231232221131211rrrrrrrrrRRRxy10011131211rrrR10101232221rrrR11001333231rrrR旋轉(zhuǎn)二旋轉(zhuǎn)二 將將u u 軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到 z z 軸的變換可以經(jīng)過建立一個新軸的變換可以經(jīng)過建立一個新的坐標系來構(gòu)造。的坐標系來構(gòu)造。那么所需復合矩陣為那么所需復合矩陣為) , , (321zzzzuuuuu) , , (|321yyyxxyuuuuuuuu) , , (321xxxzyxuuuuuu1000000321321321zzzyyyxxxuuu

10、uuuuuuR四元數(shù)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)旋轉(zhuǎn) 三三將復數(shù)的概念擴展到高維，就得到四元數(shù)的定義。將復數(shù)的概念擴展到高維，就得到四元數(shù)的定義。定義高維復數(shù)：定義高維復數(shù)：其中虛數(shù)項系數(shù)其中虛數(shù)項系數(shù) 以及參數(shù)以及參數(shù) 都是實數(shù)，稱為標量。都是實數(shù)，稱為標量。標量乘法標量乘法加法加法),(),(cbavvskcjbiasq其中cba,skjiijkjikji, 1,222滿足：為實數(shù)lv llskcljbliallsql),(),()21212121212121vvsscckbbjaaissqq（）（四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三 四元數(shù)乘法四元數(shù)乘法四元數(shù)的平方值四元數(shù)的平方值四元數(shù)的逆四元數(shù)的逆所以有所以有22

11、22|vsvvsq),211221212121vvvsvsvvssqq （),(|121vsqq)0 , 1 (11qqqq四元數(shù)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)旋轉(zhuǎn) 三三設設 u u 是沿著所選旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量，是沿著所選旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量， 是繞此軸是繞此軸的指定旋轉(zhuǎn)角。那么可以定義繞過原點的此旋轉(zhuǎn)軸的指定旋轉(zhuǎn)角。那么可以定義繞過原點的此旋轉(zhuǎn)軸對應的四元數(shù)：對應的四元數(shù)：恣意點恣意點P P 的坐標為：的坐標為：p=(x,y,z)p=(x,y,z)，那么可以定義此，那么可以定義此點對應的四元數(shù)點對應的四元數(shù)那么此點繞所給旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后得到的點可以由四元那么此點繞所給旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)后得到的點可以由四元數(shù)運算來實現(xiàn)：數(shù)運算來

12、實現(xiàn)：2sin,2cos),(uvsvsq其中), 0(pP 1 qPqP四元數(shù)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)旋轉(zhuǎn) 三三)()(2)() , 0 ()()(2)(, 0 ()()()( ,)()(),)(,(),)(, 0)(,(221pvvpvspvvpspppvvpvspvvpsvpvsppvspsvpvvpvsppvsvspvsppvvspvsqPqP四元數(shù)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)旋轉(zhuǎn) 三三假設繞假設繞z z 軸旋轉(zhuǎn)那么對應的旋轉(zhuǎn)坐標值為：軸旋轉(zhuǎn)那么對應的旋轉(zhuǎn)坐標值為：利用四元數(shù)旋轉(zhuǎn)，同樣有利用四元數(shù)旋轉(zhuǎn)，同樣有其中其中zzyxyyxxcossinsincos) 0 ,()(),0 ,(,yxpuuxypuzpu)(2s

13、in)(2sin2cos2)(2sin2cos)()(2)(2222puupupuuppvvpvspvvpsp四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三 所以有所以有)(2sin)(2sin2cos2)(2sin2cos)()(2)(2222puupupuuppvvpvspvvpsp) 0 ,()(),0 ,(,yxpuuxypuzpuzzyxyyxxcossinsincos四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三四元數(shù)旋轉(zhuǎn)三 四元數(shù)旋轉(zhuǎn)的優(yōu)點：四元數(shù)旋轉(zhuǎn)的優(yōu)點：1 1需求更少的存儲空間；需求更少的存儲空間；2 2更容易硬件實現(xiàn)；更容易硬件實現(xiàn)；其它變換其它變換 反射變換反射變換1000010000100001zRF錯切變換錯切變換100

14、00100010001baSHz復合變換與變換方式復合變換與變換方式 任何三維仿射變換可以表示成此五類變換的組合，任何三維仿射變換可以表示成此五類變換的組合，從而可以表示成五類矩陣的乘積方式：從而可以表示成五類矩陣的乘積方式：)(21PMMMPn兩類變換方式：兩類變換方式： 固定坐標系方式；固定坐標系方式； 活動坐標系方式?；顒幼鴺讼捣绞?。復合變換與變換的方式復合變換與變換的方式 固定坐標系方式固定坐標系方式先調(diào)用的變換放在連乘式右邊，后調(diào)用的變換放在連先調(diào)用的變換放在連乘式右邊，后調(diào)用的變換放在連乘式左邊；乘式左邊；每一次變換都是相對于原始固定坐標系進展的。每一次變換都是相對于原始固定坐標系

15、進展的。活動坐標系方式活動坐標系方式- -先調(diào)用的變換放在連乘式左邊，后調(diào)用的變換放在連先調(diào)用的變換放在連乘式左邊，后調(diào)用的變換放在連乘式右邊；乘式右邊；每一次變換都是針對前面構(gòu)成的新坐標系進展的；每一次變換都是針對前面構(gòu)成的新坐標系進展的；更符合人的思想方式。更符合人的思想方式。第八章第八章 投影投影平面幾何投影平面幾何投影廣義地說，投影就是將廣義地說，投影就是將n n維的點變換成小于維的點變換成小于n n維的點。維的點。此處僅思索三維到二維的投影。此處僅思索三維到二維的投影。 COP投影中心；投影中心； 投影面；投影面； 投影線；投影線；平面幾何投影平面幾何投影投影線為直線，投影面為平面；

16、投影線為直線，投影面為平面；ABABCOP平面幾何投影平面幾何投影根據(jù)投影中心到投影平面的間隔不同可以分成兩類投根據(jù)投影中心到投影平面的間隔不同可以分成兩類投影：平行投影和透視投影。影：平行投影和透視投影。ABABCOPBAABCOP透視投影透視投影投影中心與投投影中心與投影平面之間的間隔有限；影平面之間的間隔有限；平行投影平行投影投影中心與投投影中心與投影平面之間的間隔無限；影平面之間的間隔無限；此時只需求指定投影方向，此時只需求指定投影方向，投影線與投影方向平行。投影線與投影方向平行。平行投影平行投影平行投影平行投影根據(jù)投影方向與投影平面法向之間的關(guān)系，可以分根據(jù)投影方向與投影平面法向之間

17、的關(guān)系，可以分為正投影和斜投影。為正投影和斜投影。正投影斜投影正投影由可以分成三視圖和正軸側(cè)。正投影由可以分成三視圖和正軸側(cè)。三視圖三視圖投影平面與某一坐標軸垂直，如以下圖投影平面與某一坐標軸垂直，如以下圖正視圖、俯視圖和側(cè)視圖。正視圖、俯視圖和側(cè)視圖。特點： 準確保管度量關(guān)系； 單個方向的投影不能反映三維場景的完全信息； 要獲得物體的三維視覺，通常需求多個視角的投影圖。平行投影平行投影正軸側(cè)正軸側(cè)投影平面與三個坐標軸都投影平面與三個坐標軸都不垂直。不垂直。等軸側(cè)等軸側(cè)投影平面的法向與三個軸投影平面的法向與三個軸的交角一樣；的交角一樣；正二側(cè)正二側(cè)投影平面的法向與某兩個投影平面的法向與某兩個軸

18、的交角一樣；軸的交角一樣；正三側(cè)正三側(cè)投影平面的法向與三個軸投影平面的法向與三個軸的交角都不一樣；的交角都不一樣；平行投影平行投影正投影變換正投影變換假設投影平面為假設投影平面為xyxy平面，那么將點平面，那么將點(x,y,z)(x,y,z)投影到點投影到點 的變換方程為：的變換方程為：z z坐標作為深度信息，仍被保管。坐標作為深度信息，仍被保管。投影矩陣為：投影矩陣為：yyxxpp)0 ,(ppyx1000000000100001parallelM平行投影平行投影斜投影變換斜投影變換假設投影平面為假設投影平面為xy xy 平面，投影方向由角平面，投影方向由角 給定，那給定，那么將點么將點(x

19、,y,z) (x,y,z) 投影到點投影到點 的變換方程為：的變換方程為：z z 坐標作為深度信息，仍被保管。坐標作為深度信息，仍被保管。sintancostanzyyzxxpp,)0 ,(ppyx)0 ,(ppyxxzy(x,y,z)(x,y,0)平行投影平行投影斜投影變換斜投影變換投影矩陣為：投影矩陣為：正投影中正投影中 ，因此正投影矩陣也可以看成上面，因此正投影矩陣也可以看成上面矩陣的特例。矩陣的特例。10000000sintan010costan001zzMparallel90平行投影平行投影透視投影透視投影透視投影透視投影 不保管物體的外形和尺寸；不保管物體的外形和尺寸； 具有三維視

20、覺效果。具有三維視覺效果。透視投影與平行投影的不同：透視投影與平行投影的不同： 在平行投影中，投影物體的在平行投影中，投影物體的大小與間隔投影平面的遠近無大小與間隔投影平面的遠近無關(guān)；而在透視投影中，間隔投關(guān)；而在透視投影中，間隔投影平面越遠的物體投影后越小，影平面越遠的物體投影后越小，反之越大。反之越大。ABABCOP平行投影將平行線不平行投影將平行線不與投影方向平行投影與投影方向平行投影為平行線；為平行線； 透視投影將與投影平面平行透視投影將與投影平面平行的平行線投影為平行線；的平行線投影為平行線；透視投影透視投影 透視投影將不與投影平面平行的平行線投影為相交于一點的透視投影將不與投影平面

21、平行的平行線投影為相交于一點的直線，相交點稱為滅點；直線，相交點稱為滅點；透視投影透視投影滅點可以看作滅點可以看作 三維空三維空間的無窮遠點在投影間的無窮遠點在投影平面上的投影點，有平面上的投影點，有無數(shù)多個滅點。無數(shù)多個滅點。平行于坐標軸的平行平行于坐標軸的平行線的滅點成為主滅點。線的滅點成為主滅點。按照主滅點的個數(shù)，按照主滅點的個數(shù)，可以分成一點透視，可以分成一點透視，二點透視和三點透視。二點透視和三點透視。透視投影透視投影透視投影變換透視投影變換投影中心在原點，投影平面投影中心在原點，投影平面為為 ，點，點 的投影點的投影點為為 ，那么有，那么有 用齊次坐標表示，有用齊次坐標表示，有dz

22、 ),(zyx),(pppzyxdzdzyydzxxppp/10/100010000100001/1zyxddzzyxzyxppp透視投影透視投影透視投影變換矩陣為：透視投影變換矩陣為：0/100010000100001dMePerspectiv1/100000000100001dMePerspectiv注：當注：當d d 區(qū)域無窮時，即為正平行區(qū)域無窮時，即為正平行投影矩陣。投影矩陣。透視投影透視投影三維察看三維察看對部分物體對部分物體建立模型描畫建立模型描畫在世界坐標系在世界坐標系中建立模型描畫中建立模型描畫將世界坐標系將世界坐標系轉(zhuǎn)換為察看坐標系轉(zhuǎn)換為察看坐標系將窗口描畫將窗口描畫轉(zhuǎn)換為

23、視口描畫轉(zhuǎn)換為視口描畫經(jīng)過掃描轉(zhuǎn)換經(jīng)過掃描轉(zhuǎn)換顯示圖形顯示圖形ModelWorldCameraScreenRaster將三維坐標投影將三維坐標投影到二維平面到二維平面Project關(guān)于視見體關(guān)于視見體進展裁剪進展裁剪Clippling坐標系之間的變換坐標系之間的變換 右圖給出了兩個笛卡爾坐標系。右圖給出了兩個笛卡爾坐標系。只需知道新的坐標系原點在舊坐標中只需知道新的坐標系原點在舊坐標中的位置，以及三個新坐標軸的單位矢的位置，以及三個新坐標軸的單位矢量，那么可以構(gòu)造平移和旋轉(zhuǎn)矩陣：量，那么可以構(gòu)造平移和旋轉(zhuǎn)矩陣：那么完好的坐標變換由復合矩陣那么完好的坐標變換由復合矩陣 給出。給出。1000100

24、010001),(000000zyxzyxTTRxyxyzz1000000321321321zzzyyyxxxuuuuuuuuuR三維圖形顯示過程三維圖形顯示過程堅持物體方位。堅持物體方位。在此顯示過程中，在此顯示過程中，通常是透射投影通常是透射投影假設光源在無窮假設光源在無窮遠處，例如太陽光，遠處，例如太陽光，思索平行投影思索平行投影視見體視見體Cameral ModelCameral ModelPositionPosition相機在世界相機在世界坐標系中所放置的位置；坐標系中所放置的位置；Look VectorLook Vector向著察向著察看物體看過去的方向；看物體看過去的方向；Up

25、DirectionUp Direction顯示物顯示物體的朝向；不一定與體的朝向；不一定與Look Vector Look Vector 垂直垂直objectxyz視見體視見體那么可以建立察看坐標系：那么可以建立察看坐標系：以相機所在位置為原點，以以相機所在位置為原點，以Look Look Vector Vector 為為z z 軸負向，以軸負向，以Up DirectionUp Direction在在Look Vector Look Vector 的垂直面中的投影向的垂直面中的投影向量為量為y y 軸正向，軸正向，x x 軸正方向可以經(jīng)過軸正方向可以經(jīng)過矢量乘積得到。矢量乘積得到。object

26、xyz視見體視見體相機具有有限的察看角度，有限的察相機具有有限的察看角度，有限的察看空間?？纯臻g。Front clipping plane Front clipping plane 前裁剪前裁剪面；面；Back clipping planeBack clipping plane后裁剪面；后裁剪面；FrustumFrustum視見體；視見體；視見體的定義有兩種方式：視見體的定義有兩種方式：察看角度察看角度fovyfovy和和 Aspect Ratio Aspect Ratio；前裁剪面的四條邊所對應坐標；前裁剪面的四條邊所對應坐標；Frustum視見體視見體顯示角度不同，顯示效果也不一樣。顯示角

27、度不同，顯示效果也不一樣。視見體視見體根據(jù)顯示角度的不同可以分成兩類視根據(jù)顯示角度的不同可以分成兩類視見體，此二類視見體分別對應兩類投見體，此二類視見體分別對應兩類投影：平行投影和透視投影。影：平行投影和透視投影。當視角為當視角為0 0時，對應于平行投影；其時，對應于平行投影；其中正平行投影對應視見體可以經(jīng)過以中正平行投影對應視見體可以經(jīng)過以下參數(shù)來定義：下參數(shù)來定義： Far Distance;Far Distance; Near Distance; Near Distance; 前裁剪面中四條邊境所對應的坐標：前裁剪面中四條邊境所對應的坐標：Left, Right, Bottom, RightLeft, Right, Bottom, Right。視見體視見體xyz當視角為非當視角為非0 0正值，對應于透正值，對應于透視投影。視投影。它有兩種定義方式：它有兩種定義方式：1 1Far Distance, Near Far Distance, Near Distance, Distance, 前裁剪面四條邊前裁剪面四條邊境所對應的坐標境所對應的坐標Left, Left, Right, Bottom, TopRight, Bottom, Top。2 2Far Distance, Near Far Dist