“卓越聯(lián)盟”自主招生模擬卷

1、2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（一）一、選擇題:1.在中,的對邊分別是,若且,則內(nèi)角為 A. B. C. D.2.設,則 A. B. C. D.與無法比較大小3.在中,是銳角,且,則是 A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形4.設橢圓與軸交于兩點,已知對橢圓上不同于的任意一點,直線與直線的斜率之積為,則該橢圓的離心率為 A. B. C. D.5.在半徑為1的球面上有不共面的四個點且,則等于 A.2 B.4 C.8 D.166.如果曲線的兩條互相垂直的切線交于點,則點坐標不可能是 A. B. C. D.7.如果不等式的解集是區(qū)間的子集,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C

2、. D.8.復數(shù)滿足,則的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.49.設,則等于 A.1952 B.1953 C.1954 D.195510.已知定義在上的函數(shù)為單調(diào)函數(shù),且,則 A.1 B.或 C. D.三、解答題11.已知在中,的一個外角平分線交的外接圓于點,過作,垂足為,求證:.12.已知數(shù)列,滿足:.()求數(shù)列和的通項公式;()若不等式對所有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.13.在平面直角坐標系中,設是曲線上三個不同的點,分別是的中點,求證:的外接圓經(jīng)過原點.14.設為實數(shù),為正整數(shù),且.()求證:,并給出等號成立的條件;()求證:.15.電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個數(shù)字1或2,將輸出的前

3、個數(shù)字之和被3整除的概率記為.()求證:;()求證:.2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（二）一、選擇題:1.已知復數(shù)滿足,則 A. B. C. D.2.如果的某個非空子集中所有元素之和是3的倍數(shù),則稱該子集為 “忐忑”子集,那么“忐忑”子集的個數(shù)是 A.133 B.134 C.173 D.1753.設是定點,且都不在平面上,動點在平面上且,那么點的軌跡是 A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.橢圓,雙曲線,拋物線皆有可能4. A. B. C. D.5.設復數(shù)是虛數(shù)單位)滿足的實部與虛部之比為,則的最大值是 A. B. C. D.6.已知為的外心,若,則 A. B. C. D.7.設數(shù)列滿足,

4、則 A. B. C. D.8.已知是邊長為2013的正三角形,點分別在邊上,且,若與交于是線段的中點,則長是 A.670 B.671 C.672 D.6739.拋物線的焦點為,已知點為拋物線上的兩個動點,且滿足,過弦的中點作拋物線準線的垂線,垂足為,則的最大值是 A. B. C. D.10.設表示不超過的最大整數(shù),則 A.2012 B.2013 C.2014 D.2015二、解答題:11.在中,角的對邊分別為,若角的大小成等比數(shù)列,且,求的弧度數(shù).12.定義函數(shù)其導函數(shù)記為.()求證:()數(shù)列滿足,求證;()求證:對 13.如圖,在直三棱柱中,點在棱上,且.()求證:; ()當為何值時,二面角

5、的大小為?14.已知函數(shù).()若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;()若在區(qū)間上,函數(shù)的圖形恒在曲線的下方,求實數(shù)的取值范圍.15.在橢圓中定義:過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦叫做橢圓的通徑,如圖,已知橢圓的左,右焦點分別為其離心率為,通徑長為3,過的直線交橢圓于兩點,分別為的內(nèi)心,延長交橢圓于點.()求該橢圓的方程;()求四邊形與的面積的比值;()在軸上是否存在點,使為常數(shù),若存在,求出點的坐標和這個常數(shù),若不存在,請說明理由.2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（三）一、選擇題:1.設,則在復平面內(nèi)所對應的區(qū)域的面積是 A. B. C. D.2.設雙曲線的右焦點為,過點作與軸垂

6、直的直線交兩條漸近線于兩點,是與雙曲線的一個交點,設為坐標原點,若有實數(shù)使得且,則該雙曲線的離心率是 A. B. C. D.3.在中,為的中點,的面積是3,則的大小是 A. B. C. D.4.函數(shù)的最大值為 A. B. C. D.35.正三棱錐的底面的邊長均為6,各側棱長均為5,點是側面的內(nèi)心,則四面體的體積是 A. B. C. D.6.表示不超過的最大整數(shù),則的值是 A.18084 B.18094 C.18104 D.181147.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,則的最小值為 A.18 B.36 C.54 D.728.設函數(shù)滿足:且對任意都有,則的值是 A.2013 B.2014 C.2015

7、D.20169.在中,邊上的高為3,當最小時,的值是 A. B. C. D.10.設兩點在以線段為直徑的半圓弧上,線段和線段相交于點 ,則的面積為 A. B. C. D.二、解答題：11.已知焦點在軸上的橢圓內(nèi)含圓,圓的切線與橢圓交于兩點,且滿足為坐標原點.()求的值;()求的取值范圍.12.設遞增數(shù)列滿足:.()求數(shù)列的通項公式;()求證:.13. 的內(nèi)切圓分別切于點直線交于點,求證:.14.如圖所示,在矩形中,是對角線,過點作,垂足為,交于點,以為折痕將向上折起,使點到點的位置.()若平面與平面所形成的二面角的大小為,求四棱錐的體積;()若,求二面角的余弦值.15.已知函數(shù)其中()當時,求

8、的最小值;()若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍; 2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（四）一、選擇題:1.設為一對不相等的共軛復數(shù),且為實數(shù),則的值為 A. B. C.3 D.2.設滿足約束條件,若恒成立,則實數(shù)的最大值是 A.1 B.4 C. D.3.函數(shù)的值域是 A. B. C. D.4.已知點在的內(nèi)部,且,記的面積為的面積為,則的值為 A.2 B.3 C.4 D.55.在中,是的中點,若,則的值為 A. B.0 C. D.16.若銳角滿足,則角的度數(shù)為 A. B. C. D.7.將11個完全相同的小球放入6個各不相同的盒子中,使得至多有三個空盒子的放法種數(shù)是 A.3112 B.3912 C

9、.4212 D.45128.已知分別為雙曲線的左,右焦點,點的坐標為,則的平分線與軸交點的坐標為 A.(2,0) B. C. D.9.在長方體中,已知,則長方體的體積最大時,等于 A. B. C. D.10.方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和為 A.8 B.10 C.12 D.14二、解答題:11.如圖,四邊形是圓內(nèi)接四邊形,且是對角線上的一點.()若是的中點,求證:;()若,試問是否為的中點?說明理由.12.已知函數(shù).()當時,求證:;()當且時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值集合.13.如圖,已知四棱錐的底面是菱形,且()求證:平面平面; ()求二面角的余弦值.14.數(shù)列中,且.()設,求數(shù)列的通項

10、公式;()設,數(shù)列的前項和為,求證:.15.已知橢圓是圓上任意一點,過作橢圓的切線,切點分別為,求的最大值和最小值.2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（五）一、選擇題:1.設實數(shù),如果復平面上的動點滿足,則動點的軌跡是 A.焦距為4的橢圓 B.焦距為2的橢圓 C.焦距為的橢圓 D.焦距為的橢圓2.設是函數(shù)的圖象上任意一點,過點分別向直線和軸作垂線,垂足分別是,則的值是 A. B. C. D.3.設的內(nèi)角所對的邊分別是且滿足,則的值是 A.2 B.3 C.4 D.54.設,則的最大值是 A. B.1 C.2 D.5.某情報站有四種互不相同的密碼,每周使用其中的一種密碼,且每周都是從上周末使用的三

11、種密碼中等可能地隨機選用一種,設第一周使用密碼,那么第七周也使用密碼的概率是 A. B. C. D.6.半徑為的球內(nèi)部裝有4個相同半徑為的小球,則小球半徑的可能的最大值是 A. B. C. D.7.表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),則在平面直角坐標系中,滿足的所有點組成的圖形的面積是 A.8 B.16 C.1007 D.20148.若實數(shù)滿足,則的值是 A. B. C. D.9.設,則 A. B. C. D.10.已知平面兩兩垂直,點,點到平面的距離都是3,是平面上的動點,點到平面的距離是到點距離的2倍,則點到平面的距離的最小值是 A. B. C. D.二、解答題：11.在銳角中,分別是上的高,以為直

12、徑作圓交于點,在上取點,使,求證:. 12.已知函數(shù).()若函數(shù)的導函數(shù)在上是增函數(shù),試求實數(shù)的最大值;()求證:.13.已知為非零實數(shù),拋物線的焦點在直線上.()若,求拋物線的方程;()設直線與拋物線交于兩點,過分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,的重心分別為求證:對任意非零實數(shù),拋物線的準線與軸的交點在以線段為直徑的圓外.14.已知數(shù)列滿足;,記求證:當時,()() () 15.設的三個角所對的邊的長分別為,求證: 2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（六）一、選擇題:1.函數(shù)的最大值是 A. B. C. D.2.設倒圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形,在此容器內(nèi)注入水,并放入半徑為的一個

13、實心球,此時,球與容器壁及水面恰好都相切,則取出球后水面高為 A. B. C. D.3.任作橢圓的一條切線,與橢圓的兩條對稱軸分別交于兩點,則線段的長度的最小值是 A.6 B.8 C.10 D.124.已知數(shù)列滿足為正整數(shù)),若,則的所有可能的取值的和為 A.9 B.10 . C.56 D.655.設均為非零復數(shù),令,若,則的值為 A.1 B. C.或或 D.或或6.函數(shù),若互不相等且,則的取值范圍是 A. B. C. D.7.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和為 A.4 B.6 C.8 D.108.將各位數(shù)字之和為7的正整數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列,則2014是該數(shù)列的第( )項 A.64 B.6

14、5 C.66 D.679.設,其中表示不超過的最大整數(shù),若方程有三個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D.10.設為內(nèi)一點,角的對邊分別是為的面積,則的最小值為 A.2 B.3 C.4 D.5二、解答題11.過直線上的點作橢圓的切線,切點分別為,連結()當點在直線上運動時,證明：直線恒過定點；()當時，定點平分線段12.的內(nèi)切圓分別切于點直線交于點,求證:.13.在四面體中,.()求證:四面體的每個面的三角形都是銳角三角形;()設三個面與底面所成的角分別為求證:14.函數(shù).()若函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;()設,當時,若存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.1

15、5.已知函數(shù)是方程的兩個根是的導數(shù),設.()求的值;()證明:對任意的正整數(shù),都有()記,求數(shù)列的前項和.2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（七）一、選擇題:1.已知,則 A. B. C. D. 2.若為正數(shù),表示的整數(shù)部分,如果按照某種順序組成等比數(shù)列,則的值是 A. B. C. D.3.已知且,則滿足條件的所有的和是 A. B. C. D.4.已知數(shù)列滿足為正整數(shù)),若,則的值為 A.3 B.4 . C.5 D.65.若自橢圓中心到焦點,長軸頂點,以及到準線的距離之長可以組成一個直角三角形,則該橢圓的離心率是 A. B. C. D.6.正四棱錐中,是的重心,則四面體的體積是 A. B. C

16、. D.7.已知為上的單調(diào)遞增函數(shù),且對任意,都有,則的值是 A.8 B.9 C.10 D.118.設函數(shù),若實數(shù)使得對任意恒成立,則的值是 A.1 B. C.0 D.1或 9.已知實數(shù)滿足,則的最小值是 A. B. C. D.10.7個花色不同的小球放到編號分別為1,2,3的三個盒子內(nèi),要求各盒子內(nèi)的小球數(shù)不小于其編號數(shù),則不同的放法種數(shù)為 A.105 B.140 C.210 D.455二、解答題:11.銳角三角形的三條高分別為,求證:的周長不超過的周長的一半.12.數(shù)列滿足.()求證:()求證:()令判斷與的大小,并說明理由.13.已知為一定點,是軸上的一動點,點滿足,若點滿足.()求點的

17、軌跡曲線的方程;()求曲線的任何兩條互相垂直的切線的交點軌跡.14.在長方體中,已知.()若對角線上存在一點,使得,求實數(shù)的取值范圍;()當對角線上存在唯一一點,使得時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.15.已知函數(shù)()求在區(qū)間上的最小值;()求證:()2014年自主招生考試數(shù)學模擬試卷（八）一、選擇題:1.的值是 A. B. C. D.2.在中,點為的中點,過點的直線分別交直線于不同的兩點,若,則的值是 A.2 B.3 C. D.3.已知且,則的最小值是 A.31 B. C. D.4.內(nèi)接于單位圓,三個內(nèi)角平分線延長后分別交圓于,則 A.1 B.2 C.3 D.45.一個球的內(nèi)接圓錐的最大

18、體積與這個球的體積之比為 A. B. C. D.6.設直線與曲線有三個不同的交點且,則直線的方程是 A. B. C. D.7.從1,2,3,20中任取5個不同的數(shù),其中至少有兩個是相鄰的數(shù)的概率為 A. B. C. D.8.實數(shù)滿足,且的圖象上存在兩條互相垂直的切線,則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C.0 D.9.設是橢圓上的動點,點和的坐標分別是和,則的最大值是 A.1 B. C. D.210.設是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對于任意都有,若是方程的一個根,且,則的值為 A.1 B.2 C.3 D.4二、解答題：11.在等腰中,設分別在邊上且,記的外心為的中點為,求證:.12.已知函數(shù)設數(shù)列滿足:,數(shù)列滿足()求數(shù)列的通項公式;()求證:.13