湘教版數(shù)學選修2-2分層訓練：6-2-2間接證明：反證法含解析

1、間接證明：反證法一、基礎達標1反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾ABCD答案D2已知a，b 是異面直線，直線c 平行于直線a，那么c 與b 的位置關系為()A一定是異面直線C不可能是平行直線B一定是相交直線D不可能是相交直線答案C解析假設 cb，而由ca，可得a b，這與a， b 異面矛盾，故c 與b 不可能是平行直線故應選C.3有下列敘述： “a>b”的反面是 “a<b”；“ xy”的反面是“ x>y 或 x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一

2、個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有()A0 個B1 個C2 個D3 個答案B解析錯：應為 ab；對；錯：應為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯：應為三角形可以有2 個或 2 個以上的鈍角4用反證法證明命題：“ a、bN，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一個能被 5 整除”時，假設的內(nèi)容應為()Aa，b 都能被5 整除Ba，b 都不能被5 整除Ca，b 不都能被 5 整除Da 不能被 5 整除答案B解析“ 至少有一個 ”的否定是 “一個也沒有 ”，即 “a， b 都不能被5 整除 ”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bx c 0 有有理根，那么

3、a，b，c 中存在偶數(shù)”時，否定結論應為 _答案 a，b，c 都不是偶數(shù)解析a，b，c 中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c 都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是_答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“ 任何三角形 ”的否定是 “存在一個三角形 ” ，“至少有兩個 ”的否定是 “最多有一個 ”7設二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中， a、 b、 c 均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證 f(x)0 無整數(shù)根證明設 f(x)0 有一個整數(shù)根 k，則ak2 bk c.又 f(0)c，f(1)a bc 均為奇數(shù)， a b 為偶數(shù)，當 k 為偶數(shù)時，顯

4、然與式矛盾；當 k 為奇數(shù)時，設 k2n 1(n Z)，則 ak2bk(2n1) ·(2na a b)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設不成立，所以方程 f(x) 0 無整數(shù)根二、能力提升xn·x2n38已知 x1>0，x11 且 xn 1 3x2n 1 (n 1,2， )，試證“數(shù)列 xn 對任意的正整數(shù) n 都滿足 xn>xn1”，當此題用反證法否定結論時應為()A對任意的正整數(shù)n，有 xn xn 1B存在正整數(shù) n，使 xnxn 1C存在正整數(shù) n，使 xnxn 1D存在正整數(shù) n，使 xnxn 1答案D解析“ 任意 ”的反語是 “存在一個 ”1119設 a，b，

5、c 都是正數(shù)，則三個數(shù)ab， b c， c a()A都大于 2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2答案 C解析 假設 a1，1 ，1，b<2 bc<2ca<2111則 ab b c ca <6.111111又 ab b c ca a a b b c c2226，這與假設得到的不等式相矛盾，從而假設不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.22210若下列兩個方程x (a1)xa 0， x 2ax2a 0 中至少有一個方程有實根，則實數(shù) a 的取值范圍是 _答案a 2 或 a 122解析若兩方程均無實根，則1(a 1) 4a (3a 1)(a1)<

6、;0，1a< 1 或 a>3.22(2a)8a 4a(a2)<0， 2<a<0，故 2<a<1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a2 或 a1.11已知 a b c>0，ab bcca>0，abc>0，求證 a>0，b>0，c>0.證明用反證法 ：假設 a，b，c 不都是正數(shù)，由abc>0 可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設 a<0，b<0，c>0，則由 abc>0，可得 c>(ab)，又 ab<0， c(a b)< (ab)(a b)abc(ab)&

7、lt; (ab)(ab)ab即 ab bcca<a2 abb2 a2>0，ab>0，b2>0，a2 abb2 (a2abb2)<0，即 ab bcca<0，這與已知 abbcca>0 矛盾，所以假設不成立因此 a>0， b>0，c>0 成立112已知 a，b， c (0,1)，求證 (1 a)b， (1b)c，(1c)a 不可能都大于 4.1證明假設三個式子同時大于 4，111即 (1a)b>4，(1b)c>4，(1 c)a>4，1三式相乘得 (1 a)a·(1 b)b·(1c)c>43，又

8、因為 0<a<1，所以 0<a(1 a)a 1 a 2 124.同理 0<b(1 b)1，0<c(1c)1，441所以 (1a)a·(1b)b·(1c)c43，與矛盾，所以假設不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知 f(x)是 R 上的增函數(shù)， a，bR.證明下面兩個命題：(1)若 ab0，則 f(a) f(b)f(a)f(b)；(2)若 f(a) f(b)f(a)f(b)，則 ab0.證明 (1)因為 a b 0，所以 a b， b a，又因為 f(x)是 R 上的增函數(shù)，所以 f(a) f(b) ，f(b)f( a)，由不等式的性質(zhì)可知f(a) f(b) f(a)f(