EM03靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題

1、1電磁場(chǎng)與電磁波第三章 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題武武 漢漢 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 信信 息息 科科 學(xué)學(xué) 與與 工工 程程 學(xué)學(xué) 院院2本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)v 1 1、電位微分方程電位微分方程v 2 2、電位微分方程解的唯一性電位微分方程解的唯一性v 3 3、鏡像法鏡像法v 4 4、分離變量法分離變量法31、電位微分方程電位微分方程電位微分方程的提出：電位微分方程的提出：0 EE2E02泊松方程泊松方程 實(shí)際中對(duì)于很多靜電場(chǎng)實(shí)際中對(duì)于很多靜電場(chǎng)問(wèn)題通常并不知道電荷分問(wèn)題通常并不知道電荷分布，此時(shí)只能根據(jù)邊界條布，此時(shí)只能根據(jù)邊界條件，通過(guò)求解電位滿足的件，通過(guò)求解電位滿足的微分方程，從而獲知電場(chǎng)微分方程，

2、從而獲知電場(chǎng)的分布特性，這就是靜電的分布特性，這就是靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。場(chǎng)的邊值問(wèn)題。4電位微分方程電位微分方程02拉普拉斯方程拉普拉斯方程在電荷密度為在電荷密度為0 0的無(wú)源空間，有：的無(wú)源空間，有：1、電位微分方程電位微分方程5電位微分方程電位微分方程邊值問(wèn)題的分類：邊值問(wèn)題的分類：第一類邊值問(wèn)題（第一類邊值問(wèn)題（狄里赫利問(wèn)題狄里赫利問(wèn)題）：）：給定未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。給定未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。例如：例如：靜電場(chǎng)中已知各導(dǎo)體表面的電位靜電場(chǎng)中已知各導(dǎo)體表面的電位, , 求解求解空間的電位問(wèn)題?？臻g的電位問(wèn)題。第二類邊值問(wèn)題（第二類邊值問(wèn)題（諾伊曼問(wèn)題諾伊曼問(wèn)題）：）：給定未知函數(shù)在

3、邊界上的法向?qū)?shù)值。給定未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值。如如靜電場(chǎng)中已知導(dǎo)體表面的面電荷密度分布，求靜電場(chǎng)中已知導(dǎo)體表面的面電荷密度分布，求解空間的電位問(wèn)題。解空間的電位問(wèn)題。第三類邊值問(wèn)題（第三類邊值問(wèn)題（混合問(wèn)題混合問(wèn)題）：）：在部分邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的函在部分邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的函數(shù)值，在其它邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界數(shù)值，在其它邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的法向?qū)?shù)值。上的法向?qū)?shù)值。1、電位微分方程電位微分方程6電位微分方程電位微分方程例例3.1 3.1 兩塊無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面分別置于兩塊無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面分別置于x=0和和x=a處，其間在處，其

4、間在x=x0處有一面密度為處有一面密度為 0(C/m2)的無(wú)限大均勻電荷分布，求兩導(dǎo)體板的無(wú)限大均勻電荷分布，求兩導(dǎo)體板之間的電位。之間的電位。xyx00a 0)(1x)(2xen1、電位微分方程電位微分方程7電位微分方程電位微分方程解：解：除除x=x0處，空間其它地方都沒(méi)有電荷，電處，空間其它地方都沒(méi)有電荷，電位滿足一維拉普拉斯方程，根據(jù)導(dǎo)體平面及位滿足一維拉普拉斯方程，根據(jù)導(dǎo)體平面及x=x0處的邊界條件，可以求出電位分布。處的邊界條件，可以求出電位分布。)0(0)(0212xxdxxd電位僅是坐標(biāo)電位僅是坐標(biāo)x的函數(shù)：的函數(shù)：)(0)(0222axxdxxdxyx00a 0)(1x)(2x

5、en1、電位微分方程電位微分方程8電位微分方程電位微分方程可解得：可解得：111)(DxCx)0(0 xx 222)(DxCx)(0axx 1和和 2滿足的邊界條件為：滿足的邊界條件為：0)0(10)(2a)()(0201xx)()()(00021xxxxxx思考：上式如何得來(lái)？思考：上式如何得來(lái)？xyx00a 0)(1x)(2xen1、電位微分方程電位微分方程1200/,nnEEE 9電位微分方程電位微分方程002120210122100CCDxCDxCDaCD代入數(shù)據(jù)得方程組：代入數(shù)據(jù)得方程組：)0()()(00001xxaxxax)()()(00002axxxaaxx1、電位微分方程電位

6、微分方程10解的解的存在、穩(wěn)定存在、穩(wěn)定及及惟一性惟一性問(wèn)題。問(wèn)題。 靜電場(chǎng)是靜電場(chǎng)是客觀客觀存在的，因此電位微分方程存在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的存在確信無(wú)疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明。證明?？梢宰C明可以證明電位微分方程解電位微分方程解具有具有惟一性惟一性。 惟一性惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是指在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。是否是惟一的。 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否變化很大。所求得的解是否變化很大。存在存在是指在給定的

7、定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。2、電位微分方程解的唯一性電位微分方程解的唯一性11 若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上的電位就是的電位就是第一類邊界第一類邊界。已知已知Sn 因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的電位，因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為為靜電場(chǎng)惟一性定理靜電場(chǎng)惟一性定理。 可見(jiàn)，表面電荷給定等于給定了電位的法可見(jiàn)，表面電荷給定等于給定了電位的法向

8、導(dǎo)數(shù)值。因此，若給定導(dǎo)體表面上的電荷量向?qū)?shù)值。因此，若給定導(dǎo)體表面上的電荷量就是就是第二類邊界。第二類邊界。2、電位微分方程解的唯一性電位微分方程解的唯一性12 靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題 根據(jù)給定的邊根據(jù)給定的邊界條件求解靜電場(chǎng)的界條件求解靜電場(chǎng)的電位分布電位分布。 對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足的電位滿足泊松方程泊松方程方程方程 2 在無(wú)源區(qū)，電位滿足在無(wú)源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程20利用利用格林函數(shù)格林函數(shù)，可以求解泊松方程。，可以求解泊松方程。利用利用分離變量法分離變量法可以求解可以求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程。求

9、解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的另一種簡(jiǎn)單方法是求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的另一種簡(jiǎn)單方法是鏡像法鏡像法。2、電位微分方程解的唯一性電位微分方程解的唯一性133、鏡像法鏡像法鏡像法的實(shí)質(zhì)：鏡像法的實(shí)質(zhì)： 用鏡像電荷（或源）代替邊界，使邊界上的用鏡像電荷（或源）代替邊界，使邊界上的未知函數(shù)（電位未知函數(shù)（電位/ /電場(chǎng)電場(chǎng)/ /磁位磁位/ /磁場(chǎng)）值，或其法向磁場(chǎng)）值，或其法向?qū)?shù)值保持不變，即邊界條件不變；電力線或磁導(dǎo)數(shù)值保持不變，即邊界條件不變；電力線或磁力線在求解區(qū)域中將保持不變，鏡像源一定處在力線在求解區(qū)域中將保持不變，鏡像源一定處在求解區(qū)域之外。求解區(qū)域之外。 依據(jù)：惟一性依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不

10、能改變定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉?lái)的原來(lái)的邊界條件。邊界條件。關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：局限性：僅僅對(duì)于某些僅僅對(duì)于某些特殊特殊的的邊界邊界以及以及特殊特殊的的電電荷分布荷分布才有可能確定其鏡像電荷。才有可能確定其鏡像電荷。 14第一類第一類 點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面例例3.2 3.2 置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為面為h h處的點(diǎn)電荷處的點(diǎn)電荷q q。 3、鏡像法鏡像法15分析：分析：- - - - - - - - - - - - - - - - =0=0可用疊加法求解可

11、用疊加法求解XYXY平面平面Z Z軸軸3、鏡像法鏡像法 當(dāng)點(diǎn)電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面時(shí)，由于靜當(dāng)點(diǎn)電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面時(shí)，由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生等量的異性的感應(yīng)電荷，電感應(yīng)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生等量的異性的感應(yīng)電荷，使用鏡像法時(shí)，可以用一個(gè)異性的鏡像電荷代替使用鏡像法時(shí)，可以用一個(gè)異性的鏡像電荷代替導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷。 電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體的平面，零電位面與電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體的平面，零電位面與導(dǎo)體表面重合。導(dǎo)體表面重合。16解：解：在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)當(dāng)z z0 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)z z=0=0時(shí)，時(shí)，=0=0；當(dāng)當(dāng)z z、| |x x|、| |y y|時(shí)

12、，時(shí)，00。02rqrq041 選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，利用疊加法求選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，利用疊加法求出導(dǎo)體上方無(wú)源區(qū)任一點(diǎn)的電位：出導(dǎo)體上方無(wú)源區(qū)任一點(diǎn)的電位：XYXY平面平面Z Z軸軸3、鏡像法鏡像法172/12222/1222)()(hzyxrhzyxr其中：其中：3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由由 得電場(chǎng)的各分量：得電場(chǎng)的各分量：EXYXY平面平面Z Z軸軸3、鏡像法鏡像法18由由Dn=S可得導(dǎo)體表面（可得導(dǎo)體表面（z=0）的感應(yīng)面電荷密）的感應(yīng)面電荷密度：度： 2/32220)(2hyxqhEzS令令2=x2+y2，則，則導(dǎo)體表面總的感

13、應(yīng)電荷：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷： )()(20222/322020CqhqhhddqhdsqSsi3、鏡像法鏡像法19例例3.3 3.3 設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角，角角，角滿足滿足n=180/，n為正整數(shù)，即為正整數(shù)，即n=1、2、3，交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷( (或一線電或一線電荷荷) )。解：輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像解：輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像, , 直直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。但是只到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。但是只有當(dāng)有當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，最后的鏡像才能和原電荷重為整數(shù)時(shí)，最后的鏡像才能和原電荷重合，鏡像電荷

14、的總數(shù)應(yīng)是合，鏡像電荷的總數(shù)應(yīng)是N=2n-1個(gè)。個(gè)。 3、鏡像法鏡像法20q-q-qq 因?yàn)閷?dǎo)體板無(wú)限大，所以導(dǎo)體板電位為因?yàn)閷?dǎo)體板無(wú)限大，所以導(dǎo)體板電位為0 0，構(gòu)，構(gòu)造圖示的鏡像電荷，保證邊界上的電位永遠(yuǎn)為造圖示的鏡像電荷，保證邊界上的電位永遠(yuǎn)為0 0。qabP1r3r4r2r3、鏡像法鏡像法214321011114rrrrq由疊加法求出空間一點(diǎn)的電位為：由疊加法求出空間一點(diǎn)的電位為：2/122242/122232/122222/12221)()()()()()()()(zbyaxrzbyaxrzbyaxrzbyaxr3、鏡像法鏡像法22思考：如圖導(dǎo)體板的鏡像電荷如何構(gòu)建？思考：如圖導(dǎo)體板

15、的鏡像電荷如何構(gòu)建？q4545。012345678111111114qrrrrrrrryxqqqq-q-q-q-q1r4r2rP3r6r7r8r5r3、鏡像法鏡像法N=2n-1=2*180。/45。-1=7鏡像電荷的總數(shù)鏡像電荷的總數(shù)23第二類第二類 點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球例例 3.4 3.4 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心位于距球心d處，求空間任一點(diǎn)處，求空間任一點(diǎn)p p的電位。的電位。3、鏡像法鏡像法24qqbd3、鏡像法鏡像法解：試用一個(gè)鏡像電荷解：試用一個(gè)鏡像電荷q等效球面上的感應(yīng)面等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)?？紤]

16、對(duì)稱性，電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。考慮對(duì)稱性，鏡像電荷鏡像電荷q應(yīng)置于球心與電荷應(yīng)置于球心與電荷q的連線上。的連線上。 25 球外任一點(diǎn)的電位是電荷球外任一點(diǎn)的電位是電荷q與鏡像電荷與鏡像電荷q產(chǎn)產(chǎn)生電位的疊加：生電位的疊加：201044rqrq因?yàn)榍蛎娼拥?，所以球面上一點(diǎn)有：因?yàn)榍蛎娼拥?，所以球面上一點(diǎn)有： 044200100rqrqr10、r20分別是從分別是從q、q到球面上點(diǎn)到球面上點(diǎn)P0的距離。的距離。3、鏡像法鏡像法26取球面上的點(diǎn)分別取球面上的點(diǎn)分別位于位于A A、B B兩點(diǎn)，可兩點(diǎn)，可以得到確定未知量以得到確定未知量q、b的兩個(gè)方程：的兩個(gè)方程：00baqadqbaqadqqq

17、bdA AB Bdabqdaq2011211()4pqardrpr1r2r3、鏡像法鏡像法于是空間總電位可由于是空間總電位可由q與與q疊加求出。疊加求出。27其它情況：其它情況： 如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等和疊加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。使用兩位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。使用兩個(gè)等效電荷：一個(gè)是個(gè)等效電荷：一個(gè)是q，其位置和大小由前面，其位置和大小由前面的例題確定；另一個(gè)是的例題確定；另一個(gè)是q”，q”=-=-q，q”位于球位于球心。心。 如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)?/p>

18、電荷如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾蒕，則，則q位置位置和大小同上，和大小同上，q”的位置也在原點(diǎn)，但的位置也在原點(diǎn)，但q”= =Q-q。3、鏡像法鏡像法28qqbdA AB Bq”r1r2rp導(dǎo)體球的電位導(dǎo)體球的電位? ?4 4 qqad 由由q 及及q 在球面邊界在球面邊界上形成的電位為上形成的電位為零零，因此，因此必須再引入一個(gè)鏡像電荷必須再引入一個(gè)鏡像電荷q 以產(chǎn)生一定的電位以產(chǎn)生一定的電位。 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球不接地不接地，則，則其電位其電位不為零不為零。 為了保證球面邊界是一個(gè)為了保證球面邊界是一個(gè)等位面等位面，鏡像電荷，鏡像電荷q 必須位必須位于于球心球心。為了滿足。為了滿足電荷守恒定律

19、電荷守恒定律，第二個(gè)鏡像電荷，第二個(gè)鏡像電荷q 必須必須為為 ，以保證導(dǎo)體球表面上總電荷量為以保證導(dǎo)體球表面上總電荷量為零值零值。 qq 3、鏡像法鏡像法29第三類第三類 線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱例例3.5 3.5 設(shè)半徑為設(shè)半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱外，有一的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱外，有一根與其平行的無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線電荷，其線電荷密度根與其平行的無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線電荷，其線電荷密度為為l，與圓柱軸線距離為，與圓柱軸線距離為d1，橫截面如圖。，橫截面如圖。ld1a3、鏡像法鏡像法30求解方法和第二類鏡像法類似：求解方法和第二類鏡像法類似：第一步第一步 構(gòu)造鏡像電荷；構(gòu)造鏡像電荷；第二步第二步 求出

20、空間中電位的表達(dá)式求出空間中電位的表達(dá)式第三步第三步 列出滿足導(dǎo)體表面電位為列出滿足導(dǎo)體表面電位為0 0的邊界條件的邊界條件的方程（組），求解出設(shè)定的未知量。的方程（組），求解出設(shè)定的未知量。第四步第四步 將求出的未知量代入電位的表達(dá)式，將求出的未知量代入電位的表達(dá)式，得到可用的電位表達(dá)式。得到可用的電位表達(dá)式。3、鏡像法鏡像法31第四類第四類 點(diǎn)電荷與無(wú)限大的介質(zhì)平面點(diǎn)電荷與無(wú)限大的介質(zhì)平面例例3.6 3.6 兩種介電常數(shù)分別為兩種介電常數(shù)分別為1、2的介質(zhì)充填的介質(zhì)充填于于z0的空間，在介質(zhì)的空間，在介質(zhì)1 1中點(diǎn)中點(diǎn)(d,0,0)處有處有一點(diǎn)電荷一點(diǎn)電荷q。 123、鏡像法鏡像法32解：

21、分界面上將產(chǎn)生束縛電荷。解：分界面上將產(chǎn)生束縛電荷。計(jì)算介質(zhì)計(jì)算介質(zhì)1中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷用鏡像電荷用鏡像電荷q來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為1。12- - - - - - - - - - - -11qq3、鏡像法鏡像法33 計(jì)算介質(zhì)計(jì)算介質(zhì)2中的電位時(shí)，可將界面上的束縛中的電位時(shí)，可將界面上的束縛電荷與源點(diǎn)電荷用鏡像電荷電荷與源點(diǎn)電荷用鏡像電荷q”來(lái)等效，空間介來(lái)等效，空間介電常數(shù)都為電常數(shù)都為2。12- - - - - - - - - - - -22q”3、鏡像法鏡像法34在介質(zhì)在介質(zhì)1 1中產(chǎn)生的電位為：中產(chǎn)生的電位為：)(4

22、12111rqrq在介質(zhì)在介質(zhì)2 2中產(chǎn)生的電位為：中產(chǎn)生的電位為：3224rq其中，其中，r1、r2和和r3為三個(gè)電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。為三個(gè)電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。3、鏡像法鏡像法35根據(jù)電位的邊界條件：根據(jù)電位的邊界條件：nn22112111qqen 22q”en 3、鏡像法鏡像法36在介質(zhì)邊界上一點(diǎn)，代入電位的表達(dá)式，得：在介質(zhì)邊界上一點(diǎn)，代入電位的表達(dá)式，得：rqrqrq214)(41cos4cos)(41222rqrqrq解得：解得：qq2121qq21223、鏡像法鏡像法374、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法 如果泊松方程或拉普拉斯方程中有兩個(gè)或如果泊松方程或拉普拉斯方程中有

23、兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，在數(shù)學(xué)上就形成了偏微分兩個(gè)以上的自變量，在數(shù)學(xué)上就形成了偏微分方程的求解問(wèn)題。方程的求解問(wèn)題。 一種方法是把各個(gè)自變量分開(kāi)后單獨(dú)求解，一種方法是把各個(gè)自變量分開(kāi)后單獨(dú)求解，然后再組合成總的解，這就是然后再組合成總的解，這就是分離變量法分離變量法。在。在數(shù)學(xué)上通過(guò)把偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程求數(shù)學(xué)上通過(guò)把偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程求解來(lái)實(shí)現(xiàn)。解來(lái)實(shí)現(xiàn)。38直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為：在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為： 0222222zyx可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積：可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積：)()()(),(zZyYxXzyx0

24、222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ可將拉普拉斯方程改寫為：可將拉普拉斯方程改寫為：4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法39直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法然后用然后用XYZ除上式，得：除上式，得：0ZZYYXX上方程中的每項(xiàng)只與一個(gè)變量相關(guān)，所以各項(xiàng)上方程中的每項(xiàng)只與一個(gè)變量相關(guān)，所以各項(xiàng)都是一個(gè)常數(shù)。令：都是一個(gè)常數(shù)。令：2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222zyxkkk4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法40直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法寫成如下的形式：寫成如下的形式：00022222222

25、2ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法41直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法以第一個(gè)方程為例求解集：以第一個(gè)方程為例求解集：當(dāng)當(dāng)kx2=0時(shí)，解為：時(shí)，解為： 式中式中A0，B0為待定積分常數(shù)。為待定積分常數(shù)。xBAxX00)(xjkxjkxxBeAexX)(xkDxkCxXxxsincos)(當(dāng)當(dāng)kx20時(shí)，時(shí)，kx為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，解為：解為： 4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法42直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法DshaxCchaxxXBeAexXaxax)()(當(dāng)當(dāng)kx20時(shí)，令時(shí)，令kx=-j，解

26、為：解為： 4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法43直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法例例 兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，間兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，間距為距為d，其有限端被電位為，其有限端被電位為0的導(dǎo)電平面封閉，且的導(dǎo)電平面封閉，且與半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求與半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位槽中電位分布。分布。 Od dx xy y = 0 = 0 =0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)殡娢粷M足的拉普拉斯方程變?yōu)?22220 xy解解: :選取選取直角直角坐標(biāo)系。槽坐標(biāo)系。槽中電位分布與中電位分布與z無(wú)關(guān)，這無(wú)關(guān)，這是一個(gè)是一個(gè)二維場(chǎng)二維場(chǎng)的問(wèn)題。的問(wèn)題。4、直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法44直角坐標(biāo)系的分離變量法直角坐標(biāo)系的分離變量法( , )( ) ( )x yX x Y y應(yīng)用應(yīng)用分離變量法分離變量法，令，令為了滿足為了滿足 及及 ，Y(y)的解應(yīng)為的解應(yīng)為 ( , )0 xd( , 0)0 x( )sincosyyY yAk yBk y槽中電位滿足的邊界條件為槽中電位滿足的邊界條件為: :0(0, )y ( ,