武漢大學(xué)高等數(shù)學(xué)b重點知識歸納

1、高數(shù)上冊復(fù)習(xí)考試2009 年 12 月 15 h第一章函數(shù)與極限一、函數(shù)認(rèn)識一些常用函數(shù)和初等函2求函數(shù)的自然定義域。1.極限的計算二、極限(1) 善丁恒等化簡和極限的四則運算法則(2) 常用的計算方法(a) 常用極限lim-ht80, lim qn =0(q v 1), lim y/n = 1, lim 換=1(° > 0), lim 1/(")"t8>8f(n)(/(n) t x ), liml + g(n)g(n)= e ( g(n) t 0 ),lim7?t8sin /(/?)/()(b) 一些常用的處理方法(i) 分子分母都除以n的最高次幕。

2、例如:2z?+4/?+7a?n6 +6/15 -n32 +心+ 7厶 n n a a r1 + 6-n n2n4 +4/?3 +ln2n6 +6n5 一 ft'+ 4丄+ 7乙1 + 6n nvh2 +3/? + vh + 2 vn4 +5«3hn)(小一冷g(n)(ii) 根號差的消除。例如：j/o) 一 jg()+(j/02)yygs) +(j/0)hmgoi)3 +j/s)(mgs) )4(iii) 指數(shù)函數(shù)的極限。linu心)怛(mu(n) >0,limv(/2)都存在)。 n>8brt8/；>00/?>00(iv) 利用指數(shù)函數(shù)的極限。當(dāng) l

3、im /(«) =1 時,【/(n)tg(")+ /(h)-17(«h 川>8= liml 4- f(n) -1">8ht8lim /(/?)-lg(n)ge(v) 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限可以用洛必達(dá)法則。lim/(7i)二 lim f(x)"t8xt+8(vi)利用兩邊夾原理。把/(n)分別縮小、擴大一點點得簡單的g(n) > h(n), g(n) < f(n) < h(n),使容易求得 lim g(n) = limh(n) = a ,則 lim f(n) = a。n>8h>«>/?>

4、«>(c) 當(dāng)x”用遞歸式給出時(i)用數(shù)學(xué)歸納法證明占是單調(diào)有界的，從而lim乙二a存在;ht8(ii)對乙的遞歸式兩邊取極限得關(guān)于a的方程，再解出a。(d) 記得一些等價關(guān)系當(dāng) limf(ri) = 0 時,ht8 sin /(/?)f(n)，tan f(n)/(n)，arcsin f(n)/(n)，arctan f(n)f(n)1 cos f(n)舟/()，1 + /(n)p af(n), efn -1 f(n), lnl + /(;?) /(n)(3) 函數(shù)極限的計算(a) (2)中常用的計算方法對函數(shù)的六種極限都仍然適用。(b) 如果已知/(兀)在x。點連續(xù)，貝i l

5、im f(x) = f(xq) oxt%(c) 記得一些等價關(guān)系。(lim表示六種極限之一)當(dāng) lim f(x) = 0 時，sin /(x)/(%), tan f(x)/(x), arcsin /(x)/(x), arctan /(x)/(%)1 cos f(x)/(x)2, 1 + /(x)p af(x), ef(x) -1 fx), lnl + /(x) /(x)(d) (lim表示六種極限之一)當(dāng) lim/(x) = l 時,i .(1/()-iku)lim/(x)gu) = liml + f (兀)一 17喬1八心皿)=1冰1 + /(兀)-1吋丨(e)利用兩邊夾原理。把/分別縮小、

6、擴大一點點得簡單的g、加兀)，g(x) < /*(兀)5 力(兀)，使容易求得 limg(x) = lim/z(x) = a ,貝!j lim f(x) = a o(f)不定式的極限(lim表示六種極限之一)當(dāng)極限是°或二型的不定式吋，可用洛必達(dá)法則: 0oo(洛必達(dá)法則可以反復(fù)應(yīng)用，但每次應(yīng)用都要先檢查類型。) (ii)對于os型的不定式，先變形，再用洛必達(dá)法則。 lim/(x)g(x)= lim罕=血止l - - /u)fmlim g(x)(iii)對于o°、r> &型的不定式。goolim/(x)g(r) = hmesmlnm = ,img(x),

7、n/(x) = e = e(iv)對于8 8型的不定式，先計算成一個式子再計算。(g)女口果= c h 0 ,貝lj limg(x) = 0 « lim f(x) = 0 gmg(x)2極限的證明(1)證明lim f(n) = a的格式幵一>8證.vr>0,(打草稿從不等式|/(/7)一 a| v £解出心n® (必要吋將|/() - a|放大一點點得一個簡單的 g(/i) > |/(n)- a|,再從g(n) v £解岀斤 > n(£)(*)取 n = n(e) o 當(dāng) n> n 吋，(由n> n正確推lb

8、 |/(n) - a| <(一般是(*)的倒推)故 lim/(n) = aot8證明lim /(x) = a的格式xt%證.v£>o,(打草稿從不等式|/(x)-a| v £解lb|x-x0|<(£)(必要時將f(x)-a放大一點、 點得一個簡單的 g(x) > |/(x)-a|,再從 g(x) < e 解出 |x-x0|< /(£)(*)取力二<?(£)o當(dāng)卜一兀()| v 5時，(由 |x-x0| < 8正確推lb |/(x)- a| < £ (一般是(*)的倒推)故 lim

9、/(x) = aoxt切(其它類型極限的證明格式完全類似。)(2)證明lim/(/7)存在但不管它是什么。ht8用數(shù)學(xué)歸納法證明/()單調(diào)并且有界，再根據(jù)單調(diào)有界原理得出結(jié)論。三、連續(xù)性和間斷點1 . /(x)在 x0 點連續(xù) o lim f(x) = /(心)o lim /(x) = lim /(x0) = f(xq)xt.切xt坊xt亦要證明/(尢)在無o點連續(xù)就是要證明lim /(x) = /(兀0);如果兀0是分段點，則ho要證明 lim /(%) = lim /(x0) = /(x0)。x>.r02 間斷點。(1) 找間斷點如果/(%)在x0的兩邊都有定義但/(x°)

10、沒有定義，貝!j x0是/(x)的間斷點; 分段函數(shù)的分段點可能是它的間斷點。(2) 間斷點分類(a) 如果x。是于(兀)的間斷點并且lim /(兀)和lim /(x)都存在，則兀。是第一類間xt坊xt心斷點。(b) 如果lim f(x)或至少有一個不存在，則是第二類間斷點。(c) 如果lim /(x)存在(即lim /(x)=lim /(x0)都存在),但/(兀°)沒有定義或x *x t.y,x aqlim /(x)h /(x0),則兀()是可除間斷點。重新定義/(兀o)=lim /(兀)可使兀()變 a>x0xtx。成連續(xù)點。3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)零點存在定理。(2

11、)介值定理。(3)最值定理。第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的計算1. 用定義計算導(dǎo)當(dāng)要求導(dǎo)的函數(shù)不是初等函數(shù)時，比如分段函數(shù)的分段點或函數(shù)沒有具體表 示式時，直接用定義計算它在兀。點的導(dǎo)數(shù)。/u)lim 用。+心)/cu = lim /(u)mto ax 心toarx xq2用求導(dǎo)公式計算導(dǎo)數(shù)當(dāng)要求導(dǎo)的函數(shù)是初等函數(shù)時，用求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。要記 熟用熟相關(guān)公式。3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(1)一次復(fù)合如果 y = f(uu =(p(x), y =,則v =牛=/(0(兀)=-7- /(0(q) = fx(p(x)(px)axaxdy _ dy dudx du dx(2) 多次復(fù)合女i口果 y =

12、f(uu =(p(x)9 x = y/(t y = f (t),則字=/(似(/) = -j- /(俠歹)=f'ww )(p' w )屮 atdxdy du dxdu dx dt更多層次的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法類推。4隱函數(shù)求導(dǎo)(1) 一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)步驟：(a) 把y看成兀的函數(shù)吋，f(%,y) = 0是一個恒等式;(b) 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法對恒等式f(x,y) = o兩邊對兀求導(dǎo)(求導(dǎo)時記得y中有x )得新的怛等式g(x,y,)/)二0；(c) 從g(兀,y,y') = 0解ihyf = d(x,刃。(2)要求二階導(dǎo)數(shù)時，有兩種方法：(a) 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法恒等式g(x

13、, y, y) = 0兩邊對x求導(dǎo)(求導(dǎo)時記得y和)/ 屮都有x)得新的恒等式h(x, y, y： y") = 0 ,再從h (x, y, y； /) = 0解出 y" = e(x, y, y),最后代入 y = d(x, y)得 y"=e(x, y, d(x, y)。(b) 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法恒等式/ = d(x,y)兩邊對兀求導(dǎo)(求導(dǎo)吋記得)沖有x )得 y" = f(兀,y,)，),最后代入 y = d(x. y)得 y" = f(x, y, d(x, y)。更高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法類推。5參數(shù)表示的函數(shù)求導(dǎo)處)表示的函數(shù)y = y(x)在/

14、點的一階導(dǎo)數(shù)dy/ dy dt 以dx dx 0（f）dt(2)要求二階導(dǎo)數(shù)時，可對 _表示的函數(shù)p = p(x)再次求導(dǎo):p - > _ .、0(/)更高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法類推。6對數(shù)求導(dǎo)法u（xy（x）=嚴(yán)）|噸）(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法)二、高階導(dǎo)數(shù)1. 常用函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)其中pn（x）= a0 +%兀+ %0。(sin x)(w,> = sin(x + )2(cosx)(w) =cos(x +巴勺(-l)wm!xw+,ln(l + x)(w) =(_l)z(加一1)!(1 + b2萊布尼茨公式(“)(”)=£c仙嚴(yán))k=0與二項式公式完全類彳以。嗚別專意：當(dāng)比是低次多項式吋

15、，公式中的項數(shù)很少，非常簡單。三、微分的計算1. 函數(shù)y二/(兀)在點的微分dy = fx)dx2. 當(dāng)y = f(x),x =(p(t)復(fù)合函數(shù)時，微分公式也是dy = fx)dx3. ay = dy + o(ar) = fx)dx4- o(6te),否則不可微。四、可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)o可微=> 連續(xù) 但連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)、可微。例如：y=|x|, x=0點。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的意義廠（勸是曲線y = /（x）在兀點切線的斜率；如果的）是路程函數(shù)，則/是在 時間r時的速度；如果卩是速度函數(shù)，貝2（f）是在時間f時的加速度。二、中值定理1費馬定理如果兀0是/

16、（兀）的極值點，并且廠（兀0）存在，則/z（xo） = o,即兀0是駐點。費馬定理是中值定理的基礎(chǔ)。2羅爾定理了 （兀）在閉區(qū)間a, b止連續(xù);條件：< /（兀）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；/=/）結(jié)論：至少存在一點§ w （a,b）使得廣©=0。羅爾定理的三個條件，如果缺少一個，結(jié)論就得不到保證。例如：x.0 < x < 1iiii/（x）=x,（o<x<i）oi u, x l3拉格朗日中值定理爭件.在閉區(qū)間b，引上連續(xù)；八/（x）在開區(qū)間（o,b）rt可導(dǎo)結(jié)論：至少存在一點矗上）使得廠©"）73）。b-a拉格朗口屮值定理的

17、兩個條件，如果缺少一個，結(jié)論就得不到保證。例如：x. 0<x<iiiifm = <； /（x）=|4（|l）oi u,= 1如果/（x）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，兀0，兀0+aa芝（d,b）,則存在oe（0,1）使得/'（x（）+ 心）=/（x0） + fx（ + 如）心其中& =上勺是§的分比。這就是有限增量公式。4柯西中值定理/（兀）和f（x）在閉區(qū)間肚引上連續(xù)； 條件：< /（兀）和f（x）在開區(qū)間（°,方）可導(dǎo);在開區(qū)間上沖尸'（兀）北0結(jié)論：至少存在一點 dm使得理 =/（?_/。f）f（b）-f（a）5中值定理的證明題。

18、方法是湊一個函數(shù)應(yīng)用相應(yīng)的中值定理。注意到：卜/鞏尤=e/（a）g/（x） + e/（a）f/（x）g（x）=/玄+加叫/gcx）7 二"以（兀）+ 加八3（兀）屮有一項多一部分f（x）o三、泰勒公式1泰勒公式fm = f（兀0 ） + ' ："）（兀一兀0）+ （兀一兀0 ）2 + + _7 （兀一兀0）" + rq） 1!2!tv.其中余項r”（兀）的主要形式有（1）拉格朗口余項f 5+1）（®心（x）=（兀一兀。）曲，（纟在兀0與兀之間）（n +1）!（2）皮亞若余項心（兀）=。（兀-勺）"）。如果|/（w+,）（x）|<m

19、 ,貝山用斤次泰勒多項式1!2!rv.近似代替/（x）產(chǎn)生的誤差估計為"+l2 為備用,熟記一些常用函數(shù)的麥克勞琳公式(心=0的泰勒公式)1!2!n!+嚴(yán)(7? + 1)!ln(l + x)= x 兀 2 + 兀 3 + 23(一 1)”嚴(yán)(" + 1)(1 +禺)曲丄 315sinx = x” + x3!5!i (j)心嚴(yán) (2m-1)!sin 0x +(2m+ 1)2(2m+ 1)!cosx = l-丄 f+丄*2!4!.+(t)"' 乂2加 + cos0 + o + l);r兀 (2m)!(2 加+ 2)!2m2m+23用間接法寫函數(shù)的泰勒公式(1)

20、作變換 t = x-xq： /(x) = f(xq + 0 ；(2)寫岀/(x°+0關(guān)于的麥克勞琳公式:(a) 適當(dāng)恒等化簡，把某組東西看成一個整體，使函數(shù)變成麥克勞琳公式 已知的函數(shù)；(b) 利用已知寫岀麥克勞琳公式；(c) 整理。(3)代回變量t = x-x.o4. 用函數(shù)的泰勒公式求極限.四、求極值、最值1極值問題(1) 極值點的范圍根據(jù)費馬定理，口 x)極值點的范圍：全部導(dǎo)數(shù)不存在的點和f(x) = 0的全 部解。(2) 求極值的步驟(a)求出廣(兀)不存在的全部點：兀，兀2,，兀刃；求出fx) = 0的全部解：，匚。(b) 超處用廠或廠區(qū))判斷旺是否極值點，是極大值點還是極

21、小值點； 點用廣(勸或定義判斷心是否極值點，是極大值點還是極小值點。一定要 有明確的結(jié)論。用fx)判斷:'設(shè)/(朗在兀點連續(xù),在旺的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。v若在石的左邊附近廠(兀)>0,在兀的右邊附近廠(x)vo,則xf(x)的極大值點。< (ii)若在兀的左邊附近廠(兀)<0,在兀的右邊附近廠>0,貝忱是門兀)的極小值點。 (iii)若廠(兀)在旺的左右附近同號，貝比不是/(無)的極值點。設(shè)廠(兀)存在且廣a )=0。用廣匕)判斷:如果廠a)vo,則xf(x)的極大值點。(ii)如果廠(毎)> 0,貝収是/(兀)的極小值點。(c) 必要時求出極值。2求最值(

22、1)一般情況(a) 最值點的范圍/(x)最值點的范圍：全部導(dǎo)數(shù)不存在的點和f(x) = 0的全部解以及端點。(b) 在a,b上求最值的步驟(1) 求出廣(兀)不存在的全部點:兀1，兀2,，兀加；求出fx) = 0的全部解：，匚。(ii)znax = max f(。)j(b) /min 二 minf(a f(b/(%,),/(?！?j(fif(tn)相應(yīng)的點為相應(yīng)的最值點。(如果求最值的區(qū)間是s,b)、(a,切或(o,b),貝ij沒有 的端點就不在考慮之內(nèi)。)(2) 特殊情況如果(i) 根據(jù)問題的實際能判斷得知/(x)的最大(小)值肯定在(a,b)內(nèi)取得；(ii) 在(a,b)內(nèi)八兀)不存在或f

23、x) = 0只有一個點兀°。則兀。就是/(兀)的最大(小)值點。五、單調(diào)區(qū)間，凸性、拐點，漸近線1單調(diào)區(qū)間求單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）求出廣不存在和fx） = 0的全部點:兀1，兀2,，兀加。以兀、兀2、?！睘?分點分成加+ 1個小區(qū)間；（2）/在fx） > （>）0的小區(qū)間屮（嚴(yán)格）單調(diào)上升；在fx） < （<）0的小區(qū) 間中（嚴(yán)格）單調(diào)下降。2凸性、拐點求凸性區(qū)間、拐點的步驟：（1）求出廠不存在和/"二0的全部點：兀，兀2,竝。以兀|、兀2、心為 分點分成加+ 1個小區(qū)間；（2）用（兀）判斷每個小區(qū)間的凸性： j在廠（乂）>0的小區(qū)間，/（兀）

24、（的圖形）是下凸的。< 0的小區(qū)間，/（x）（的圖形）是上凸的。（3）如果兀左右兩邊的凸性相反，則（乞,/（兀）是拐點；如果曲左右兩邊的凸性相同，則（x,.,/（x,）不是拐點。3 漸近線（1）垂直漸近線如果lim /（x） = oo ,貝lj x = x（）是y =/（x）的垂直漸近線。（可能不只一條。） xt對（2）斜漸近線（包括水平漸近線）如果a = lim, b = lim /（x） - cixxt±oo 兀xt±«>則y = axrby = /（x）的漸近線。4曲率和曲率半徑第四章不定積分1. 原函數(shù)如果fx) = f(x),貝!j f(兀)

25、稱為/(x)的一個原函數(shù)。2不定積分的概念固定/(x)的隨便一個原函數(shù)f(x), f(x)的全部原函數(shù)f(x) + c稱為f(x)的 不定積分j f(x)cbc = f(x) + c其中c是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。因此気 fgdx = f(x),町 f(x)dx = f(x)dxj fx)dx = j df(x) = f(x) + c3不定積分的計算(1)概說計算“必就是要找到/的哩便一個原函數(shù)f，然后就得初等函數(shù)不定積分的計算首先要記熟用熟基木積分表和常用的積分表。 千方百計地把要做的積分化為積分表中的積分。j fx)dx = f(x) + c(2)(a)(b)(i) 利用線性性計算不定積分

26、jkfx)dx = kjfx)dx + c, j/(x) 土= j/x)dx ± j gx)dx + c(ii) 第一換元法j f(p(x)(px)dx = j f(u)du)+ c快速的第一換元法就是湊微分法：j f(p(x)(pxx)dx =j f(p(x)d(p(x)(iii)第二換元法找一個適當(dāng)?shù)淖儞Qx =(p,則f(x)dx=妙(圖杯)+ c換元法的意義在于右邊的積分比左邊的積分簡單。第二換元法主耍用來解決一些積分困難。比如根號等。木難b d + +大 數(shù) 指 母 分2x-2vcz2d27x2 +2變換/- b d + +6 ff-x11 -=x什么難住你，就用換元法除掉它

27、!(iv)分步積分法j vudx (j udv = uv-j vdu)原則:鏈不變復(fù)雜 >八 反、對、幕、，二、指u v如果經(jīng)兒次分步積分乂出現(xiàn)左邊的積分，就用代數(shù)方法解出。(v) 當(dāng)有or'+bx + c時©如果俶$ +bx + c = d(x-a)(x-0)有實根，則拆開成兩項嚴(yán))心 ax +/zx + c1cicx #)如果cix2+bx + c沒有實根，則先配方(b、b 'x +<2d丿2a、2l 2a)b2cix +bx + ccl x-i 2ci)+ c-4a(vi) 有理函數(shù)的積分假分式(加n斤) 先用多項式除法0(x)其中hnl_n (x)

28、是多項式，u v /:。真分式(m < /i) 分解因式(設(shè)q”的最高次系數(shù)是1)q (x)=(兀一q )1 <x-q(x+p/+q» (x+pd+q步 待定系數(shù)分解室亠丄+亠+亠+=+qq）（兀一糾）（尢一 q|）|（兀一色）（尢一色）vxv（“-®）"（x-©）"mb + n：m'&x+n.mx + nm；f + n；(無+“丿 + 彳)(兀+pa + qj 1(x+p + qj(x+p丿+ 幺)vv-（x+"x+4 ）幻（x+pfx+q（ ）kl 把上式右邊形式地加起來，比較兩邊系數(shù)得一個方程組，解此

29、方程組得待定系 數(shù)的值，代回上式即分解成功。叭鉀變成幾個簡單積分af adx = id(x-a) = anx-a + c x-ax-aar a17 dx = - d(x-a) = (-la) +c (1>1)x-a)x-a)xa)jv +121pq-、2+ 1、2 兀+p 2丿a，arctanmx+n t m：dx =x + px + 62c2n2x+ /? +p,m 心勺q + px + q2宀： + /x+w）+勺2np一dx+ px + qmx + n , m r : =兀 2 + px + q)2c2n2兀+ +p*j m 心 (%2 4- px + q)22npldxf px

30、+ qjp2 i；-du =丄 u2+a2"1a2ir +q-(-1)丿論+冷"x .2uu = tan ， sin x =2l + u2sin x, cos x)dx = j /?2w 1 i/2t9 1 . . 211 +弘1 + /廣丿1 + % 其中r是有理式。由于麻煩，萬能變換應(yīng)用作最后一招。2 tdu(viii)sin" xcosm xdx 的計算a)當(dāng)加是奇數(shù)時，sin'1 xcosw, xdx = jsinn x(l - sin2 x) 2 dsin兀；當(dāng) n 是奇數(shù)時,sin71 xcos,w xdx = - cosm x(l - cos

31、2 x) 2 dcosx ；b)當(dāng)m都是偶數(shù)時，jsin"兀cos'" xdx =1 - cos 2兀)2“ + cos 2兀'4 2 )< 2 )nm2dx。1 >2/ (1)(/ + / 廠 2/(p _ 1)j 2+q2=p2/(1)(/+/廠 然后遞推。有理函數(shù)的積分總可以積出來。但比較麻煩，應(yīng)用作最后一招。(vii) 萬能變換1% 2j27cosx =7， dx =-du1 + u 1 + w不定積分技巧性強，方法靈活。耍一切方法綜合運用，一切通過試!第五章定積分、定積分的概念1.定積分定義的四步(1)分害0: a = x( <

32、x2 << 兀i < 兀=b。= xi -。a = maxa. |。(2)'近似”：v & 心,，f (乙)心。(3)求和：xm)- o/=1(4)取極限：血£能)心“極限存在，打心a,積分存在可積 兄t0臺極限不存在，積分不存在不可積補充定義 f(x)dx = 0,£ fx)dx = -£ fx)dx2定積分的幾何意義(1) 當(dāng) f(x)>o,a<b時，f f(x)dx =由“ y = o,y = f(x),x = a,x = b ” 圍成曲ja邊梯形的面積。(2) 當(dāng) f(x)<o,a<b 吋，f/?

33、f(x)dx = tl u y = 0,y = f(x).x = a.x = b ” 圍成曲ja邊梯形的面積的負(fù)值。(3) 當(dāng)/(兀)可正可負(fù),a<h 時，fx)dx -由 u y = 0, y = /(x),x = a,x = hv 圍成曲邊梯形面積的代數(shù)和。(4) 當(dāng)/是速度函數(shù)時，力二物體從時間d到時間b的運動路程。1 .線性性2可加性二、定積分的性質(zhì)j：妙(x) ± i g(x)m =fx)dx±l g(qdxbrcchi f(x)dx = i fx)dx + f(x)dxajajcg,b,c不管哪個大哪個小，積分能做就行。3 單調(diào)性yn < f(x)

34、< m1a<ba m(b 一 a) s j fx)dx <m (b 一 a)>a<bbni f(x)dx 0, <q<>/(兀中a<bbn fbfx)clx g(x)dxx<ya4積分估計5積分中值定理fx)dx = f)(b-a)(其中§w a,b) j"其中/(x)在s,b上連續(xù)。三、上限的函數(shù)上限的函數(shù)f(x)= xf(t)dt是/(x)的一個原函數(shù)ja尸=?/(')力二/dxjad fb j= -f(x)dxjx廣/力=/(0(兀)0(兀)dxjad rb _f dt = -f(0(無)(兀)dxf

35、r)/(/)=/(0(兀)爐(兀)-/(妙(x)(/(x)dx j*(x)四、定積分的計算1牛頓萊布尼茨公式£ fmdx = fml = f(b) f 其中f(_r)是/(力的隨便一個原函數(shù)。因此，先用不定積分算出/(對的原函數(shù)f(x),再用牛頓萊布尼茨公式計算定積分f(x)dxc2換元法f fx)dx =/爐憶力jaja其中x =(p是適當(dāng)選好的變換，上下限跟蹤b = 0(0)4 =俠。)。左右相等，哪個容易計算就計算哪個。定積分換元法也可解決一些積分困難。3分步積分法j ux)vx)dx = w(x)v(x) 一( vx)ux)dx原則:u(x)dv(x) = w(x)v(x)

36、v(x)du(x)不變復(fù)雜、./ v o反、對、幕、三、指如果經(jīng)幾次分步積分又出現(xiàn)左邊的積分，就用代數(shù)方法解出。4.當(dāng)/（兀）是奇函數(shù)時rj_qfx)dx = 0五、反常積分1. 無窮限積分r+oort| fx)dx = lim | fx)dxja/>+oo jai f(x)dx = lim | f(x)dxj8t>oo jrf f(x)dx = lim f fx)dx- lim f f(x)dxjco/卜8 jcr>oo jr *極限(都)存在時積分收斂；否則積分發(fā)散。/和廠完全沒有關(guān)系。c可以是0。2無界函數(shù)積分無界函數(shù)按通常意義積分都是發(fā)散的。如果/（兀）在心附近無界，

37、則心稱為/（兀）的一個瑕玷。rcrc-trarai f(x)dx= lim i f(x)dx, f(x)dx = lim | f(x)dxjajt()4 jajcr->()+ jc+r其中c是/（x）在積分區(qū)間上唯一的瑕玷，上限大于下限。 fb_tf(x)dx+ lim fx)dxa+tqto* jc其中q和b是/（x）在積分區(qū)間上僅有的瑕玷，a<c<b.極限（都）存在時積分收斂；否則積分發(fā)散。/和萬完全沒有關(guān)系。a<c<b.當(dāng)積分區(qū)間中有幾個瑕玷時，以這些瑕玷為分點，分成幾個小區(qū)間的積分。3反常積分也可換元或分部積分。r+84- i嚴(yán)，p> f'

38、1 7n 1,| dx = 1jo 丫"+ 8 p < 11i:，p v11-p+ oo p > 1(1)則r° fdx必收斂，稱為絕對收斂。5 反常積分審斂。以下設(shè)/cug(x)為非負(fù)函數(shù)。(2) fx)dx收斂的充要條件是f(x) = pf(t)dt在g,+oo)有界。jaju(3)如果在a+oo)恒有/(x)<g(x),則(i) £ g(x)cbc收斂則fx)dx也收斂；jh-ooa4-oo(ii) fx)dx發(fā)散則g(x)dx也發(fā)散。(4)設(shè)= 則xt+8 &(尤)(i)如果ovkv+oo,則£°°f

39、x)dx和g(無皿同斂散；roop+oogmdx收斂，則fx)dx也收斂；(iii)如果£ = +00且g(x)dx發(fā)散，則/張也發(fā)散 jaja(5) 在(3)、(4)中使用g(兀)=2并注意到4。x(6)無界函數(shù)的審斂與(1)-類似。在(5)中用占代替占。第六章定積分的應(yīng)用1微元法定積分的應(yīng)用就是用定積分計算某個量uebt/ = £ f(x)dx其中s,b是u的分布區(qū)間。微元法的步驟是：(1) 找出的分布區(qū)間xg a9b o在切上任給兀和它的增量力。(/在a,兀分布的部分量是x的函數(shù)(7(兀)o(2) 計算岀在x.x + dx上的分布量u (x) = f(x)dx +。(

40、如所以微元du(x)= fx)dx與”(%)相差。(力)o(3)對dux) = f(x)dx兩邊積分u =u(b)-ua) = fx)dx2面積的計算(1)兩曲線間曲邊梯形的面積如下圖，/,(%)</2(x)o面積a = fl(x)-f2(x)dx(2)極坐標(biāo)情形女li下圖，"& = a,& = 0,p = /?(&) ” 圍得圖形的面積如 果 圖 形 由 “&二 a, & 二 0, /?二 5 /?二 a ” 圍成，則a = a2-a1其中每是"& = q, & = 0, p = 02（&）o的面積；a

41、】是“ & = a，& = 0,/? = /?(&) ” 的面積。如右圖。由直角坐標(biāo)方程寫極坐標(biāo)方程的方法：把$ * cos ?代入曲線的直角坐標(biāo)方程住y)二0得f(p cos仇° sin &) = 0 , y = psmo再從后式解出p二p即是曲線的極坐標(biāo)方程。個內(nèi)徑為x外徑為兀 + czr高為.f(x)的空心圓柱殼。所以3體積的計算vy = 2龍j xfx)dx(2)截面面積可計算的幾何體的體積設(shè)幾何體分布在無軸的a,b之間，x點處垂直于x軸的截面面積a(x)都可計算，則幾何體的體積v = j ax)clx其中a(x)要首先計算出來。4曲線弧長的計

42、算(1)設(shè)曲線(右圖)方程為參數(shù)方程l：x = x(t) y = y(0a = x(a),b =兀(0) oac < ad<ac + cd 0 < 弧ad -ac<cd =。(如=o(jr)因此，弧長元素或說弧長微分ds = ac = yjdx2 -dy2 =dt弧長s=+ya)fdt( *)x = x1仃、(a<x<b)因此弧長2 j: jl+ /©)認(rèn)(2)設(shè)曲線方程為y = /(x) (a<x<b)9則它的參數(shù)方程(兀為參數(shù))為(3)設(shè)曲線方程為極坐標(biāo)方程p = p則它的參數(shù)方程為x = p(0) cosff y = p(0)si

43、n&代入(*)得弧長5定積分的物理應(yīng)用s =jp 2 + 0(0)2 dx(1)設(shè)曲線l：x = x(t)在(x(/),y(/)點的線密度為p，貝lj曲 y =)心)線的質(zhì)量加二p（/）j“a）2+ya）fdt。（2）設(shè)物體從d運動到b,受到外力f（x）,則外力做的功w = f f（x）dx oja（3）當(dāng)長度為切（液而為0）的而垂直放在液體屮時，液體對而的壓力f = pgxlx）clx ,其中/（兀）為面在兀點的寬度，。為液體的密度。 jd（4）質(zhì)量m的線段be對放在原點質(zhì)量加的引力為y算加（5）設(shè)曲線l：x = x（t）a<t <（3）在（x（/）,y（/）點的線密度為

44、/?（/）,則曲（y = y（f）線的靜力矩jx 二卩曲）+ /（/） dt, j $ = £p（r）x（r）7v（）2 + /（）2dt質(zhì)心坐標(biāo)兀=厶,y =厶om m（6）設(shè)曲線l：x = x（t）（a<t</3）在（咖丿）點的線密度為p，則曲（y = y（f）線的轉(zhuǎn)動慣量jx =$（/）jh（/）+ y（/）出,j、=“（/）兀 $（/）+ y（/）2 山(7)bf(x)fdx o交流電im sin wt的有效值務(wù)。函數(shù)/（x）在a,h的平均值1 chy= f f(x)dx,均方根值/二b-aja第七章微分方程一、微分方程及有關(guān)概念1 微分方程含有未知函數(shù)一階或高階

45、導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程。其屮未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為 微分方程的階。/?階微分方程的一般形式為2微分方程的解一個函數(shù)y二/，如果代入（*）成為恒等式f（x,f（xfx ，嚴(yán)）（%）= 0則y = /&）稱為（*）的解。如果（*）的解y = /（x）不含有任意常數(shù)，則稱它為（*）的 一個特解。如果階（*）的解y =）含有/個不可減少的任意常數(shù)，貝ij稱y = /&，g，,cj為（*）的通解。通解一定是微分方程的解,但不丁毎是舍部解。3.微分方程的核心問題：（1）求微分方程的通解，稱為通解問題；（2）求微分方程滿足一定條件（稱為初值條件） 的解，稱為初值問題。單獨一個微分方程提出

46、通解問題；初值問題的提法是（后斤個等式是初值條件）。求微分方程的解（通解或特解）稱為解微分方程。1.初值問題的解法（1） 求出微分方程的通解y = /（x，g，,c”）； （2）用個初值條件確定幾個任意常數(shù)的值，即解關(guān)于g，«”的方程組< 廠 &oc，,c”）=x 把這些g,c”的值代回y二/（x,即得滿足初值條件的解（這步是代數(shù)問題）?？梢姡还苁墙馔ń鈫栴}還是解特解問題，都要求微分方程的通解。記住：一般地說，解微分方程是世界難題。只有兒種特殊類型的微分方程已有簡單可行 的解法。并且，不同類型的微分方程有白己獨有的解法。我們的任務(wù)是：（1）辨認(rèn)各種方程 的類型；（2）

47、熟練各種類型方程獨有的解法。二、辨認(rèn)類型，熟練解法1 已分離變量的微分方程y(,)二 /(兀)稱為已分離變量的微分方程。解法：（注意：不定積分的結(jié)果有任意常數(shù)）yd =打（兀冷yj ydx2. 可分離變量的微分方程 如果一階微分方程fp, y,字=0i dx)(*1)能通過恒等變形化為g(y)dy = f(x)dx(*2)du=ur x dx則稱為xi分離變量的微分方程。解法：（1）分離變量（從（*1）到（*2）稱為分離變量）；（2）隱式通解其中積分的任意常數(shù)已單獨寫出。記?。悍蛛x變量解微分方程的方法是微分方程解法的總根。2. 齊次方程如果方程能恒等地變?yōu)閐ydx則稱為齊次方程。解法：作函數(shù)變

48、換氏=丄，則x代入（*3）得方程dux dx分離變量再兩邊積分得0（w） = in 同 + c其中（心胳,常數(shù)統(tǒng)一寫在右邊。代回得隱式通解丄=ln| + ci兀丿字+畑=qx）ax3. 一階線性微分方程 稱為一階線性微分方程。解法：通解公式十+c其中的不定積分不再寫任意常數(shù)。注意：有的方程把y看成兀的函數(shù)時不是線性方程，但把看成y的函數(shù)時就成了線性 方程。6. 貝努利方程字+嗆）尸皿）八（心0,1）ax稱為貝努利方程。解法：（1）變形廠哼+ p嚴(yán)=qax（2）作變換u = y1-",色二（1-司廠©,變?yōu)榫€性方程dxdx+ （1 - n）px）u = （1 - n）q（x）

49、dx則u =日訕皿（1-說（“"_）啲+ c即嚴(yán)=”-）畑j（1 _ ”）q（x） j 卜"叫認(rèn) + c7. 不含y的二階方程/=/（y）解法：（1）作變換p = y / =羊申二字，變?yōu)橐浑A方程dxdx） dx字=代x, p)dx（2）用一階方稈的解法解得尸(兀,c j = 0（3）再用一階方程的解法解f(2,cj=o不含兀的二階方程解法：（1）作變換p = y用y作新的自變量，=蟲（血=業(yè)=如型=p業(yè), dxdx） dx dy dx dy變?yōu)橐浑A方程卩字= /（y，p）dy（2）用一階方程的解法解得f（y，p，cj = o（3）再用一階方程的解法解f（y, y； c,） = 010.二階常系數(shù)線性方程y" + py + gy = 0解法：（i）求出特征方程r2 + pr 4- = 0的兩個根r,r2； （2）根據(jù)下表確定通解的情況通解r h r2都是實根