(完整版)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)I.定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=axA2+bx+c(a, b, c為常數(shù)，aw0,且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上， a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口 就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=axA2+bx+c (a, b, c 為常數(shù)，aw0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)A2+k 拋物線的頂點(diǎn)P (h, k)交點(diǎn)式：y=a(x-x?(x-x ?僅限于與x軸有交點(diǎn)A (x? , 0)和B (

2、x?,0)的拋物線注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2ak=(4ac-bA2)/4ax?x?=(-b ± V bA2-4ac)/2aIII .二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù) y=xA2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是 一條拋物線。IV .拋物線的性質(zhì)1 .拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = -b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)2 .拋物線有一個(gè)頂點(diǎn) P,坐標(biāo)為：P ( -b/2a , (4ac-bA2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y 軸上；當(dāng)A = bA2-4ac=0時(shí)

3、，P在x軸上。3 .二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。 |a陋大，則拋物線 的開口越小。4 .一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。5 .常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0, c)6 .拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)A = bA2-4ac> 0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。A = bA2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。A = bA2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(

4、x= -b±，bA2 4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)V.二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=axA2+bx+c,當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即 axA2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即 為方程的根。1,二次函數(shù) y=axA2, y=a(x-h)A2, y=a(x-h)A2 +k, y=axA2+bx+c(各式中，aw0) 的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：解析式頂會(huì)坐標(biāo)八2x»0V=ax-hn-2(h, 0)x=h產(chǎn)北S k)

5、x=hy«axA2+bx+c(-b/2a* 4ac-brt21rfJa)x-h/2a jicincon ICOcn當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)A2的圖象可由拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|hW單位得到.當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)A2 +k的圖象；當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h件單位，

6、再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k 的圖象；當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h件單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k 的圖象；因此，研究拋物線 y=axA2+bx+c(aw 0)的圖象，通過配方，將一般式化為 y=a(x-h)A2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚 了.這給畫圖象提供了方便.2 .拋物線y=axA2+bx+c(aw0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下， 對(duì)稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a, 4ac-bA2/4a).3 .拋物線y=axA2+bx+c(

7、aw0),若a>0,當(dāng)x < -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)x > -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x < -b/2a時(shí)，y隨x的增 大而增大；當(dāng)x > -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.4 .拋物線y=axA2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c);HA=bA2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?, 0)和B(x?, 0),其中的x1,x2是 一元二次方程 axA2+bx+c=0(aw0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 AB=|x?x?當(dāng)二。.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0.圖象與x軸

8、沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù) 時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.5 .拋物線y=axA2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),則當(dāng)x= -b/2a時(shí),y最小(大)值 =(4ac-bA2)/4a.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.6 .用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=axA2+bx+c(a 半 0).(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)A2+k(a 半 0).(3