隨機(jī)變量及其分布PPT精品文檔

1、1特征特征隨機(jī)變量的分布與數(shù)字隨機(jī)變量的分布與數(shù)字 2Ch2特特征征隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布與與數(shù)數(shù)字字 2Ch3本節(jié)知識要點：本節(jié)知識要點：2. 理解一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及其性質(zhì)；理解一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及其性質(zhì)；1. 理解一維離散型隨機(jī)變量的概念及性質(zhì)；理解一維離散型隨機(jī)變量的概念及性質(zhì)；3. 熟練求解離散型隨機(jī)變量的分布列和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)熟練求解離散型隨機(jī)變量的分布列和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù). 一一、隨機(jī)變量的概念、隨機(jī)變量的概念 1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.例如，擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)例如

2、，擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù);檢查某元件的壽命檢查某元件的壽命記錄某車站的等車人數(shù)；記錄某車站的等車人數(shù)；6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 2 , 1 , 0), 0 .01分分分分，未未擊擊中中得得擊擊，擊擊中中得得一一個個射射手手對對目目標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行射射 ：擊擊中中 1X：未未擊擊中中 010005000 XPXP2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但可以、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.把試驗結(jié)果數(shù)值化把試驗結(jié)果數(shù)值化. “無無人人等等車車”小小時時之之間間”“元元件件壽壽命命在在1000500 4 辦

3、法是：將辦法是：將基本事件基本事件與一個與一個實數(shù)實數(shù)對應(yīng)對應(yīng)例如，擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面情況例如，擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面情況;,TH 0 , 1 THXX ,0,1)(例如例如 袋內(nèi)有袋內(nèi)有1個紅球，個紅球，1個白球，個白球，1個黑球，從中任個黑球，從中任取一個球，考察取得的球的顏色取一個球，考察取得的球的顏色 . 設(shè)設(shè) 1=“球是紅的球是紅的”， 2=“球是白球是白 的的”， 3=“球是黑的球是黑的” . = 1 ， 2， 3 321,3,2,1)( XX3 , 2 , 1 對于任何一個對于任何一個試驗試驗E的每一個的每一個基本基本結(jié)果（即基本結(jié)果（即基本事件事件） 都可以都可

4、以用一個用一個不同不同的的實數(shù)實數(shù) 與之相與之相對應(yīng)對應(yīng),亦即可以定義不同的一個實亦即可以定義不同的一個實數(shù)數(shù) 來來表征表征試驗的每一個結(jié)果試驗的每一個結(jié)果. X X 1 XP31 2 XP31 5.Def取取不不同同數(shù)數(shù)值值的的量量中中，隨隨機(jī)機(jī)試試驗驗結(jié)結(jié)果果在在隨隨機(jī)機(jī)試試驗驗 E稱為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量， X 簡記為簡記為X.1.通常用通常用字母字母 X、Y、Z 或或 、 、 表示表示隨機(jī)隨機(jī)變量變量.用小寫字母用小寫字母 x, y ,z等表示隨機(jī)變量所取的值等表示隨機(jī)變量所取的值. 2. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X ，有時簡記為，有時簡記為 r.v. X (random variable

5、X)3. r.v.的分類的分類:所有取值可以所有取值可以逐個一一列舉逐個一一列舉 例例1 從一批產(chǎn)品中任抽取從一批產(chǎn)品中任抽取10件，若用件，若用X表示檢測的表示檢測的10件中件中 的廢品數(shù)的廢品數(shù).示成示成“少于兩件廢品”可表“少于兩件廢品”可表20 X示成示成“恰有一件廢品”可表“恰有一件廢品”可表1 X“至少有一件廢品至少有一件廢品” 1 X 10 661事件及事件的概率事件及事件的概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律隨機(jī)變量及其取值規(guī)律表示出現(xiàn)的點數(shù)，表示出現(xiàn)的點數(shù)，以，以對于擲一粒骰子的試驗對于擲一粒骰子的試驗引例引例X iXP)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1( i. 1 Def 如

6、果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X X只可能取有限個或可列個值，則稱只可能取有限個或可列個值，則稱X為為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量. . . 2 Def設(shè)設(shè)X X為離散型為離散型r.v.它的一切可能取值為它的一切可能取值為,21nxxx2 , 1, ixXPpii記記為直觀起見，習(xí)慣上把它們寫成為直觀起見，習(xí)慣上把它們寫成nnpppPxxxX2121.的的概概率率分分布布稱稱為為X 31 XP321 XPXPXP21 X可能取的值是可能取的值是1,2,3,4,5,6“數(shù)數(shù)點點求求和和”7由由性質(zhì)性質(zhì)()可見，事件的概率都可見，事件的概率都 可由可由X的概率分布通過求和得到的概率分布通過求和得到10ip

7、X的分布列的分布列具有下述性質(zhì)：具有下述性質(zhì)：, 2 , 1, 0)1( ipi非非負(fù)負(fù)性性1)2(1 iip規(guī)范性規(guī)范性用用這兩條這兩條性質(zhì)判斷性質(zhì)判斷一個數(shù)列是否是某個一個數(shù)列是否是某個離散型離散型r.v.的概率分布的概率分布nnpppPxxxX2121 BxiipBXP,可可加加性性)3( bXaP ipbxai ,iixXPp “數(shù)點求和”“數(shù)點求和”的分布問題的分布問題求離散型求離散型Xvr.20核心核心是是: : 求出求出 （1）X的所有可能取值的所有可能取值; （2）取各值的概率）取各值的概率 .8的的分分布布列列？問問下下面面給給出出的的是是不不是是某某.2vr例314121

8、11213 的分布列的分布列不是某不是某.vrXP4/12/10123/1的的概概率率分分布布為為：設(shè)設(shè)離離散散型型例例Xvr. 3. 3 , 2 , 1,)32( )1( iaiXPi, 2 , 1,)32( )2( iaiXPi.的的值值求求a解解3211 )1( XPXPXP32 a94 a278 a2738 a3827 a 211 )2(XPXPa32 a2)32( a3)32(32321 aa2 21 a9例例4 4 袋中有袋中有5 5張卡片張卡片, ,其中標(biāo)有數(shù)字其中標(biāo)有數(shù)字1 1的有的有1 1張張, , 標(biāo)有數(shù)字標(biāo)有數(shù)字2 2和和3 3的各有的各有2 2張張. . 從袋中一次隨機(jī)

9、地抽取從袋中一次隨機(jī)地抽取3 3張張, ,用用X表示表示取到的取到的3 3張卡片上的最大數(shù)字張卡片上的最大數(shù)字, , 寫出寫出X的概率分布的概率分布. .的的概概率率分分布布為為：設(shè)設(shè)離離散散型型例例Xvr. 5XP196199123194 1XP 5 . 2XP 1XP 4XP01 XP199 196199 1915 1194196199 .,.,3 ,5. 1的的概概率率分分布布求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為取取到到白白球球的的數(shù)數(shù)目目記記黑黑球球為為止止直直到到取取得得不不放放回回每每次次抽抽取取一一個個個個白白球球個個黑黑球球袋袋內(nèi)內(nèi)有有XXEx10. 1 Def 設(shè)設(shè)X是一個是一個r.v.

10、, ., 如果存在一個如果存在一個非負(fù)可積非負(fù)可積函數(shù)函數(shù)f(x), 使得使得對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù)a 2|X1. 0,00,)(2xxexfx 1)()2( dxxf解解 dxxf)(1 0)(dxxf 0)(dxxf 02dxex 02)2(xdex 21- 0221xe 21 2 1|2XXP112 XPXXP，224- eee16. 1 Def是任意實數(shù)，則稱函數(shù)是任意實數(shù)，則稱函數(shù)，是一個是一個設(shè)設(shè)xvrX. )(xF,的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為X)(xFX記記作作xXP 1)(010 xF |aX a )(20aFaxF處處的的函函數(shù)數(shù)值值在在 .上上的的概概率率，落落在在隨隨

11、機(jī)機(jī)點點aX 30bXaP b a(bXP aXP )()(aFbF aXP 1aXP )(1aF 的的性性質(zhì)質(zhì)分分布布函函數(shù)數(shù))(. 2xF單單調(diào)調(diào)性性)1(則則若若,21xx ；)()(21xFxF 17. 1 Def是任意實數(shù)，則稱函數(shù)是任意實數(shù)，則稱函數(shù)，是一個是一個設(shè)設(shè)xvrX. )(xF,的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為X)(xFX記記作作xXP 的的性性質(zhì)質(zhì)分分布布函函數(shù)數(shù))(. 2xF單單調(diào)調(diào)性性)1(則則若若,21xx ；)()(21xFxF )()2(F, 0)(lim xFx; 1)(lim)( xFFx右連續(xù)性右連續(xù)性)3()(aF )(limxFax .:右右連連續(xù)續(xù)非非負(fù)負(fù)

12、有有界界、單單調(diào)調(diào)不不減減、xF若函數(shù)若函數(shù)F(x)滿足這三條性質(zhì)，滿足這三條性質(zhì)，則它一定是某個則它一定是某個r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù) 18. 1 Def是任意實數(shù)，則稱函數(shù)是任意實數(shù)，則稱函數(shù)，是一個是一個設(shè)設(shè)xvrX. )(xF,的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為X)(xFX記記作作xXP 3. 設(shè)設(shè)X是離散型是離散型r.v.，, 2 , 1, ipxXPiinnpppPxxxX2121)(xXPxF ixXPxxi xxiip“數(shù)點求和”“數(shù)點求和”則則若若是是連連續(xù)續(xù)型型設(shè)設(shè)),(.,. 4xfXvrX)(xXPxF Rxdttfx ，)(的的定定義義；上上式式可可以以作作為為連連續(xù)續(xù)型型

13、.10vr xFxf xdttfxF)()(.20函數(shù)函數(shù)的分布函數(shù)一定是連續(xù)的分布函數(shù)一定是連續(xù)連續(xù)型連續(xù)型 vr19)(.xXPxFvr 的分布函數(shù)的分布函數(shù)離散型離散型 xxiip).(, 1,. 8xFXcXPcXvr分分布布函函數(shù)數(shù)的的求求即即只只取取一一個個值值設(shè)設(shè)例例 解解 xXPxF)(cx cx 01xy0c., 9的的分分布布函函數(shù)數(shù)求求的的概概率率分分布布由由表表給給出出設(shè)設(shè)例例XX解解2 . 04 . 04 . 0201PX )(xF1 x01 x20 x2 x04 . 08.0 xy01 211 21XP4 . 0 1 XP 230XP0 XP4 . 0 20)(10

14、 xFX的概率分布確定的概率分布確定由由求求 分段函數(shù)分段函數(shù))(xXPxF xxkkp 1p21pp 101xx 21xxx 32xxx 4xx 分段疊加分段疊加321ppp 43xxx 概率分布概率分布的的求離散型求離散型由由XvrxF.)(20 分段遞減分段遞減kxxF有分段點：有分段點：階梯形函數(shù)階梯形函數(shù))(, 2 , 1 kkkxXPp 跳跳躍躍度度即即為為的的所所有有取取值值，即即為為Xxk43214321ppppPxxxxX21的分布列的分布列求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)離散型設(shè)離散型XxxxxxFXvr,31318 . 0111 . 010)(.10 例例解解PX311 .10.70.20).(010)(),(. 11xFXAxxAxfxfXvr的的分分布布函函數(shù)數(shù)并并求求出出確確定定系系數(shù)數(shù)其其他他已已知知例例 解解 dxxf)(1dxdxxAdx 110000分段遞減分段遞減22解解 dxxf)(1dxdxxAdx 110000 10dxxA102 xA A2 21 A 其其他他01021)(xxxf11000210)( tttttf xdttfxF)()(函函數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)積積分分區(qū)區(qū)間間選選擇擇被被積積時，時，0 x xdttfxF)()(0 xdt