gll二元隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1gll二元隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布二元隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布(一一)離散型離散型把(，)的所有可能取值與相應(yīng)概率列成表，稱為(，)的聯(lián)合概率分布表。n.21jyyyx1x2xi1j1112ij2122iji1i2ppppppppp.定義3 如果二元隨機(jī)變量(，)所有可能取的數(shù)對為有限或可列個，并且以確定的概率取各個不同的數(shù)對，則稱(，)為二元離散型隨機(jī)變量。第1頁/共31頁也可用一系列等式來表示P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,)稱為與的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有如下性質(zhì)：(1) pij0例1 同一品種的5個產(chǎn)品中，有2個正品。每次從中取1個檢驗質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)

2、2次。證“k=0”表示第k次取到正品，而“k=1”為第k次取到次品。(k=1,2)寫出(1, 2)的聯(lián)合分布律。第2頁/共31頁解：試驗結(jié)果由4個基本事件組成。P(1=0, 2=0)=P(1=0)P(2=0| 1=0)=0.1P(1=0, 2=1)=0.3P(1=1, 2=0)=0.3P(1=1, 2=1)4253=0.3列成聯(lián)合概率分布表：2101010.10.30.30.3第3頁/共31頁二元隨機(jī)變量(，)中，分量(或)的概率分布稱為(，)的關(guān)于(或)的邊緣分布。若已知聯(lián)合分布，則P(=xi)記作pi(1)i=1,2,P(=yj)記作pj(2)j=1,2,pi(1)表示聯(lián)合概率表中第i行各

3、概率之和。它表示，不論取何值，取值xi的概率pj(2)的含義類似。第4頁/共31頁例2 將兩封信隨機(jī)地往編號為I、II、III、IV的4個郵筒內(nèi)投。i表示第i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2)寫出(1， 2)的聯(lián)合分布以及1， 2的邊緣分布。解：試驗共有42種不同的等可能結(jié)果。p12=p21=p22=0第5頁/共31頁列成聯(lián)合分布表：12012210即邊緣分布為第6頁/共31頁對于二元隨機(jī)變量(，)，若P (=yj)0，稱pij/pj(2)(i=1,2,)為在=yj條件下關(guān)于的條件分布。顯然P (=xi|=yj)是非負(fù)的，且對所有i，它們的和為1同樣，若pi(1)0稱為在xi條件下關(guān)于的條件分布。

4、p(=yj|=xi)是非負(fù)的，且對所有j，它們的和為1記為第7頁/共31頁例3 求出例2中在21條件下關(guān)于1的條件分布。解：12012001610162164161164164210161166169)2(jp0故21時， 1的條件分布為第8頁/共31頁例4 反復(fù)擲一顆骰子，直到出現(xiàn)小于5點為止。 表示最后一次擲出的點數(shù)， 表示投擲次數(shù)。求(，)的聯(lián)合分布律，邊緣分布律及條件分布。解：的取值是1，2，3，4的取值是1，2，“=i,j”表示擲了j次，而最后一次擲出i點。前j-1次擲出5點或6點。由于各次擲骰子是相互獨立的。故聯(lián)合分布表為第9頁/共31頁pi(1)41414141條件分布為：第10

5、頁/共31頁第11頁/共31頁(二二)連續(xù)型連續(xù)型它有性質(zhì)：對任意平面區(qū)域D,4x y xy-定義若存在一個非負(fù)函數(shù)使得二元隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x,y),對任意x,y都有F(x,y)=(s,t)dtds則稱( , )是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。( , ),( , )第12頁/共31頁解：P(+ 1)同樣地P( )2110 xy2110 xy第13頁/共31頁分別稱為二元隨機(jī)變量(，)中關(guān)于及關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。求導(dǎo)可得相應(yīng)的概率密度：是關(guān)于的邊緣概率密度。是關(guān)于的邊緣概率密度。第14頁/共31頁解：當(dāng)axb時1xx y dy( )( , )在其它點1xx y dy( )( , )0第15頁/共31

6、頁解：當(dāng)0 x1時1xx y dy( )( , )=0同理可求出第16頁/共31頁(三三)隨機(jī)變量的相互獨立性隨機(jī)變量的相互獨立性判斷獨立的充要條件：pij=pi(1)pj(2)5F x yF x F y 定義對于任何實數(shù)x,y,如果二元隨機(jī)變量( , )的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于 和 的邊緣分布函數(shù)的乘積，即則稱隨機(jī)變量 與 相互獨立。( , )( )( )第17頁/共31頁例8 在例2中1與2是否相互獨立？解：已經(jīng)得到12012001610162164161164164210161166169) 1 (ip161166169)2(jp故1與2不是相互獨立的。第18頁/共31頁例9 擲兩

7、顆骰子，用與分別表示第一顆與第二顆的點數(shù)。與是否獨立。123456111111136363636363611111123636363636361111113363636363636111111436363636363611111153636363636361111116363636363636 可見對所有i,j有pij=pi(1)pj(2)故與是相互獨立的。 1111116666662jp( )第19頁/共31頁例10 例6中的隨機(jī)變量與是否相互獨立？可見，對任何x,y有12x yxy( , )( )( ) 故與相互獨立。第20頁/共31頁211y0y2(y)360其它故與不獨立。例11 例7

8、中的隨機(jī)變量與是否相互獨立？ 第21頁/共31頁4 4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布也有多元函數(shù)f(1,n) 等。(一一)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布定義1 設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值x集合上的函數(shù)。如果對于的每一可能取值x，有另一個隨機(jī)變量的相應(yīng)取值y=f(x)。稱為的函數(shù)，記作=f()。 6789P0.20.40.10.31已知一個正方形的邊長 的分布表為求周長 和面積例的分布律。第22頁/共31頁0.20.40.10.3故的分布表為24383236P0.20.40.10.336496481P0.20.40.10.3第23頁/共31頁解:P(=0)=P (=0)=0.2P(=1)=P (=-1)+P (=1)=0.2+0.1=0.3P(=4)=P (=-2)+P (=2)=0.1+0.4=0.5故的分布為第24頁/共31頁的概率分布表為第25頁/共31頁解：P(+=1)=P(=0, =1)+P(=1,=0)=0.4而P(=1)=P(=1,=1)=0.2第26頁/共31頁456P0520 50 3已知 與 相互獨立，其分布為求布。例的分.23P0 40 6.解：-的取值可以為1，2，3，4P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3)=P(=4)P(=2)+P(=5)P(=3)=0.38類似可算出其它概率。-的概率分布表為12340.1