卡爾曼濾波簡介 - 貴州大學(xué)講義

1、貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué)電路與系統(tǒng)研究所 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 背景介紹：背景介紹： Kalman，匈牙利數(shù)學(xué)家。 卡爾曼濾波器源于他的博士論 文和1960年發(fā)表的論文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（線 性濾波與預(yù)測問題的新方法）。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 估計原理和卡爾曼濾波估計原理和卡爾曼濾波1. 狀態(tài)估計原理狀態(tài)估計原理 2. 為什么要用狀態(tài)估計為什么要用狀態(tài)估計理論理論 3. 經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論 4. 什么是卡爾曼濾波什么

2、是卡爾曼濾波5.卡爾曼濾波器的軟硬件實現(xiàn)卡爾曼濾波器的軟硬件實現(xiàn)6.卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波器的應(yīng)用 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 1.狀態(tài)估計原理狀態(tài)估計原理 狀態(tài)估計是卡爾曼濾波的重要組成部狀態(tài)估計是卡爾曼濾波的重要組成部分。一般來說，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對隨機量進分。一般來說，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對隨機量進行定量推斷就是估計問題，特別是對動態(tài)行定量推斷就是估計問題，特別是對動態(tài)行為的狀態(tài)估計，它能實現(xiàn)實時運行狀態(tài)行為的狀態(tài)估計，它能實現(xiàn)實時運行狀態(tài)的估計和預(yù)測功能。比如對飛行器狀態(tài)估的估計和預(yù)測功能。比如對飛行器狀態(tài)估計。計。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 狀態(tài)估計對

3、于了解和控制一個系統(tǒng)具狀態(tài)估計對于了解和控制一個系統(tǒng)具有重要意義，所應(yīng)用的方法屬于統(tǒng)計學(xué)中有重要意義，所應(yīng)用的方法屬于統(tǒng)計學(xué)中的估計理論。最常用的是最小二乘估計，的估計理論。最常用的是最小二乘估計，線性最小方差估計、最小方差估計、遞推線性最小方差估計、最小方差估計、遞推最小二乘估計等。其他如風(fēng)險準則的貝葉最小二乘估計等。其他如風(fēng)險準則的貝葉斯估計、最大似然估計、隨機逼近等方法斯估計、最大似然估計、隨機逼近等方法也都有應(yīng)用。也都有應(yīng)用。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 受噪聲干擾的狀態(tài)量是個隨機量，不可受噪聲干擾的狀態(tài)量是個隨機量，不可能測得精確值，但可對它進行一系列觀測，能測得精

4、確值，但可對它進行一系列觀測，并依據(jù)一組觀測值，按某種統(tǒng)計觀點對它進并依據(jù)一組觀測值，按某種統(tǒng)計觀點對它進行估計。使估計值盡可能準確地接近真實值行估計。使估計值盡可能準確地接近真實值，這就是最優(yōu)估計。真實值與估計值之差稱，這就是最優(yōu)估計。真實值與估計值之差稱為估計誤差。若估計值的數(shù)學(xué)期望與真實值為估計誤差。若估計值的數(shù)學(xué)期望與真實值相等，這種估計稱為無偏估計。相等，這種估計稱為無偏估計。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 卡爾曼提出的遞推最優(yōu)估計理論，采用卡爾曼提出的遞推最優(yōu)估計理論，采用狀態(tài)空間描述法，在算法采用遞推形式，卡狀態(tài)空間描述法，在算法采用遞推形式，卡爾曼濾波能處理多維

5、和非平穩(wěn)的隨機過程。爾曼濾波能處理多維和非平穩(wěn)的隨機過程。 卡爾曼濾波理論的提出，克服了威納濾卡爾曼濾波理論的提出，克服了威納濾波理論的局限性使其在工程上得到了廣泛的波理論的局限性使其在工程上得到了廣泛的應(yīng)用，尤其在控制、制導(dǎo)、導(dǎo)航、通訊等現(xiàn)應(yīng)用，尤其在控制、制導(dǎo)、導(dǎo)航、通訊等現(xiàn)代工程方面。代工程方面。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所2 2為什么要用狀態(tài)估計理論為什么要用狀態(tài)估計理論 在許多實際問題中，由于隨機過程的存在，常在許多實際問題中，由于隨機過程的存在，常常不能直接獲得系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，需要從夾雜著隨常不能直接獲得系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，需要從夾雜著隨機干擾的觀測信號中分離出系統(tǒng)的狀

6、態(tài)參數(shù)。例如機干擾的觀測信號中分離出系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)。例如，飛機在飛行過程中所處的位置、速度等狀態(tài)參數(shù)，飛機在飛行過程中所處的位置、速度等狀態(tài)參數(shù)需要通過雷達或其它測量裝置進行觀測，而雷達等需要通過雷達或其它測量裝置進行觀測，而雷達等測量裝置也存在隨機干擾，因此在觀測到飛機的位測量裝置也存在隨機干擾，因此在觀測到飛機的位置、速度等信號中就夾雜著隨機干擾，要想正確地置、速度等信號中就夾雜著隨機干擾，要想正確地得到飛機的狀態(tài)參數(shù)是不可能的，只能根據(jù)觀測到得到飛機的狀態(tài)參數(shù)是不可能的，只能根據(jù)觀測到的信號來估計和預(yù)測飛機的狀態(tài)，這就是估計問題的信號來估計和預(yù)測飛機的狀態(tài)，這就是估計問題。貴州 貴陽 花

7、溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 從觀測到的信號中估計出狀態(tài)的估值，從觀測到的信號中估計出狀態(tài)的估值，并且希望估值與狀態(tài)的真值越小越好，即要并且希望估值與狀態(tài)的真值越小越好，即要求有：求有： 成立；成立； 因此存在最優(yōu)估計問題，這就是卡爾曼因此存在最優(yōu)估計問題，這就是卡爾曼濾波。濾波。 卡爾曼濾波的最優(yōu)估計需滿足以下三個卡爾曼濾波的最優(yōu)估計需滿足以下三個條件：條件： 無偏性，即估計值的均值等于狀態(tài)的無偏性，即估計值的均值等于狀態(tài)的真值；真值； 估計的方差最?。还烙嫷姆讲钭钚。?實時性。實時性。min)()( txtx貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 從以上分析可以看出卡爾曼濾波就是從

8、以上分析可以看出卡爾曼濾波就是在有隨機干擾和噪聲的情況下，以線性最小在有隨機干擾和噪聲的情況下，以線性最小方差估計方法給出狀態(tài)的最優(yōu)估計值，卡爾方差估計方法給出狀態(tài)的最優(yōu)估計值，卡爾曼濾波是在統(tǒng)計的意義上給出最接近狀態(tài)真曼濾波是在統(tǒng)計的意義上給出最接近狀態(tài)真值的估計值。因此卡爾曼濾波在空間技術(shù)、值的估計值。因此卡爾曼濾波在空間技術(shù)、測軌、導(dǎo)航、攔截與通訊等方面獲得了廣泛測軌、導(dǎo)航、攔截與通訊等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。的應(yīng)用。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所3 3經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論 經(jīng)典控制理論只適應(yīng)與單輸入經(jīng)典控制理論只適應(yīng)與單輸入單輸單輸出的線性定

9、常系統(tǒng)，研究方法是傳遞函數(shù)出的線性定常系統(tǒng)，研究方法是傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)在本質(zhì)上是一種頻率法，要靠。傳遞函數(shù)在本質(zhì)上是一種頻率法，要靠各個頻率分量描述信號。因此，頻率法限各個頻率分量描述信號。因此，頻率法限制了系統(tǒng)對整個過程在時間域內(nèi)進行控制制了系統(tǒng)對整個過程在時間域內(nèi)進行控制的能力，所以經(jīng)典控制理論很難實現(xiàn)實時的能力，所以經(jīng)典控制理論很難實現(xiàn)實時控制。同時，經(jīng)典控制理論也很難實現(xiàn)最控制。同時，經(jīng)典控制理論也很難實現(xiàn)最優(yōu)控制。優(yōu)控制。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 經(jīng)典控制系統(tǒng)的組成經(jīng)典控制系統(tǒng)的組成 反 饋 量 控 制 器Gc 輸 入 量 + - 受 控 對 象Go 反 饋 環(huán)

10、 節(jié)H 輸 出 量 u r c 控 制 量 偏 差 n 擾 動 量 b 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 由于經(jīng)典控制理論的上述局限性，隨著由于經(jīng)典控制理論的上述局限性，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間技術(shù)和各類高科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間技術(shù)和各類高速飛行器的快速發(fā)展，要求控制高速度、高速飛行器的快速發(fā)展，要求控制高速度、高精度的受控對象，控制系統(tǒng)更加復(fù)雜，要求精度的受控對象，控制系統(tǒng)更加復(fù)雜，要求控制理論解決多輸入多輸出、非線性以及最控制理論解決多輸入多輸出、非線性以及最優(yōu)控制等設(shè)計問題。這些新的控制要求經(jīng)典優(yōu)控制等設(shè)計問題。這些新的控制要求經(jīng)典控制理論是無法解決的?？刂评碚撌菬o

11、法解決的。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間基礎(chǔ)上現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間基礎(chǔ)上的，它不用傳遞函數(shù)，而是用狀態(tài)向量方程的，它不用傳遞函數(shù)，而是用狀態(tài)向量方程作為基本工具，因此可以用來分析多輸入作為基本工具，因此可以用來分析多輸入多輸出、非線性以及時變復(fù)雜系統(tǒng)的研究。多輸出、非線性以及時變復(fù)雜系統(tǒng)的研究?，F(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是時域法，信號的描述現(xiàn)代控制理論本質(zhì)上是時域法，信號的描述和傳遞都是在時間域進行，所以現(xiàn)代控制理和傳遞都是在時間域進行，所以現(xiàn)代控制理論具有實現(xiàn)實時控制的能力。由于采用了狀論具有實現(xiàn)實時控制的能力。由于采用了狀態(tài)空間法，現(xiàn)代控制理論有

12、利于設(shè)計人員根態(tài)空間法，現(xiàn)代控制理論有利于設(shè)計人員根據(jù)給定的性能指標設(shè)計出最優(yōu)的控制系統(tǒng)。據(jù)給定的性能指標設(shè)計出最優(yōu)的控制系統(tǒng)。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 卡爾曼濾波控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖卡爾曼濾波控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由于系統(tǒng)的狀態(tài)由于系統(tǒng)的狀態(tài)x是不確定的，卡爾曼濾波器的是不確定的，卡爾曼濾波器的任務(wù)就是在有隨機干擾任務(wù)就是在有隨機干擾w和噪聲和噪聲v的情況下給出系統(tǒng)的情況下給出系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)x的最優(yōu)估算值的最優(yōu)估算值 ，它在統(tǒng)計意義下最接近狀，它在統(tǒng)計意義下最接近狀態(tài)的真值態(tài)的真值x，從而實現(xiàn)最優(yōu)控制，從而實現(xiàn)最優(yōu)控制u( )的目的。的目的。 x x 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路

13、與系統(tǒng)研究所 4.4.什么是卡爾曼濾波：什么是卡爾曼濾波： 卡爾曼濾波是美國工程師卡爾曼濾波是美國工程師Kalman 在線在線性最小方差估計的基礎(chǔ)上，提出的在數(shù)學(xué)結(jié)性最小方差估計的基礎(chǔ)上，提出的在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上比較簡單的而且是最優(yōu)線性遞推濾波方構(gòu)上比較簡單的而且是最優(yōu)線性遞推濾波方法，具有計算量小、存儲量低，實時性高的法，具有計算量小、存儲量低，實時性高的優(yōu)點。特別是對經(jīng)歷了初始濾波后的過渡狀優(yōu)點。特別是對經(jīng)歷了初始濾波后的過渡狀態(tài)，濾波效果非常好。態(tài)，濾波效果非常好。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計的卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計的最佳準則，來尋

14、求一套遞推估計的算法，其最佳準則，來尋求一套遞推估計的算法，其基本思想是：采用信號與噪聲的狀態(tài)空間?；舅枷胧牵翰捎眯盘柵c噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻的估計值和現(xiàn)時刻的觀測型，利用前一時刻的估計值和現(xiàn)時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)在時刻值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)在時刻的估計值。它適合于實時處理和計算機運算的估計值。它適合于實時處理和計算機運算。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 卡爾曼濾波的實質(zhì)是由量測值重構(gòu)系統(tǒng)卡爾曼濾波的實質(zhì)是由量測值重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。它以的狀態(tài)向量。它以“預(yù)測預(yù)測實測實測修正修正”的的順序遞推，根據(jù)系統(tǒng)的量測值來消除隨機干順序遞推，根據(jù)

15、系統(tǒng)的量測值來消除隨機干擾，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的量測值擾，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的量測值從被污染的系統(tǒng)中恢復(fù)系統(tǒng)的本來面目。從被污染的系統(tǒng)中恢復(fù)系統(tǒng)的本來面目。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所卡爾曼濾波特點：卡爾曼濾波特點： 卡爾曼濾波是解決狀態(tài)空間模型估計與卡爾曼濾波是解決狀態(tài)空間模型估計與預(yù)測的有力工具之一，它不需存儲歷史數(shù)據(jù)預(yù)測的有力工具之一，它不需存儲歷史數(shù)據(jù)，就能夠從一系列的不完全以及包含，就能夠從一系列的不完全以及包含噪聲噪聲的的測量測量中，估計中，估計動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)?？柭鼮V波的狀態(tài)。卡爾曼濾波是一種是一種遞歸遞歸的估計，即只要獲知上一時刻狀的估

16、計，即只要獲知上一時刻狀態(tài)的估計值以及當前狀態(tài)的觀測值就可以計態(tài)的估計值以及當前狀態(tài)的觀測值就可以計算出當前狀態(tài)的估計值，因此不需要記錄觀算出當前狀態(tài)的估計值，因此不需要記錄觀測或者估計的歷史信息測或者估計的歷史信息。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 卡爾曼濾波器與大多數(shù)我們常用的濾波卡爾曼濾波器與大多數(shù)我們常用的濾波器不同之處，在于它是一種純粹的器不同之處，在于它是一種純粹的時域時域濾波濾波器，不需要像器，不需要像低通濾波器低通濾波器等等頻域頻域濾波器那樣濾波器那樣，需要在頻域設(shè)計再轉(zhuǎn)換到時域?qū)崿F(xiàn)。，需要在頻域設(shè)計再轉(zhuǎn)換到時域?qū)崿F(xiàn)。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所5

17、.卡爾曼濾波器的軟硬件實現(xiàn)卡爾曼濾波器的軟硬件實現(xiàn) 目前目前,卡爾曼濾波器已經(jīng)有很多不同的實卡爾曼濾波器已經(jīng)有很多不同的實現(xiàn)形式?？柭畛跆岢龅男问浆F(xiàn)在一般稱現(xiàn)形式?？柭畛跆岢龅男问浆F(xiàn)在一般稱為簡單卡爾曼濾波器。除此以外為簡單卡爾曼濾波器。除此以外,還有施密特還有施密特擴展卡爾曼濾波器擴展卡爾曼濾波器,信息濾波器以及平方根濾信息濾波器以及平方根濾波器。最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán)波器。最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán) ，采，采用用FPGA硬件可以實現(xiàn)卡爾曼濾波器。硬件可以實現(xiàn)卡爾曼濾波器。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所硬件實現(xiàn)：硬件實現(xiàn)：卡爾曼濾波器有良好的濾波效果，卡爾曼濾

18、波器有良好的濾波效果，但由于其計算量大，當采樣率高時，一個采樣但由于其計算量大，當采樣率高時，一個采樣周期內(nèi)難以完成計算，且計算機的字長有限，周期內(nèi)難以完成計算，且計算機的字長有限，使計算中舍入誤差和截斷誤差積累、傳遞，造使計算中舍入誤差和截斷誤差積累、傳遞，造成數(shù)值不穩(wěn)定，因此用成數(shù)值不穩(wěn)定，因此用MCU和和DSP難以實現(xiàn)。難以實現(xiàn)。FPGA可以實現(xiàn)并行計算，它有多個乘法器和可以實現(xiàn)并行計算，它有多個乘法器和累加器并行處理數(shù)據(jù)，采用累加器并行處理數(shù)據(jù)，采用FPGA實現(xiàn)的卡爾實現(xiàn)的卡爾曼濾波器，由于輸入和輸出數(shù)據(jù)計算同時進行曼濾波器，由于輸入和輸出數(shù)據(jù)計算同時進行，因此可以大大提高濾波速度，因

19、此可以大大提高濾波速度。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 一般，數(shù)字濾波器的一般，數(shù)字濾波器的FPGA實現(xiàn)是用實現(xiàn)是用VHDL或或Verilog HDL等硬件描述語言通過編等硬件描述語言通過編寫底層代碼實現(xiàn)。這種編程方式效率低，難寫底層代碼實現(xiàn)。這種編程方式效率低，難度大。利用度大。利用Altera公司公司FPGA的的DSP開發(fā)工具開發(fā)工具DSP Builder設(shè)計卡爾曼濾波器，比基于硬設(shè)計卡爾曼濾波器，比基于硬件描述語言的設(shè)計件描述語言的設(shè)計,周期更短周期更短,設(shè)計更容易。設(shè)計更容易。 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 基于現(xiàn)場可編程邏輯門陣列基于現(xiàn)場可編程邏輯門陣

20、列FPGA器件和器件和模數(shù)轉(zhuǎn)換器設(shè)計的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)為硬件平臺模數(shù)轉(zhuǎn)換器設(shè)計的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)為硬件平臺，進行算法設(shè)計?；谀K化設(shè)計思想，設(shè)，進行算法設(shè)計?；谀K化設(shè)計思想，設(shè)計時鐘分頻模塊、計時鐘分頻模塊、AD轉(zhuǎn)換芯片的轉(zhuǎn)換芯片的FPGA控制控制模塊和卡爾曼濾波模塊。卡爾曼濾波模塊采模塊和卡爾曼濾波模塊?？柭鼮V波模塊采用用DSP Builder設(shè)計，轉(zhuǎn)換成硬件描述語言設(shè)計，轉(zhuǎn)換成硬件描述語言VHDL后，應(yīng)用軟件后，應(yīng)用軟件Modelsim、QuartusII進進行仿真并完成硬件驗證。行仿真并完成硬件驗證。貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所軟件實現(xiàn)：軟件實現(xiàn)： 許多物理進程，如路上行

21、駛的車輛、許多物理進程，如路上行駛的車輛、圍繞地球軌道運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星、由繞組電流驅(qū)動圍繞地球軌道運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星、由繞組電流驅(qū)動的電機軸或正弦射頻載波信號，均可用線性的電機軸或正弦射頻載波信號，均可用線性系統(tǒng)來近似。線性系統(tǒng)是指能用如下兩個方系統(tǒng)來近似。線性系統(tǒng)是指能用如下兩個方程描述的簡單進程：程描述的簡單進程： 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： 輸出方程：輸出方程：貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 在上述方程中，在上述方程中，A、B和和C均為矩陣，均為矩陣，k是時間系數(shù)，是時間系數(shù)，x稱為系統(tǒng)狀態(tài)，稱為系統(tǒng)狀態(tài)，u是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的已知輸入，已知輸入，y是所測量的輸出。是所測量的輸出。w和和z表示表示

22、噪音，其中變量噪音，其中變量w稱為進程噪音，稱為進程噪音，z稱為測稱為測量噪音，它們都是向量。量噪音，它們都是向量。 則卡爾曼濾波的算法流程為則卡爾曼濾波的算法流程為：貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 1.預(yù)估計預(yù)估計X(k)= F(k,k-1)X(k-1) 2.計算預(yù)估計協(xié)方差矩陣計算預(yù)估計協(xié)方差矩陣3.C(k)=F(k,k-1)C(k)F(k,k-1)+T(k,k- 1)Q(k)T(k,k-1)4.Q(k) = U(k)U(k) 5.計算卡爾曼增益矩陣計算卡爾曼增益矩陣6.K(k) = C(k)H(k)H(k)C(k)H(k)+R(k)(-1)7.R(k) = N(k)N(k) 貴州 貴陽 花溪 貴州大學(xué) 電路與系統(tǒng)研究所 8.更新估計更新估計 9.X(k)=X(k)+K(k)Y(k)-H(k)X(k)10.計算更新后估計協(xié)防差矩陣計算更新后估計協(xié)防差矩陣11.C(k) = I-K(k)H(k)C(k)I- K(k)H(k)+K(k)R(k)K(k)12.X(k+1) = X(k)13.C(k+1) = C(k)14.重復(fù)以上步驟重復(fù)以上步驟該算法可用該算法可用C語言編程，在計算機上實現(xiàn)。語言編程，在計算機