反證法在幾何問題中的應(yīng)用

1、反證法在幾何問題中的應(yīng)用反證法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在兒何的應(yīng)用極為廣泛，在平面兒何、立體兒何、解析兒何都有應(yīng)用，本文選擇兒個(gè)有代表性的應(yīng)用，舉例加以介紹。一、證明幾何量之間的關(guān)系例1 :：四邊形 ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF = -(AB + CD)。2求證：AB 1/CD.證明：假設(shè)AB不平行于CD。如圖，連結(jié) AC,取AC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG。? E、F、G分別是AD、BC、AC的中點(diǎn)，S/CD, GE = *D; GF"VAB不平行于CD,?GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個(gè)三角形。:? GE + GFAEF但 GE + GF = -(AB

2、 + CD) = EF2與矛盾。:? AB/CD例2 :直線PO與平面a相交于0,過點(diǎn)0在平面a內(nèi)引直線04、OB OC ,ZPOA = ZPOB = APOC求證：P0丄a。證明：假設(shè)P0不垂直平面a。作PH丄a并與平面a相交于H,此時(shí)H、0不重合，連結(jié) 0H。由P作PE丄OA于E, PF丄03于F,根據(jù)三垂線定理可知， HE丄OA, HF 1OBAPOA= ZPO氏0是公共邊，? RtAPOE= RZOF? ? OE = OF乂 =? ? R心 OFH = R込 OEH? ? AFOH = ZEOH因此， OH 是 ZAOB 的平分線。同理可證，OH是ZAOC勺平分線。但是，0B和0C是兩

3、條不重合的直線，0H不可能同時(shí)是ZAOB和ZAOC勺平分線，產(chǎn)生矛盾。? ? PO 丄 a 。例 3： A、B、C、D 是空間勺四個(gè)點(diǎn)， AB、CD 是異面直線。求證： AC 和 BD 是異面直線。證明：假設(shè) AC 和 BD 不是異面直線，那么 AC 和 BD 在同一平面內(nèi)。因此， A、C、B、D 四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，這樣，AB、CD 就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面 內(nèi)，那么AB 、 CD 在這個(gè)平面內(nèi)，即 AB 和 CD 不是異面直線。這與條件產(chǎn)生矛盾。所以， AC 和 BD 是異面直線上面所舉勺例子，用直接 證法證 明都比擬困難，尤其是證兩條直線是異面直線， 常 釆用反證 法。二、證明 “唯一性問

4、題 在兒何中需要證明符合某種條件勺點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性問題。例3 :過平面q上的點(diǎn)A的直線。丄a,求證："是唯一的。證明：假設(shè) " 不是唯一勺，那么過 A 至少還有一條直線 b, b 丄 a? “、方是相交直線，? ；a、 b 可以確定一個(gè)平面 0。設(shè) Q 和 0 相交于過點(diǎn) A 的直線 c。所以， " 是唯一的。例 4：試證明：在平面上所有通過點(diǎn) (>/2,0) 的直線中， 至少通過兩個(gè)有理點(diǎn) (有理 點(diǎn)指坐標(biāo) x、 y 均為有理數(shù)的點(diǎn) ) 的直線有一條且只有一條。證明：先證存在性。因?yàn)橹本€ y = 0,顯然通過點(diǎn) (72,0), 且直線 )

5、 ，=0 至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)， 例如它通 過(0,0) 和(1,0) 這說明滿足條件的直線有一條。再證唯一性。假設(shè)除了直線 y = 0 外還存在一條直線 y = kx+b ( 斤工 0 或/? 工 0)通過點(diǎn) ( 72,0),且該直線通過有理點(diǎn) A(X|,y|)與B( £,y2),其中旺、丿兒、£、比均為有理數(shù)。因?yàn)橹本€ y = kx+b 通過點(diǎn) (72,0), 所以 b = -y/2k , 于是 y = k(x-y/2) , 且比工 0。 又直線通 過 A ( 旺，丿 ) 與 B ( 心，丿 ) 兩點(diǎn) ，所以丿 =心 - 血) ，y = k(x-y2)一，得訓(xùn)2 =k(x

6、 x -x2)o因?yàn)?A、 B 是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且比工 0 ,所以山式吃， ) 、工) ，2，由，得R =上二乜，且£是不等于零的有理數(shù)?？酪簧子?？得y/2=X-人ok此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾所以，平面上通過點(diǎn)(72,0)的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。關(guān)于唯一性的問題，在兒何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。 這類題口用直接證 法證明相、 “困難，因此一般惜況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時(shí)比同一法更方便。三、證明不可能問題兒何中有一類問題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有

7、某種性質(zhì)的圖形不存在c它們的結(jié)論命題都是以否認(rèn)形式出現(xiàn)的，假設(shè)用直接證法證明有一定的困難。而它的否認(rèn)命題那么是某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。例5 :求證：拋物線沒有漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是于 =2恥("工0)。假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是y = ax + b,易知方都不為0。因?yàn)闈u近線 與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組y2 = 2pxy = ax + b(2)的兩組解的倒數(shù)都是 0。將(2)代入(1),得2 2 2ax + 2(ab- p)x + b = 0(3)設(shè)“、心是(3)的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知2(ab 一b2/?

8、)2那么丄+丄二屯+乜= r = 0xl x 2 x x2 b由4、 5,可推得 p = 0,這于假設(shè)“ HC矛盾。所以，拋物線沒有漸近線。形式出現(xiàn)，關(guān)于不可能問題是兒何中最常見也是非常重要的一種類型。 山于它的結(jié)論是以否認(rèn) 釆用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存在或“ 不多于問題在兒何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多 于兒個(gè)。山于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果 采用反證法，添加了否認(rèn)結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。 例 6：四邊形 ABCD 中 , 對(duì)角線 AC=BD=lo求證：四邊形中至少有一條邊不小于主。2證明：假設(shè)四邊形的邊都小于巴，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角這一結(jié)2 論也可用反證法證明，不妨設(shè) ZA < 90 °,根據(jù)余