(完整word版)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題及答案

1、初二數(shù)學(xué)經(jīng)典題型1.已知：如圖，P 是正方形 ABCD 內(nèi)點,PAD=ZPDA= 150.求證： PBC 是正三角形.證明如下。首先，PA=PD / PAD2PDA=( 180 -150)+ 2=15,/ PAB=90 -15 =75。 在正方形ABCD 之外以 AD 為底邊作正三角形 ADQ 連接 PQ 則/ PDQ=60 +15 =75,同樣/ PAQ=75 ,又 AQ=DQ, PA=PD 所以 PAQAPDQ 那么/PQA/ PQD=60 + 2=30，在 PQA 中,/ APQ=180 -30 -7 5 =75 =/ PAQ/ PAB 于是 PQ=AQ=AB顯然 PAQAPAB 得/

2、PBA=/ PQA=30 ,PB=PQ=AB=BC/ PBC=90 -30 =60,所以 ABC 是正三角形。DC2.已知：如圖，在四邊形ABCD 中, AD= BC, M N 分別是 AB CD 的中點，AD BC 的延長線交 MN 于 E、F.求證：/ DEN=/ F.證明：連接 AC,并取 AC 的中點 G,連接 GF,GM.又點 N 為 CD 的中點，則 GN=AD/2;GIN/ AD, / GNM/ DEM;(1)同理：GM=BC/2;GM/ BC, / GMN/ CFN;(2)又 AD=BC 則:GN=GM/ GNM/ GMN 故：/ DEM/ CFN.M3、如圖，分別以厶 ABC

3、 的 AC 和 BC 為一邊，在 ABC 的外側(cè)作正方形ACDE 和正方形 CBFG點 P 是 EF 的中點.求證：點 P 到邊 AB 的距離等于 AB 的一半.證明：分別過 E、C F 作直線 AB 的垂線，垂足分別為 M O N, 在梯形MEFN, WE 平行 NF因為 P 為 EF 中點，PQ 平行于兩底所以 PQ 為梯形 MEFN位線，所以 PQ=( MH NF) /2又因為，角 0CB+角 OBC= 90=角 NBH 角 CBO所以角 OCB 角 NBF而角 C0B=角 Rt =角 BNFCB=BF所以 OCB 全等于 NBF MEA 全等于 OAC (同理)所以 EM= AO 0B

4、= NFF所以 PQ=AB/2.4、設(shè) P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)部的一點，且/ PBA=/ PDA 求證：/ PAB=/ PCB過點 P 作 DA 的平行線，過點 A 作 DP 的平行線，兩者相交于點 E;連接 BE因為 DP/AE, AD/PE所以，四邊形 AEPD 為平行四邊形所以，/ PDA=/ AEP已知，/ PDA=/ PBA所以，/ PBA 玄 AEP所以，AE、B、P 四點共圓所以，/ PAB 玄 PEB因為四邊形 AEPD 為平行四邊形，所以：PE/AD，且 而，四邊形 ABCD 為平行四邊形，所以： AD/BC，且 所以，PE/BC，且 PE=BC即，四邊形 EBCP

5、也是平行四邊形所以，/ PEB 玄 PCB所以，/ PAB 玄 PCB5.P 為正方形 ABCD 內(nèi)的一點，并且 PA= a, PB= 2a, PC=3a 正方形的邊長.解： 將 BAP 繞 B 點旋轉(zhuǎn) 90使 BA 與 BC 重合， P 點旋轉(zhuǎn)后到 Q 點， 連接 PQ 因為 BAPABCQ所以 AP= CQ BP= BQ / ABP=ZCBQ / BPA=ZBQC因為四邊形 DCBA 是正方形所以/ CBA= 90,所以/ AB 卉/ CBP= 90,所以/ CBQbZCBP= 90即/ PBQ= 90，所以 BPQ 是等腰直角三角形所以 PQ=V2*BP,ZBQP= 45因為 PA=a

6、PB=2a, PC=3a所以 PQ= 2V2a, CQ= a，所以 CPA2= 9aA2 , PQA2+ CQA2= 8aA2 + aA2 = 9aA2所以 CPA2= PQA2+ CQA2 所以 CPQ 是直角三角形且/ CQA= 90所以/ BQ(= 90+ 45= 135，所以/ BPA=ZBQC= 135作 BMLPQ則厶 BPM 是等腰直角三角形所以 PM=BM= PB/V2=2a/V2=V2a所以根據(jù)勾股定理得:ABA2=AMA 甘BMA2=(V2a+a)A2+(V2a)A2=5+2V2aA2所以 AB= V(5 + 2V2)a6. 一個圓柱形容器的容積為 V 立方米，開始用一根小

7、水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t 分。求兩根水管各自注水的速度。PE=ADAD=BC解：設(shè)小水管進水速度為 x，則大水管進水速度為 4x。由題意得:v v , t 2x 8x解之得：5v x =&經(jīng)檢驗得:5vx是原方程解。小口徑水管速度為，大口徑水管速度為一。8t2t7.如圖 11,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M(- 2,- 1),且 P(- 1, 2)為雙曲線上的一點，Q為坐標(biāo)平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A B.(1) 寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;(2

8、) 當(dāng)點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由;(3) 如圖 12，當(dāng)點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以O(shè)PCQ求平行四邊形OPCQO長的最小值.圖1解：(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點M( -2,-1)坐標(biāo)代入得k =，所以正比1例函數(shù)解析式為y = x2當(dāng)點Q在直線DO上運動時,一1口1Q使得OBQfAOAF面積OR OQ為鄰邊的平行四邊形MP同樣可得，反比例函數(shù)解析式為2 y=-x(2)Q的坐標(biāo)為Q(m,m),1而SAOAP=2(- 1)? ( 2) = 1,12所以有，一m2= 1，解得m = 24是SAOBQ

9、=二OB? BQ12m=-m,4設(shè)點所以點Q的坐標(biāo)為Q1(2,)和Q2(- 2，- 1)(3)因為四邊形OPC健平行四邊形，所以01 CQ OQ= PC而點P( -1,-2)是定點，所以0P的長也是定長，所以要求平行四邊形 最小值就只需求0C的最小值.一2因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q(n,-),n由勾股定理可得0Q2= n2+ -42= (n-2)2+ 4-nn2222所以當(dāng)(n- ) = 0即n-= 0時，0Q2有最小值 4,nn又因為0C為正值，所以0Q與0Q2同時取得最小值，所以0曲最小值 2.由勾股定理得0P=5，所以平行四邊形0PCQ周長的最小值是8.如圖，P

10、是邊長為 1 的正方形ABCD寸角線AC上一動點(P與A C不重合)BC上，且PE=PB(1)求證：PE=PD;PEPD(2) 設(shè)APx, PBE的面積為y.1求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；2當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值 .解：(1)證法一：/四邊形ABC毘正方形，AC為對角線， BC=DC/BCf=ZDCP45./PC=PC PBCAPDC(SAS .PB= PD,/PB(=ZPDC又PB= PE-PE=PD(i )當(dāng)點E在線段BC上 (E與B C不重合)時，/PB=PE/PBE=/PEB/PEB：/PDC- /PEB/PEC/PDC/PEC180,/DPE=

11、360 -( /BCD/PDC/PEC=90 ,PE! PD)(ii )當(dāng)點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PEI PD(iii )當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖./ /PEC/PDC/ 1 = / 2，/DPE：/DCE90，0PCQ周長的，點E在射線BC E22 PEI PD綜合(i ) (ii ) (iii ) ,PE丄PD(2過點P作PF! BC垂足為F,AP=x,AC= 2,貝UBF=FEPC= 2-x,PF=FG=(. 2 _x) =1 一2BF=FE=1-FC=1-( _lx)=-x.22SPBE=BF- PF=X(12X)-X222_Zx (0vxv. 2).2，x

12、.212x2一丄v0,2-當(dāng) x =二時,2._1()2 .1.2224y最大值一丄4過點P作GF/ AB分別交AD BC于G F.如圖所示.(1)證法二：四邊形ABCD1正方形，四邊形ABF&H四邊形GFCDfE是矩形，AGPDAPFC都是等腰直角三角形.GD=FFF,GP=AGBF,/PGD/PFE=90 .又PB=PEBF=FEGP=FE,AEFPAPGD(SAS .PE=PD/仁/ 2./1 +Z3=Z2+Z3=90./DPE=90 .PEI PD(2 ：AP=x,BF=P(=-x,PF=1-2SAPBE=BF PF=2x( 122 “x(0-x222x)22x.2-x.2vxv2).21/、2、212224當(dāng) x = 2時，y最大值=1.2一49、如圖，直線 y=kix+b 與反比例函數(shù) y=k2x 的圖象交于 A (1, 6), B (a, 3)兩點.(1 )求 ki、k2的值.(2) 直接寫出 k1x+b-k2x 0 時 x 的取值范圍；(3)如圖，等腰梯形 OBCD 中 BC/ OD OB=CD OD 邊在 x 軸上，過點C 作CELOD 于點 E, CE 和反比例函數(shù)的圖象交于點 P,當(dāng)梯形 OBC 啲面積為 12