圓錐曲線大題題型歸納

1、精心整理圓錐曲線大題題型歸納基本方法：1 .待定系數(shù)法：求所設(shè)直線方程中的系數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)a、b、c、e、p等等;2 .齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關(guān)的問(wèn)題；3 .韋達(dá)定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求，用韋達(dá)定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達(dá)定理，而直接計(jì)算出兩個(gè)根；4 .點(diǎn)差法：弦中點(diǎn)問(wèn)題，端點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求。也叫五條等式法：點(diǎn)滿足方程兩個(gè)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式兩個(gè)、斜率公式一個(gè)共五個(gè)等式；5 .距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長(zhǎng)度問(wèn)題、比例問(wèn)題、向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問(wèn)題、比例問(wèn)題、坐標(biāo)問(wèn)題；基本思想：1 X ( 事"

2、;，1 .“常規(guī)求值”問(wèn)題需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；2 .“是否存在”問(wèn)題當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；3 .證明“過(guò)定點(diǎn)”或“定值”，總要設(shè)一個(gè)或幾個(gè)參變量，將對(duì)象表示出來(lái)，再 說(shuō)明與此變量無(wú)關(guān)；,-JI'4 .證明不等式，或者求最值時(shí)，若不能用幾何觀察法，則必須用函數(shù)思想將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，再解決；5 .有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要 優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；6 .大多數(shù)問(wèn)題只要真 實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來(lái)，即可自然而然產(chǎn)生思路。題型一：求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長(zhǎng)、漸近線等常規(guī)問(wèn)題 22例1、

3、 已知Fi, F2為橢圓1X00+ 6y4=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，且/ FiPF2=60°,則4 F1PF2的面積為多少？點(diǎn)評(píng)：常規(guī)求值問(wèn)題的方法：待定系數(shù)法，先設(shè)后求，關(guān)鍵在于找等式。變式1、已知F1,F2分別是雙曲線3X2 5y2 75的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且FFF2=120 ,求 F1PF2 的面積。22變式2、已知Fi, F2為橢圓_x_ 乂 1(0<b<10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn).100 b上不同于a,A2的任意一點(diǎn)，且潴足 kA1M kA2 M一 124(I)求橢圓C的方程：(2)已知直線l與橢圓C相交于P, Q(非頂點(diǎn))兩點(diǎn)，且有A

4、P AQ.(i)直線l是否包過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(ii)求PA2Q面積S的最大值.點(diǎn)評(píng)：證明定值問(wèn)題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú)關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明(1)求|PFi|?|PF2|的最大值；(2)若/ F1PE=60°且/5尸£的面積為 竺包，求b的值3題型二過(guò)定點(diǎn)、定值問(wèn)題22例2.(淄博市2017屆高三3月模擬考試)已知橢圓C：當(dāng) 當(dāng)1(a b 0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,9)，離心a2 b22率為Y3,點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個(gè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2, y2

5、). 2(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；uur uur(H)當(dāng)AP?AQ 0時(shí)，求 OPQ面積的最大值；(m)若直線l的斜率為2,求證：OPQ的外接圓包過(guò)一個(gè)異于點(diǎn) A的定點(diǎn).處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明。 _ _ i - _例3、(聊城市2017屆高三高考模擬(一)已知橢圓C：工 £ 1 a b 0的離心率為正,一個(gè) a b2頂點(diǎn)在拋物線x2 4 y的準(zhǔn)線上.(I )求橢圓C的方程；(H)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M ,N為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線 OM,ON的斜率分別為I和k2,是否存在常數(shù)p

6、,當(dāng)k2 p時(shí)MON的面積為定值？若存在，求出p的值；若不存在，說(shuō)明理由.22_變式1、已知橢圓C2241ab 0的焦距為2行，點(diǎn)A,A2為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓 a b精心整理2y2 1(a>b> 0)的離心率為焦距2變式2、已知橢圓J a為2.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，C, D為橢圓上位于直線PQ異側(cè)的兩 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足/CPQ=DPQ求證：直線CD的斜率為定值，并求出此定值.2當(dāng) 1 a b 0的 b22變式3、(臨沂市2017屆高三2月份教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一模)如圖，橢圓C: 22 a離心率為,以橢圓C的上頂點(diǎn)T為圓心作圓T

7、:x2 y 1 2 r2 r 0 ,圓T與橢圓C在第一象 2限交于點(diǎn)A,在第二象限交于點(diǎn)B.(I)求橢圓C的方程；uu uur(II)求TA TB的最小值，并求出此時(shí)圓T的方程；(III)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A, B的一點(diǎn)，且直線PA PB分別與Y軸交于點(diǎn)M, N, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：Om ION為定值.I22一.例4、設(shè)橢圓C:一 1 (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C: x2=4V3y的焦點(diǎn)重合，R, F2分別 a b是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率 e=1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M N兩點(diǎn). 2(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線l ,使得 若不存在，說(shuō)明理由

8、若存在，求出直線l的方程;(3)若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的弦，MN AB,求證：為定值. 22變式1、(煙臺(tái)市2017屆高三3月高考診斷性測(cè)試(一模)如圖，已知橢圓C:9 9 1(a b 0) a b的左焦點(diǎn)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，且|AB 3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； uuuu uuir umr uuur AM ? AF AN ? AF(2)若M, N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且滿足AMuUuAF ANUuAF，問(wèn)直線MN的斜率是否為定 |AM | AN|值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 題型三“是否存在”問(wèn)題22例5、(泰安市2017屆高

9、三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)(一模)已知橢圓C:t 4 1ab 0經(jīng)過(guò)點(diǎn) a2<：例6.12016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:二 匕 1 a> b>0 ?的離心率是 , a b2拋物線E： x2 2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交與不同的兩點(diǎn)A, B,線段 IAB的中點(diǎn)為D,直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.(i)求證：點(diǎn)M在定直線上；(ii)直線l與y軸交于點(diǎn)G,記4PFG的面積為& , apdm的面積為G,求§的最大值及取得 2最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例7、(

10、濱州市2017屆高三下學(xué)期一?？荚?如圖，已知DP y軸，點(diǎn)D為垂足，點(diǎn)M在線段DP的延長(zhǎng)線上，且滿足 DP| PM|,當(dāng)點(diǎn)P在圓x2 y2 3上運(yùn)動(dòng)時(shí).(1)當(dāng)點(diǎn)M的軌跡的方程；(2)直線l:x my 3(m 0)交曲線C于A, B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1(點(diǎn)以與點(diǎn)A不重合)，且直線A與x軸交于點(diǎn)E .證明：點(diǎn)E是定點(diǎn)；EAB的面積是否存在的最大值？若存在，求出最大值； b2近1 ,過(guò)點(diǎn)A(0, 1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為匚.2(I)求橢圓C的方程；(H)是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得 ABMABN恒成立？若存在，求出點(diǎn)B的坐

11、標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A (-1 ,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP , 1與BP的斜率之積等于 -3(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(H)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得PA*PMN勺面積 相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.題型四最值問(wèn)題精心整理若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例8、(濰坊市2017屆高三下學(xué)期第一次模擬)已知橢圓 C與雙曲線y2x2 1有共同焦點(diǎn)，且離心率為_6 .3(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(H)設(shè)A為橢圓C的下頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于A的不同兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之積為(i)

12、試問(wèn)M、N所在直線是否過(guò)定點(diǎn) 陪是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;(ii)若P為橢圓C上異于M、N的一點(diǎn)，且|MP|NP ,求 MNP的面積的最小值.點(diǎn)評(píng)：最值問(wèn)題的方法：幾何法、配方法(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值)、三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函 數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。變式1、 (2015?高安市校級(jí)一模)已知方向向量為 (1B的直線l過(guò)點(diǎn)(0,-2 73)和橢圓22c： 打卷1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為2(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P (-8, 0)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn) A B, F為橢圓C的左焦點(diǎn)，求三角形ABF 面積的最大值.變

13、式2、(青島市2017年高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓上頂點(diǎn)為B1,過(guò)F1、A、B三點(diǎn)的圓P的圓心坐標(biāo)為(2 x: 2 a三 3_22y21 (a 1)的左焦點(diǎn)為 三,右頂點(diǎn)為 A,(I)(n)(i)求橢圓的方程；若直線l:y kx m (k,m為常數(shù), -I , ,uuuuuuur當(dāng)直線l過(guò)E(1,0),且EM 2ENk 0)與橢圓 交于不同的兩點(diǎn)M和N . r0時(shí)，求直線l的方程；(ii)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線l的距離為 g 時(shí)，求 MON面積的最大值.題型五求參數(shù)的取值范圍例9、(濟(jì)寧市2017屆高三第一次模擬(3月)如圖，已知線段AE, BF為拋物線C:x2 2py p 0的兩條弦，點(diǎn)E、F

14、不重合.函數(shù)y ax a 0且a 1的圖象所包過(guò)的定點(diǎn)為拋物線 C的焦點(diǎn).(I)求拋物線C的方程;1(H)已知A 2,1、B 1,1 ,直線AE與BF的斜率互為相反數(shù)，且 A, B兩點(diǎn)在直線EF的兩側(cè). 4問(wèn)直線EF的斜率是否為定值 陪是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 精心整理精心整理uur uur求OEgOF的取值范圍.22變式1、（德州市2017屆高三第一次模擬考試）在直角坐標(biāo)系中，橢圓 C1:勺41（a b 0）的a b左、右焦點(diǎn)分別為Fi , F2,其中F2也是拋物線C2： y2 4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為Ci與C2在第一象限的 交點(diǎn)，且| pf2 | 5.3（I ）求橢圓的方程；（R）過(guò)

15、F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于 M、N兩點(diǎn)，若線段OF2上存在定點(diǎn)T（t,0）使得以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，求t的取值范圍.小結(jié)解析幾何在高考中經(jīng)常是兩小題一大題： 兩小題經(jīng)常是常規(guī)求值類型，一大題中的第一小題也 經(jīng)常是常規(guī)求值問(wèn)題，故常用方程思想先設(shè)后求即可。解決第二小題時(shí)常用韋達(dá)定理法結(jié)合以上各 種題型進(jìn)行處理，常按照以下七步驟：一設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=mmy+n勺區(qū)別） 二設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒：之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊础霸O(shè)而不求”）三則聯(lián)立方程組；四則消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反 而簡(jiǎn)單）五根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)i0"OA OBKJ%1 （提醒：需討論K是否存在）uuu uuuOA?OB 0 x1x2 y1y2 0,-jI/“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題”“直角、銳角、鈍角問(wèn)題”“向量的