求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備§2.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式教學(xué)目標(biāo)與要求1. 掌握并能運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2. 理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；3. 理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4. 熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)重點(diǎn)與難度1. 會(huì)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；2. 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3. 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面， 我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù), 有時(shí)候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就

2、能比較方便地求出常見的函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則1. 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則定理 1函數(shù) u( x) 與 v(x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，則函數(shù)yu( x)v(x) 在點(diǎn) x 處也可導(dǎo)，且yu( x)v( x)u ( x)v (x)同理可證： u(x)v(x) 'u' ( x)v' ( x)即證。注意： 這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和，即'''' u1 (x)u2 (x)un (x)u1 (x)u2 (x)un (x) ，即有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備例 1求函數(shù) yx4cos

3、 x ln x的導(dǎo)數(shù)2解yx4c o s xl nx2x4cos xln x24x3si nx1x2. 函數(shù)積的求導(dǎo)公式定理2函數(shù)u( x)與 v(x) 在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，則函數(shù)yu( x) v(x) 在點(diǎn)x 也可導(dǎo)，且y' u( x) v(x)'u'( x) v( x)u( x) v' ( x) 。注意：1）特別地，當(dāng)uc（ c 為常數(shù)）時(shí)，y' cv( x)'cv' ( x)，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號(hào)中提出來。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：y' au(x)bv(x) 'au' ( x)bv' (

4、 x) 。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的情形，即(u1u2un )'u1'u2unu1u2'unu1u2un' 。例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1） y3x32x25x4sin x ；解y3x32x25x4sin x名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備9x24x54 c oxs2） y3x34ln x5cos x解y'4x45sin xx例 3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1） yx34x sin x ；2） y x3 ln x cosx解 1）y'( x34x sin x)'( x3 )'4(x)'sin xx(sin x)'

5、 3x24( 1sin xx cosx)3x22sin x4 x cos x2xx2）y'( x3ln x cosx)'( x3 )' ln x cosxx3 (ln x)'cosx x3 ln x (cosx)'3x2 ln x cos xx31cosxx3ln x sin xx2 (3ln x cosxxcos xx ln x sin x)3. 函數(shù)商的求導(dǎo)法則定理 3函數(shù) u( x) 與 v(x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且 v(x)u( x)0 ，則函數(shù) yv(x)在點(diǎn) x 處也可導(dǎo)，且y u( x)u ( x)v( x) u(x)v ( x)v( x

6、)v2 ( x)vxuxvyuxx所以v xx.vxx因?yàn)?v x 可導(dǎo) ,必連續(xù) ,故 lim v xx v x ,于是x0名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備vx limuu xvylimy limx0xxx 0 xx0xvxlim vxx 0uxv xuxvxv2x注意 ：特別地，當(dāng) uc （ c 為常數(shù)）時(shí)，y c cv ( x) ( v( x) 0)v( x)v2 ( x)總結(jié)： 根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)想一想 ：在基本初等函數(shù)中，還有哪些函數(shù)沒有求導(dǎo)法則？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒有討

7、論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的， 這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定理4設(shè)函數(shù)yf ( x) 在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點(diǎn)x 處可導(dǎo)，且f ( x)0 ，則它的反函數(shù)xf 1( y) 在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處處可導(dǎo)，且 f1 (x)1f (x)或 f ( x)1 f 1( x)證因?yàn)楹瘮?shù) yf (x) 在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)x f 1( y) 在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。當(dāng) yf ( x) 的反函數(shù) xf1( y) 的自變量 y 取得改變量y( y 0) 時(shí)

8、，由 x f 1 ( y)的單調(diào)性知x f 1 ( y y)f1( y) 0 ，于是x 1y y x又因?yàn)?xf 1( y) 連續(xù)，所以當(dāng)y0 時(shí)，x0 。由條件知f ( x)0，所以名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 f 1 ( y)limxlim111y 0yx 0yyf ( x)xlimx 0 x故 f 1 ( x)1或 f (x)1f ( x) f 1( x)即證。例 6求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1 ） yarcsin x ；2）3） yarctan x ；4）yarccos x ；yarccot x 。例 7求函數(shù) y ax (a0,a1)的導(dǎo)數(shù)。解由于 y ax ( x (,) 為對(duì)數(shù)函數(shù)x

9、log a y( y (0, ) 的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得y(ax )1y ln a a x ln a(log a y)所以， 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為(a x )ax ln a特別地 ，當(dāng) ae時(shí)，有(ex )ex三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則綜上，我們對(duì)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過程中，除了四則運(yùn)算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：ysin 2x 。思考： 如果ysin 2x，是否有(sin 2x)'cos2x ？因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求

10、導(dǎo)法則。定理設(shè)函數(shù) u( x) 在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù) ux( x) ，函數(shù) yf (u) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處有導(dǎo)u(u) ，則復(fù)合函數(shù)yf (x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且數(shù) yf( f ( x)f(u) (x)簡(jiǎn)記為 dydydu 或 yx yuux。dxdudx（證明略）注意：（ 1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為 鏈?zhǔn)椒▌t 。（ 2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個(gè)中間變量的情形。例如，設(shè)yf (u) ，ug(v), v( x) ，則dydydudvyu uv vxdxdudv或 yxdx

11、（ 3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時(shí)不必寫出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。例 8求函數(shù) y23x6的導(dǎo)數(shù)解y6 23x518 2533x例 9求函數(shù) ysin ln3x 的導(dǎo)數(shù)解ycosln 3x11c o sl n x 33x32x2 x例 10求冪函數(shù) yxu 的導(dǎo)數(shù)。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備例 11求函數(shù)y fsin x sin fx 的導(dǎo)數(shù)。解yfs i n xc o sxc ofs xf x例 12求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1） yf ( 1 ) ；2） y e f ( x) 。x本節(jié)小結(jié)通過本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則， 以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。這些公式和法則是基礎(chǔ)，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：1. 求導(dǎo)法則（ 1） uv'u'v'（ 2） (uv)'u'vuv'（ 3） (cu)'cu' （ c 為常數(shù)）（