第七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽團體決賽口試試題

1、第 07 屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽團體決賽口試試題1上面算式中，華、羅、庚、金、杯、數(shù)、學(xué)、競、賽九個字，代表數(shù)字 1，2，3，4，5，6，7，8，9（不同的文字代表不同的數(shù)字）已知：競 =8，賽 =6請把這個等式恢復(fù)出來2將 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九個數(shù)排成一行，使得第二個數(shù)整除第一個數(shù)，第三個數(shù)整除前兩個數(shù)的和，第四個數(shù)整除前三個數(shù)的和， ，第九個數(shù)整除前八個數(shù)的和，如果第一個數(shù)是6，第四個數(shù)是2，第五個數(shù)是1問排在最后的數(shù)是幾？3用一張斜邊長為 29 的紅色直角三角形紙片，一張斜邊長為 49 的藍色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，如圖恰拼成一個直角三角形（如右圖）。

2、問：紅、藍兩張三角形紙片面積之和是多少？試說明理由。4五個比 0 大的數(shù)它們兩兩的乘積是 1，80，35，1.4 ，50，56，1.6 ，2，40，70 這十個值，問這五個數(shù)中最大數(shù)是最小數(shù)的多少倍？5兩千個數(shù)寫成一行，它們中任三個相鄰的和都相等，這兩千個數(shù)的和是53324如果擦去從左數(shù)第1 個，第1949 個，第1975 個以及最后一個數(shù)，剩下的數(shù)之和是53236問剩下的數(shù)中從左數(shù)第50 個數(shù)是多少？6給出實物：四個大小相同的正方體木塊請你用一把米尺設(shè)法量出正方體的對角線的長（以毫米為單位）7下面給出若干張由相同的八個正三角形組成的紙片，請你找出所有的能沿虛線折疊拼成八面體的紙片，并動手將八

3、面體拼粘出來8中國郵政賀年（有獎）明信片，每一百萬張為一組，每一張售價1 元，每組設(shè)置 6 個獎等級，分配如下：一等獎1 名獎長虹電視機一臺價值 4680 元二等獎10 名獎長虹三碟 VCD機一臺價值 1300 元三等獎100 名獎郵政活期儲蓄折一個500 元四等獎1000 名獎 1998 全年郵票一冊160五等獎10000 名獎 1999 生肖郵票四方連郵折一個10 元紀(jì)念獎100000 名獎精美鑰題鏈一個或紀(jì)念獎?wù)乱幻? 元（以上獎金、獎品均為稅后所得），如果一組明信片全部售出，問：郵局發(fā)行這組有獎明信片的返還率至多是多少？9圓柱形的售報亭的高與底面直徑相等，如圖所示，開有一個邊長等于底面

4、半徑的正方形售報窗口問：窗口處挖去的圓柱部分的面積占圓柱側(cè)面面積的幾分之幾？10能將 1，2，3，4，5，6，7，8，9 填在 3×3 的方格表中（如下圖），使得橫向與豎向任意相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請給出一種填法：如果不能，請你說明理由11六張大小不同的正方形紙片拼成如圖所示的圖形，已知最小的正方形面積是1，問：圖中紅色正方形的面積是多少？12在一個邊長不超過8 厘米的大正方形中，如右圖所示放入三張面積均為20 平方厘米的正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是 44 平方厘米問：大正方形的面積是多少平方厘米？13在十個容器中分別裝有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 毫

5、升的水每次操作可由盛水多的甲容器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量問：能否在若干次操作后，使得 5 個容器都裝有 3 毫升的水，而其余容器分別裝有6，7，8，9，10 毫升的水？如果能，請說明操作程序；如果不能，請說明理由14P 為長方形 ABCD內(nèi)一點 ( 如下圖，三角形 PAB的面積等于 5，三角形 PBC的面積等于 13問：三角形 PBD的面積是多少？15由四個不同的非0 數(shù)字組成的所有四位數(shù)中，數(shù)字和等于12 的共有多少個？16在三角形網(wǎng)格的圓圈中，填有迎、接、澳、門、回、歸的字樣，如圖所示問：可以有多少種不同的方法連成“迎接澳門回歸”這句話？17這是一個美麗的傳說，

6、勤勞、勇敢、善良、團結(jié)、智慧的“五羊”降臨南國，趕走了災(zāi)荒，驅(qū)散了惡魔，人間充滿歡樂與祥和“五羊”組成一個數(shù)碼彼此不同的五位數(shù)，能被 16 整除商數(shù)的個位、百位、千位都比十位大 1借問能算者，五位數(shù)是什么（如圖）？17解：由可知是個真分?jǐn)?shù)，（ 0P金杯）而，所以金杯 =13 或 14，華 2而，其中金杯 14只能金杯 =13（注意： 13×15=195<200，13×16=208，13×17=221，13×18=234均不合要求，只能取13×19=247）所以恢復(fù)的等式為答：25解：設(shè)第 9 個數(shù)是 P，即由題意，前八個數(shù)之和被第九個P整

7、除，因此，前九個數(shù)之和也被第九個P 整除即 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45被 P整除而 P 是 19 的整數(shù)，所以 P 只能取 1，3，5，9 這四個值由第五個數(shù)是 1，所以 P1由第一個數(shù)是 6，第五個數(shù)是 1，所以第二個數(shù)只能是 2 或 3，而第四個數(shù)是 2，所以第二個數(shù)只能取 3，P3這樣，前兩個數(shù)之和為 6+3=9，第三個數(shù)是 9 的因數(shù)只取 1，3， 9，但第二個數(shù)是 3，第五個數(shù)是 1，所以第三個數(shù)取9，因此 P9所以 P=5，事實上， 6，3，9，2，1，7，4，8，5 是所排的這九個數(shù)3710.5解：如右圖 1+290°將直角三角形 DEB割下來補到三角形D

8、FG的位置由 DE=DF知 F 點與 E 重合，又，所以即 A，F(xiàn)，G在一條直線上，又，所以三角形 ADG是直角三角形，它的面積恰等于紅、藍兩個直角三角形面積的和（如圖）因此，紅、藍兩張三角形紙片面積之和等于直角三角形ADG的面積，等于答： 710.5450 倍解：將所給五個大于0 的數(shù)兩兩相乘所得的十個數(shù)的依小到大的順序排列如下：1，1.4， 1.6 ， 2， 35 ， 40 ， 50， 56， 70， 80由于這十個兩兩不等，所以所給的五個數(shù)一定彼此兩兩不等，不妨設(shè)為易知，而所以，是兩兩乘積中最小的兩個數(shù)，是兩兩乘積中最大的兩個數(shù)易知，所以即這五個數(shù)中的最大數(shù)是最小數(shù)的50 倍答：50倍5

9、解：設(shè)這列數(shù)為， ，由題意知由此得出（n=1，2，3， ， 1997）即（k=1，2， ， 666）于是，設(shè)相鄰三個數(shù)的和為S，則這 1998 個數(shù)的和為 666S于是，相加得相減得剩下數(shù)中從左數(shù)第50 個數(shù)是原來這一列數(shù)從左數(shù)第51 個數(shù)，應(yīng)等于，6解：這是一道智力型操作問題. 木塊是實心的，直接量對角線長有困難，可設(shè)法將實心變?yōu)榭招木涂蓽y量了，將三個木塊疊成如右圖所示，右上角恰空出一個正方體木塊的位置，量線段AB或 CD的長，就是正方體對角線的長7解：這是一道智力型操作問題要拼成的八面體的每個頂點都出發(fā)4 條棱，若切開一條棱展開后，這一頂點展開后有5 條棱，其中用虛線表示的棱至多有 3 條

10、，所以展開圖中一個頂點聚集虛線棱大于 3 條的都不能沿虛線折疊拼粘成圖中所示的八面體所以排除上行第 1，第 3，第 4 三張紙片，排除下行第 1，第 3，第 4 張三紙紙片，只有上行第 2、下行第 2 兩張紙片有可能拼粘成圖中所示的八面體，經(jīng)過具體操作，這兩張紙片都可以拼粘成圖，如題圖中所示的八面體835%解：獎品價值4680+1300×10+500×100+160×1000+10×10000+1×100000=427680所以返還率 =（=42.77%）答： 35%9解：設(shè)底面圓的半徑為R由右圖可見，三角形OAB是等邊三角形，為圓的，所以圓柱

11、面ABCD部分為整個圓柱面的，而窗口高為R 是圓柱高 2R 的一半， 所以窗口部分挖去的圓柱面部分的面積是圓柱側(cè)面面積的事實上也可以直接計算：窗口柱面挖去面積圓柱側(cè)面面積所以10不能解：奇數(shù) 1，3，5，7，9 中任兩個之和都大于 2 的偶數(shù)，因而是合數(shù)，所以在填入 3×3的表格時它們中任兩個橫向、豎向都不能相鄰如果滿足題設(shè)條件的 3×3表格的填法存在，那么奇數(shù) 1，3，5，7，9 只能填在表的四角和中心，而偶數(shù) 2，4，6，8 填在處，于是中間所填的奇數(shù)要與 2，4，6，8 橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數(shù)與 2，4，6，8 之和都要是質(zhì)數(shù)然而，這是不可能的，原因是：1+

12、8=9 是合數(shù)，3+6=9是合數(shù)，5+4=9是合數(shù)，7+2=9是合數(shù)，9+6=15 是合數(shù)，所以在 3×3表格中滿足題設(shè)要求的填法是不存在的1116解：由于中間小正方形面積是1，所以邊長是 1設(shè)正方形的邊長是a，如右圖所見，正方形的邊長是a+1，正方形的邊長是a+2，正方形的邊長是a+3，所以，由此得到，紅色正方形的邊長等于所以，紅色正方形面積等于161251.2 平厘米解：將紅色正方形平移使左邊與大正方形左邊重合，三個正方形覆蓋的總面積不變，這時，大正方形被分成四個部分，藍色正方形面積為 20 平方厘米，紅、黃兩塊顯露的矩形面積相等，其面積和是 44-20=24 平方厘米，所以紅黃

13、兩矩形面積均為 12 平方厘米，設(shè)右上角未被蓋住部分的面積為 x 平方厘米（如右圖）則因此大正方形的面積為44+7.2=51.2 平方厘米13不能解：甲容器水量為a，乙容器水量為 b，轉(zhuǎn)注前后兩容器水量和相等所以轉(zhuǎn)注前轉(zhuǎn)注后甲容器乙容器甲容器乙容器a+b= (a b+2b奇奇偶偶奇偶奇偶偶偶偶偶偶奇奇偶從以上可見，每次操作后，水量為奇數(shù)的容器數(shù)目不增由于初始狀態(tài)有五個杯中水量是奇數(shù)毫升，因此無論多少次操作，水量為奇數(shù)毫升的容器數(shù)總不能比5 多所以 5 個容器有3 毫升水，其余容器分別裝有6，7，8，9，10 毫升水（總計有 7 個容器水量為奇數(shù)毫升）的狀態(tài)不可能出現(xiàn)148解：如圖所示 + =

14、+ 所以 - = - =13-5=8因此（ - ） + （ - ） =8+8=16但（ -） + （- ）=（ + ）- （ + ）=矩形ABCD矩形ABCD=2PBD的面積+PBD）的面積 - PBD）的面積所以 2 PBD 面積 =16PBD面積=815數(shù)字之和等于12 的共有 48 個解：所求四位數(shù)的數(shù)字中，最小的數(shù)字必為1否則，若最小數(shù)字不為1，則最小的數(shù)字和將是2+3+4+5=14>12，與題意不符同理，次小的數(shù)字必須是2否則，次小數(shù)字不為2，則四位數(shù)的數(shù)字和將是：1+3+4+5=13>12，與題意不符因此，四個非零的不同數(shù)字和為12 的情況有如下兩種： 1 ，2，4，5 和1 ，2，3，6 由于每一組可以排出24 個合乎要求的四位數(shù)，所以總共可以排出2×24=48 個這樣的四位數(shù)1632 種解：采用由最上一層逐次向下填數(shù)字的方法，從“迎”字開始記為1，到下面兩個“接”字，各有一個條路，兩個“接”字都分別填1，到第三層三個“澳”字，兩邊的只有一種方法分別填“1”，到中間“澳”字可從上面兩個“接”字到達，因此填 2（1+1=2），以下按這個規(guī)則填寫，到第六層的六個歸字，填出的數(shù)1，5， 10，5，1分別表示連成“迎接澳門回歸”路線的方法數(shù)（如下圖）所以可以有 1+5+10+10+5+1=32種方法連成“迎接澳門回歸”這句話1753168解：這