均勻帶電球體表面電場強(qiáng)度的計(jì)算論文

1、因此均勻帶電球體表面電場強(qiáng)度使用高斯定理不能獲得，因?yàn)楦咚苟ɡ硎且粋€(gè)幾何表 面，表面電荷也利用幾何模型，當(dāng)高斯分割和表面電荷，表面電荷不能被視為一個(gè)幾何面， 與普通物理的電磁學(xué)教材在討論均勻表面電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分布不計(jì)算表面電場。本文介 紹了疊加原理，點(diǎn)電荷球形均勻一個(gè)任意點(diǎn)的磁場強(qiáng)度值，表面磁場強(qiáng)度為球形面很近球形 點(diǎn)電場強(qiáng)度平均值，并從外地疊加原理的兩種方法求出了均勻帶電球面電場強(qiáng)度值。關(guān)鍵詞：帶點(diǎn)球面；電場強(qiáng)度；疊加原理；電荷面密度；高斯定理；突變abstractpick due to uniform charged sphere surface electric field inte

2、nsity using gauss theorem cannot be obtained, because gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching mate

3、rials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. this paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength valu

4、e, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.keywords:with spherical; electric field intens

5、ity; superposition principle; surface charge density; gauss theorem; mutation目錄摘要iabstractii引言11. 電場強(qiáng)度與電場的疊加原理的概念11電場強(qiáng)度11.2電場疊加原理12. 帶電面產(chǎn)生的場強(qiáng)13. 用場強(qiáng)證加原理通過積分計(jì)算均勻帶電球面上的場強(qiáng)54. 用場強(qiáng)的疊加原理計(jì)算帶電球面空間的電場強(qiáng)度64均勻帶電球面空間的場強(qiáng)64.2均勻帶電半球面軸線上的場強(qiáng)94.3不均勻帶電球體表而空間場強(qiáng)的分布114.3.1分割帶電體積方法114.3.2立體角法135. 均勻帶電球面在介質(zhì)中的場強(qiáng)146. 通過推演和分析的

6、方法求均勻帶電球面上的電場強(qiáng)度187小結(jié)198參考文獻(xiàn)209謝辭21引言電荷的面分布是一種理想化的模型，某點(diǎn)的電荷面密度被定義為該點(diǎn)附近單位面積內(nèi)的電荷量，一般用字母。表示，0=色。討論帶點(diǎn)面電荷在空間產(chǎn)生的場強(qiáng) as分布是靜電學(xué)的一個(gè)最基本的問題。其中均勻帶電面是-種理想的模型，也是最簡 單一種情況，幾乎在每木電磁學(xué)教材中都討論過，例如無限大均勻帶電平面外一點(diǎn) 的電場強(qiáng)度為e=2,再一個(gè)就是本文所要研究討論的均勻帶電球體表面電場強(qiáng)度 的計(jì)算。1.電場強(qiáng)度與電場的疊加原理的概念1.1電場強(qiáng)度靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的靜電場，把在電場中所耍研究的點(diǎn)叫場點(diǎn)。在場點(diǎn)中放 置一個(gè)靜止的試探電荷q，有庫侖定律可

7、知，它所受到的電場力為戸二一舉耳，4碼r其中戸不但與場點(diǎn)有關(guān)，而且與試探電荷q有關(guān)，但乂只和場點(diǎn)有關(guān)，我們將之稱q為該點(diǎn)的屯場強(qiáng)度。以e為屯場強(qiáng)度，其大小為e三匸。q1.2電場疊加原理當(dāng)空間有兩個(gè)以上點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場時(shí)，作用于該點(diǎn)的總電場強(qiáng)度等于其他 點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)的電場強(qiáng)度的矢量和，這叫做場強(qiáng)的疊加原理，其表 達(dá)式為：e= = y = yei(2.1)q q q2.帶電面產(chǎn)生的場強(qiáng)在計(jì)算半徑為r帶電量為q的均勻帶電球體面上的電場強(qiáng)度分布吋，絕大多 數(shù)電磁學(xué)教材中都是用高斯定理來求解的。它們都有意的忽略了球體表面上的電場強(qiáng)度，只計(jì)算了球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度。它們都是在講高斯定理的運(yùn)用

8、時(shí)，將它作為一個(gè) 例題來講解的。由于在此種情況下，球體表面上的電荷分布是對稱的，在球面內(nèi)和球 面外作高斯面就很容易求出球面內(nèi)和球面外的電場強(qiáng)度的分布。假如均勻帶電球體半徑為r,電荷為q,那么均勻帶電球體表面內(nèi)外的靜電場強(qiáng) 如何計(jì)算呢？圖2.1均勻帶電球面幾何模型在球外任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)作與帶電球面同心的球面m。從電荷分布的球?qū)ΨQ 性出發(fā)，可以證明球面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小相等，方向沿徑向，故m面的e通量甘$ ds = en4r2(2.2.1)eds =払 e”ds = e”其屮e”是e在乞方向上的投影，r是球面m的半徑。另一方面，球面m內(nèi)的電荷 就是帶電球面的電荷q,由高斯定理有二q/心，故ez,=(

9、222)4叭因 ell % 故 e=enen=ener9 于是e二 ° ,(2.2.3)4叭設(shè)想把帶電球面的全部電荷q置于球心成一點(diǎn)電荷，其電場強(qiáng)度的表示與(2.2.3) 式相同。可見，均勻帶電球體表面外任意一點(diǎn)的場強(qiáng)等于球面全部電荷集中于球心 時(shí)在該點(diǎn)所激發(fā)的電場。過球面任一點(diǎn)作與帶電球面同心的球面式(1)對同樣成立，但面 內(nèi)電荷為零，故二0,因而e二0.e=0(r<r)(2.2.4)和e二 q 、(r>r)(2.2.5)4碼廠上面的計(jì)算并沒有涉及到球面上當(dāng)i二r吋的情況，而口當(dāng)場點(diǎn)從球面內(nèi)到球面 外的過渡過程中電場強(qiáng)度e的表達(dá)式有一個(gè)突變，那么就無法用兩邊取極限的方式

10、 來求出球面上的電場強(qiáng)度了。幾乎所有的電磁學(xué)教材都有意冋避了計(jì)算球面上的電 場強(qiáng)度，我們?nèi)绻亚蛎姹旧碜鳛橐粋€(gè)高斯面，就無法確定電荷是在球面內(nèi)還是球 面外，這樣就無法用高斯定理來計(jì)算，這是由于電荷的面分布是一種理想化模型造 成的。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)中我們接觸到的帶電面總是有一定的厚度的，那么我們在空 中任意一點(diǎn)所作的高斯面都可確定為面內(nèi)的電荷，這時(shí)面上的電場強(qiáng)度是可以計(jì)算 出來的。電場強(qiáng)度在均勻帶電球體表面上發(fā)生突變，場強(qiáng)的這種突變是由于對帶電球殼 采用面模型的結(jié)果。面模型是當(dāng)我們不關(guān)心帶電薄球殼內(nèi)的場強(qiáng)及球殼附近的場強(qiáng) 表達(dá)的是否正確，將帶電薄球殼視為一個(gè)帶電幾何面的理想模型。當(dāng)知道帶電薄層 內(nèi)

11、的電荷密度吋，層內(nèi)各點(diǎn)的電場強(qiáng)度就可以求岀來。假設(shè)均勻帶電量為q的薄球殼內(nèi)外半徑分別為&和心,電荷體密度為"，由高斯 定理可求出其場強(qiáng)e的分布：當(dāng)kr耐，e二0 當(dāng)r1 < rr2吋，做高斯面s,如圖所不：圖2.2球殼與高斯面幾何模型eds =-7r(r3-r；)p3(2.2.6)e-s=(r3-7?i3)3®e=黑(r=，卡)3£°s3e()4龍r(2.2.7)e<(r 4)n(228)當(dāng) t>r2 時(shí)，e=4 ° n4亦(廠(229)作電場隨r變化的曲線如圖所示，此曲線為一連續(xù)曲線。即帶電薄層內(nèi)的場強(qiáng) 從一壁到另一

12、壁是連續(xù)變化的，在任何地方都沒有突變。圖2. 3電場強(qiáng)度隨r的變化曲線如果保持球殼帶電量q和外半徑r?不變，讓球殼內(nèi)半徑叫不斷趨向與外半徑 r2,但是不能讓r=r2,不管球殼多么薄，其電場強(qiáng)度分布曲線都是連續(xù)的。當(dāng)帶 電球殼很薄并且我們不管球殼內(nèi)的場強(qiáng)及球殼附近的場強(qiáng)表達(dá)的是否正確，將薄球 殼視為帶電的幾何面，即：r1 二r 2 二 r這時(shí)電場強(qiáng)度將在帶電面上發(fā)牛突變（如圖所示）,并且不能從（2.2.8）式求 得r處的電場強(qiáng)度。這時(shí)我們要得到電場隨r變化的全部情況，就需要知道球面上的 電場強(qiáng)度。那么球面上任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度是否可以計(jì)算出來呢？電場強(qiáng)度隨r的變化會(huì)發(fā)牛突變，而高斯定理適合于電荷分

13、布具有某種對稱的 情況下。均勻帶點(diǎn)球面雖然是球?qū)ΨQ性的，但是高斯定理求電場強(qiáng)度是過所求場強(qiáng) 點(diǎn)作適合的高斯面，高斯面是一個(gè)幾何面，無論哪一種電荷（包括點(diǎn)電荷）與其相 交都會(huì)被分為球面內(nèi)和球面外兩個(gè)部分，因此，對于所作高斯面來講，均勻帶電薄 球殼不能再抽象為均勻帶電的幾何球面了，無法用高斯定理求出球面上的電場強(qiáng)度 了嘰既然無法用高斯定理不能完成任務(wù)，那么對于理想化的均勻帶電球面上的場強(qiáng) 又怎么求出呢？最宜接的方法也就是最基木的方法一一用場強(qiáng)疊加原理通過積分的方法計(jì)算。3 用場強(qiáng)疊加原理通過積分計(jì)算均勻帶電球面上的場強(qiáng)由于在大多數(shù)普通電磁學(xué)教材中，都只計(jì)算了球體內(nèi)外的場強(qiáng)，而在球面上的場強(qiáng)都沒有給

14、出，所以，在這里我們通過場強(qiáng)的疊加原理，來計(jì)算球面上的電場強(qiáng)圖3均勻帶電球面兒何模型度。我們把球面分成無限多個(gè)帶電圓環(huán)球，位于&到&+d&之間的球帶面積為ds=2欣厶sin&d&,所帶電量為dq=2. 2jr3/7(l - cos 0) sin ocl& 4 亦o(2/?2)%x(l cos&)% sin&d&,其中“為球面的面電荷密度宀壽。根據(jù)帶電圓環(huán)在其軸線上的場強(qiáng)公式可知，該球帶在球面上p點(diǎn)產(chǎn)生的 場強(qiáng)大小為：de=丄2欣(l-cos0) 4亦。3(2, 2r?cos 亦1 兀p (l-cos&) sinft

15、i。(3.1)v2(l-cos)2方向沿x軸正向，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，帶電面上p點(diǎn)的場強(qiáng)是所有這些帶電 球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)de的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強(qiáng)方向都相同，矢 量和變成代數(shù)和，所以合場強(qiáng)是de的標(biāo)量積分：1%(1-cos&)sin&/&e=de =4°72(1-cos=fp(l-cos&)sin&f&47元(1 - cos&) jp (1 - cos &) % sin gclop4辰。(l-cos&) 2 sin 61/(-cos-p"(1 一cos&) d (l-cos&am

16、p;)0=x2x(l cos0) 2 頁4如(3.2)我們通過場強(qiáng)的疊加原理求出的均勻帶電球面上的場強(qiáng)和電磁學(xué)教材上給出的球 面附近的場強(qiáng)一致，所以我們求出的結(jié)果的正確性是有保證的。4.用場強(qiáng)的疊加原理計(jì)算帶電球面空間的電場強(qiáng)度4.1均勻帶電球面空間的場強(qiáng)假如有一個(gè)均勻帶電球殼，半徑為r,它的總電荷為q,相對于殼的半徑,它的厚度幾乎可以忽略，球殼表面的面電荷密度為冬,如圖4.1所示： 4加?$r(4)(4.2)圖4均勻帶電球殼空間模型da=2?2sinftldq=<7 22sin6d&從截面至ijp點(diǎn)的距離為r-rcos&角取值從0到龍那么就有令 u=cos°2

17、£（）(r-/?cos) single/?2sin%+(r/?cos&)2%(4.3)在球面上時(shí)，b|jr=r(r - /?u) du(r2+r2-2r/?u)(4.4)(r - 7?u ) du(r2+r2-2r/?u)(jr? h r(l-u) du 2© t(r2 +r2 _2r2u)%(jr2 j r(l-u) du2%、' 2邁 r (l u)%=(l-u)du4鳳h=j *(1 -u) %d(lu)472j2£oor1 _ q2£°8t0/?2(4.5)(r-/?cos) sin陽&l?2sin2+( r -

18、 7?cos )2可得:在球面外，即r>r時(shí)由圖可知y2 "+_2&cos0ydy = 7?rsinftl2/?rr 一 rcos& = r/?2 +r2 -y2r2-/?2+y22r2rr+rro (一 r2=-(y)4ra/°、一 r2 ( d、=- (r+r)(r-r)+口40 廠r + /?r-r=半?(十-尺)+(+尺)4£。廣r2ar+rr-r(4.6)在球面內(nèi)，即rvr時(shí)可知:r+r3+件(r)二 7cyr / r2-r=-(y)4呂)廠yr+rr_r(4.7)亦/d m (d x r r a=- (r + 0 _ (r 0 +

19、 j40 rr + rr-r= -v/? + r + (/?-r)-(/?-r)-(+o = 0 4®廠綜上所述可知:(4.8)0 r>r斗r"8叭r-q4.2均勻帶電半球面軸線上的場強(qiáng)有一個(gè)均勻帶電的半球面，它的半徑為r,電荷的面密度為求球心處的電 場強(qiáng)度。我在這里求軸線任意一點(diǎn)p上的電場強(qiáng)度？4.2.1分割帶電體積方法首先選取坐標(biāo)軸ox沿半球面的對稱軸，如圖4.2所示，把半球面分成很多微小寬 度的環(huán)帶，每一個(gè)環(huán)帶的面積為dss=27rr2 sin 3d0(4.9)小環(huán)上帶的電荷為：dq = o2兀r sin陽&(4.10)設(shè)小環(huán)帶到p點(diǎn)的距離為r,帶電截面

20、與p點(diǎn)的距離為x；根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，帶電面上p點(diǎn)的場強(qiáng)是所有這些帶電球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場 強(qiáng)de的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強(qiáng)方向都相同，矢量和變成代數(shù)和，由 均勻帶電圓環(huán)在其軸線p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)可知：x圖4.2均勻帯電半球血幾何模型dexdq4 碼(f +)，(4.11)x=r+rcos & y= rsin &方向沿x軸正向。(r+/?cos&) cr2加?2 sin陽&4 濟(jì))(廠 + r cos 殲 + (/? sin 0)2 %_ (r + rcos0)-(jr9u=r +r =u 2 sinodo 2e0 (r + r cos 0)2 + (r si

21、n &尸%_ (jr2 sin + r cos 0do 2e0(r + r cos ff)2 + (r sin 0)2 %所以和場強(qiáng)是de的標(biāo)量積分:y(jr2 sin &(r + /?cos &)d& ° 2q (廠+ rcos&)2 + (rsin&)%(4.12)(4.13)cr2 ry sin 0(廠 + rcos 0)d& 2q(八+2承 cos& + /?2)%令 u=x +2rrcos&+ "du - -2/7? sin oclod0 =du-2rrsin3rcosou-r2-r22r(j

22、r cm2 (廣 + 況r jt/w -沁“cyr一 8廠匕(尸-r2 2du +u 2 du-vu -duor4廠匕(廠? 一 疋)(一丄 一一 )+ (&? j") vw2 vw1(4.14)2u= (r+r) _=u一箒宀小7總7 一人+（丹十引(4.15)當(dāng)尸0時(shí)，即半球的球心處，此時(shí)該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為:(4.16)e = sino cos odo = 2心jo4心方向沿x軸方向。這與電磁學(xué)書上給出的結(jié)論一致，可以保證它的正確性。4.3不均勻帶電球體表面空間場強(qiáng)的分布在靜電學(xué)中，我們經(jīng)?？梢砸姷骄鶆驇щ娗蛎婵臻g場強(qiáng)的計(jì)算這類問題，它是 將現(xiàn)實(shí)中的問題理想化的模型，但是在

23、現(xiàn)實(shí)牛活中，我們遇見的問題比較復(fù)雜，就 像我們要討論的問題：不均勻帶電球面空間場強(qiáng)的分布問題，例如我們會(huì)遇到帶電 球而電荷密度為極角0的余弦的函數(shù)的情況，因此，研究非均勻帶電球而場強(qiáng)分布 對研究屯荷分布有非常重要的意義。如圖所示，非均勻帶電球體表面一半帶正電荷，一半帶負(fù)電荷，在極角。處，電荷 面密度的數(shù)值是0余弦的函數(shù)，即7 = scos& ,求其球面空間電場強(qiáng)度的分布®。 在這里我們用兩種方法來求解。4.3.1分割帶電體積方法首先選取坐標(biāo)軸0x沿半球面的對稱軸，如圖4.3所示，把半球面分成很多微小寬 度的環(huán)帶，每一個(gè)環(huán)帶的面積為dsa+ + + de' r、+/i

24、k i + e +o - x圖4.3不均勻帯電球體幾何模型(4.17)ds=2；rf?2 sin 陽&小環(huán)上帶的電荷為:設(shè)小環(huán)帶到p點(diǎn)的距離為帶電截而與p點(diǎn)的距離為x；根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，帶電面上p點(diǎn)的場強(qiáng)是所有這些帶電球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場 強(qiáng)de的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強(qiáng)方向都相同，矢量和變成代數(shù)和，由 均勻帶電圓環(huán)在其軸線p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)可知：xdqde二；b(419)4 亦o(f + y2)/2x=r-rcos &y= rsin &方向沿x軸正向。de =(r- r cos 0) <t()cos 027rr2 sin odb4 碼(廠一rcos &

25、;)2 +(/?sin(r- rcos0)o)r2 cos&sin&/&2e0 (r 一 /? cos 0)2 + (/?sin 3)2 %(4.20)2 cos &sin 3(r-r cos odo2q)(廠 22/7?cos& + f)%所以和場強(qiáng)是de的標(biāo)量積分:7t(jr2 cos & sin &(r + 7?cos o)d02£o(2rrcose + rj%r cos 0 sin &(廠 + r cos(r2-2r/?cos&+f)%(4.21)令u=x 十 r? -2rrcos0 兩邊同吋求導(dǎo) du

26、= 2rrsin oddd0 =du2 rr sin 0rcoso =r2 + r2-u(廠2_2 承 cos0+r2)%r cos 0 sin 6r 一 r cos &)d&，m2 (r2 + r2-u)(r2-r2(4.22)當(dāng)"誇吋，3+疋+ u)udu=2wy (疋一小 + 4/?%-w2 16廠匕03當(dāng)& = ° 時(shí)，uux+f-z承=(廠一/?)2e = 2（7?4 - r4 ）（-?= ） + 4/?2 （y/u -氏）-£（71 7?）（ 4.23）16尸£。皿 j絢3當(dāng)尸0吋，即計(jì)算球心的場強(qiáng)。432立體角法在半

27、球面上任取一個(gè)面元ds （如圖4.4）,面元ds所對應(yīng)的立體角為dq。圖4.4不均勻帶電班球面兒何模型則面元ds在球心0處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小de為:de =_gds_4庇r其中 a =(yqcoso de -cos 3ds4兀er(4.24)那么，整個(gè)球面上所有電荷元在球心o處產(chǎn)生的場強(qiáng)e的大小z和可以表示為:_ f f (to cos ocls _ (to cos 0 ds 二jmj 4庇戲二石丿臣(4.25)ds又50)cos 0(4.26)5 均勻帶電球面在介質(zhì)中的場強(qiáng)設(shè)電容率為8的介質(zhì)球置丁均勻外電場&中，介質(zhì)球在外電場中極化，在它表 面上產(chǎn)牛束縛電荷。這些朿縛電荷激發(fā)的電場疊加在

28、原電場矗上，得總電場e .朿縛 電荷分布和總電場云相互制約,邊界條件正確地反映這種制約關(guān)系若球半徑他，球 外為真空。這個(gè)問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場瓦方向的軸線，取 此軸線為極軸7】。介質(zhì)球的存在使空間分為兩均勻區(qū)域一一球體區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。兩個(gè)區(qū)域內(nèi)部都沒有白由電荷，因此電勢。都滿足拉普拉斯方程.以代表球外區(qū)域0 =工 anrn + 的電勢，©代表球內(nèi)區(qū)域的電勢有公式 irn+)p” (cos &)(其中代（cos&）為勒讓德函數(shù)，色和仇是任何常數(shù)，有邊界條件確定.），兩區(qū)域的通解為:% 也+島人（cos&）(5.11a)(5.13a)(5.14

29、a)(5.15a)(5.16a)(5.17a)有(5.18a)式解出-eqr°+善c/?o2sb疔佳er，(5.18a)(5.19a)0嚴(yán)工(皿+令” (cos&)n k丿(1) 無窮遠(yuǎn)處，e t eo,由 °(£)_©(片)=一易得叭 t -eqrcos& = 一片(cos0)因而5 =_e(), an =0 (心 1)(2) r=0處，©應(yīng)為有限值，因此心=0(3) 在介質(zhì)球面上(尺二凡)：d® 剛2把(5.11a)和(5.12a)式代入得一 eo r° p (cos &) + 工語代(cos 0

30、)= x cn r；代(cos &)n代on一 e()p (cos &) 一工"p“ (cos &)=三工 ncn r' pn (cos &)n kqeq n比較a的系數(shù)得比較(5.17a)式其他巴項(xiàng)的系數(shù)可解出bn = cn = 0,心 1所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此木問題的解為£一£° eo/?o cos&(5.21a)(p、=-e(、rcos&+&°£ - 1e. r2彳倉 e°r cos。e + 2e0 0巨-盼竽恥急瓦所以(5.22a)上式即為球體目標(biāo)的電場

31、分布公式(現(xiàn)在討論此解的物理意義由色總是小于1, 所以球內(nèi)電場比原來的電場瓦為弱，這是由于介質(zhì)球極化后在右半球面上產(chǎn)生正束 縛電荷，在左半球面上產(chǎn)生負(fù)束縛電荷，因而在球內(nèi)束縛電荷激發(fā)的場與原外場反 向，使總電場減弱。b設(shè)接地?zé)o限大平面導(dǎo)體邊附近有一點(diǎn)電荷°,從物理上分析，在點(diǎn)電荷。的電場 作用下，導(dǎo)體板上出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布。若。為正的，則感應(yīng)電荷為負(fù)的?？臻g中的 屯場是由給定的點(diǎn)屯荷。以及導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，而另一方面感應(yīng)電 荷分布又是在總電場作用下達(dá)到平衡的結(jié)果。平衡的條件就是導(dǎo)體的靜電條件，即 導(dǎo)體表面為一等勢面所以這問題的邊界條件是。二常數(shù)(導(dǎo)體面上)或者說，電場線必須

32、與導(dǎo)體平板垂直。我們設(shè)想，假設(shè)感應(yīng)電荷對空間電場的作用 能用一個(gè)假想的電荷然后把導(dǎo)體板抽去，若2i=-e。則假想電荷0與給定電 荷。激發(fā)的總電場具有對稱性，有對稱性容易看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場線處 處與它相交，因而邊界條件得到滿足。因此，導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實(shí)可以用板下 方一個(gè)假想電荷©代替。©稱為。的鏡像電荷導(dǎo)體板上部空間的電場可以看作原 電荷q與鏡像電荷q二q共同激發(fā)的電場以尸表示°到場點(diǎn)卩的距離，人表示鏡 像電荷0到p的距離。卩點(diǎn)的電勢為：) = 7f-4亦o"人丿(5.11b)選q到導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)。作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)°到導(dǎo)體板的距離

33、為有q0(5.12b)+ y2 + (z - a)2 j/ +(z + °)2e = v° = 一西drc 設(shè)半徑為尺的帶電球面，面電荷密度為" = 5）cos& （&為常數(shù)），球外充滿介電常數(shù)為£的均勻介質(zhì)，若球外電勢分別為因球內(nèi)外電荷密度都為零，故(57c)bn=altr2n+ ("1,2,3 )(5.18c)(5.19c)v" = 0,r<r(5.11c)v 期2 = 0,r>r(5.12c)邊界條件：當(dāng)廠t 8,0 t 0；當(dāng)廠t 0,01為有限；(5.13c)邊值關(guān)系：(p、= ©(r

34、= r)(5.14c)沏2尸沏廠&0- _<jodrdrcos&(廠=/?)(5.15c)由對稱性及邊界條件，方程（1.11c）和（1.12c）的解可寫為：叭=afpn(cos&)(5.16c)滿足方程:®產(chǎn)工等e（cos&）利用邊值關(guān)系（5.14c）和（5.15c）,可得到：2眇 -a局r =bn = anrlnn 主 1)解得:求得:圭2急八円"e）(5.20c)(5.21c)£比+ 1進(jìn)而求得球內(nèi)外電場:(5.23c)(5.24c)6通過推演和分析的方法求均勻帶電球面上的電場強(qiáng)度和b的場為求球面上p點(diǎn)的場強(qiáng)，在球面上先取

35、一個(gè)以p為圓心半徑r為趨近于無窮 小的帶電圓面（圓球面則趨近于平面）何，如圖6.1所示。這樣均勻的帶電球體表面就 被分割為兩部分：帶電圓面和帶電球面剩下的部分，它們的帶電量分別為q】和 q?。根據(jù)場強(qiáng)的疊加原理可知，在空間中任一點(diǎn)的場強(qiáng)就等于q】和q?在該點(diǎn)產(chǎn) 生的場強(qiáng)e、和ei的矢量和。其中p點(diǎn)兩邊球面內(nèi)和面外的兩點(diǎn)a和b, a和 b到p點(diǎn)的距離都是比1高階的無窮小量，相對于a、b的所在的位置小圓平面可 看作一個(gè)大的平面。取徑向方向即a到b的方向?yàn)檎较?如圖，則 強(qiáng)分別為：域面外v圖6抄向ea f+e2a 五+e2a(6.1)e -e2,+e2 +e2/j(6.2)(6.3)o2a - 2£