畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）-伊辛模型的研究

1、摘要:本文首先介紹了什么是伊辛模型及其提出的背景，接著介紹了布喇格一威廉斯近似方法，它是一種典型的平均場(chǎng)理論。雖然其存在缺陷，但可以說(shuō)明伊辛模型相變的主要 特征。然后又簡(jiǎn)單介紹了用來(lái)討論臨界點(diǎn)性質(zhì)的臨界指數(shù)，最后通過(guò)對(duì)伊辛模型 求嚴(yán)格解，得出了一維伊辛模型的局限性。關(guān)鍵詞：伊辛模型平均場(chǎng) 配分函數(shù)相變abstract: this article first introduced any is the background which the ising model and proposed, then it introduced the bragg - williams approximate

2、 method, it is one kind of typical average field theory. although its existence flaw, may explain the ising model changes main characteristic. then it simple introduced the critical exponent，which used for to discuss the critical point nature, finally we got the result of the ising model's limit

3、ations from the ising models strict solution.keywords: ising model ； average field ； partition function ； phase transformation.0引言41伊辛模型41. 1 鐵磁體的伊辛模型41. 2其它模型的對(duì)照52 布喇格一威廉斯近似62. 1布喇格一威廉斯假設(shè)62. 2配分函數(shù)72. 3相變73 臨界指數(shù)93. 1 臨界點(diǎn)的性質(zhì)104 伊辛模型的嚴(yán)格解104. 1 一維伊辛模型的局限性11結(jié)束語(yǔ)13參考文獻(xiàn)14致謝150引言從20世紀(jì)30年代中葉開(kāi)始，“從單一的配分函數(shù)表達(dá)式能否

4、同時(shí)描述各項(xiàng)和相的轉(zhuǎn) 變”這一問(wèn)題成為爭(zhēng)論對(duì)象之一。該問(wèn)題的解決方法之一是建立包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征的簡(jiǎn) 化模型，嚴(yán)格地導(dǎo)出其在相變點(diǎn)的宏觀(guān)特性。物理學(xué)家經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)對(duì)統(tǒng)計(jì)模型的 大量研究，已形成統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)專(zhuān)門(mén)研究領(lǐng)域，其中一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型伊辛模型。 然而，經(jīng)過(guò)研究和討論，該模型并非十分完美，仍存在一定的局限性。1伊辛模型伊辛在1925年提出一個(gè)描述鐵磁體的簡(jiǎn)單模型。模型雖然簡(jiǎn)單，但是用它討論鐵磁 體的相變十分方便。同時(shí)，只需對(duì)相應(yīng)的記號(hào)稍加改變，這一模型還可以描述二元合金模 型、晶體內(nèi)吸附氣體分子的格氣模型等以有序一無(wú)序相變?yōu)樘卣鞯南到y(tǒng)。1. 1鐵磁體的伊辛模型鐵磁體視為n個(gè)格點(diǎn)組成

5、的n維晶格（二1, 2, 3）,每個(gè)格點(diǎn)上均冇一自旋粒子。粒 子的自旋計(jì)為s, （/=1, 2,，n）,它只取+1或t兩值，或速俗稱(chēng)自旋向上與自旋向下 兩個(gè)取向。格點(diǎn)上自旋的取值構(gòu)成分布sj,每個(gè)分布描述鐵磁體的一個(gè)構(gòu)形。只考慮最近鄰自旋的相互作用，起作用能的取值原則是：當(dāng)兩個(gè)相鄰自旋相互平行（沿 相同取向）吋取-占，反平行（平行但取向相反）吋為+£； £>0對(duì)應(yīng)鐵磁性，為反鐵 磁性。同時(shí)，自旋與外磁場(chǎng)還冇相互作用。將自旋磁矩計(jì)為ub,在外磁場(chǎng)為b,分布為si 吋系統(tǒng)的能量則口 j寫(xiě)為ne, £二-£ xsisj-bb xsi（1-d<ij&

6、gt;/=1式中求和符號(hào)的（/>表示：求和時(shí)s,s j和s/sj中只取一項(xiàng)，而11只取最近鄰項(xiàng)，這種 規(guī)則冇時(shí)寫(xiě)為j = i + .下標(biāo)t表示給出的是伊辛模型的能量。如果每格點(diǎn)的最近鄰格點(diǎn)數(shù) 為了，求和項(xiàng)的總數(shù)則為灑/2。假設(shè)自旋向上總粒子數(shù)；自旋向下總粒子數(shù)；n+： （+）型近鄰（即相鄰 兩自旋均向上）總刈數(shù)；n（-）型近鄰（即相鄰兩自旋均向下）總對(duì)數(shù)；n+_ : （+-） （包括-+）型近鄰（即相鄰兩自旋反向）總對(duì)數(shù)。根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系以及（1-1）式可得到以n+為變量表達(dá)式(12)e（n+, n+） = -4m+ + 2（0 -心b）n+ -（1 / 2 洱-“詔）n配分函數(shù)則為0（0

7、,8）二£0處）二£.工何倒1nsl sn二盯（尹沿）£/20（曠“嚴(yán) + 工g（w+,n + +）嚴(yán)*（1-3）n 卜=0n+（1-3）式給出了伊辛模型的配分函數(shù)。但是，要利用這個(gè)配分函數(shù)來(lái)研究相變述需進(jìn) 一步給ibn+和n+的值。這歸根到底是一個(gè)求解伊辛模型的問(wèn)題。1. 2其它模型的對(duì)照二元合金和晶格氣體可用類(lèi)似于伊辛模型的方法來(lái)描述。事實(shí)上，只要將上面伊辛模 型屮的n+等的意義加以調(diào)整，既可描述二元合金和格氣。1. 2. 1二元合金二元合金的相變是研究最早的有序一無(wú)序相變。當(dāng)溫度升至t = tc （某個(gè)臨界溫度） 吋，每種原子占“對(duì)”位置的幾率將為1/2 （

8、“錯(cuò)”的幾率同吋增大到l/2）o那就是說(shuō)， 從心開(kāi)始，包括溫度繼續(xù)上升而超過(guò)這個(gè)臨界溫度，兩種原子將“無(wú)序”的混合。我們說(shuō) 在心點(diǎn)發(fā)生了從有序到無(wú)序的轉(zhuǎn)變，或曰相變。通常又將這一相變點(diǎn)稱(chēng)為居里點(diǎn)?？紤]某合金含有兩種原子a和b,我們可將它們類(lèi)比于自旋向上和向下兩種情形。假 定原子共占據(jù)w個(gè)格點(diǎn)，每格點(diǎn)近鄰數(shù)為了，近鄰型a4 （即a原子與a原子相鄰）的對(duì) 數(shù)為 g, 型對(duì)數(shù)為g，型對(duì)數(shù)為n/恰；再以£心，加 sb表示各種近鄰的相 互作用能。這樣，合金系的總能量可寫(xiě)成（略去原子動(dòng)能）eaznbb'nabxaa 十 *bbnbb + 6bnab(1-4)總能量則只是巧與n/的函數(shù)ea

9、（naa） =（*aa £bb 2£ab）naa +7（勺b - £bb）na + 洱加n（ 1-5）以上描述的模型與伊辛模型十分相似。事實(shí)上，只需將伊辛模型的+、-換為a、b,它就 可描述二元合金。1. 22格氣有些晶體的內(nèi)部或表面可以吸附氣體分子，因?yàn)楸晃降臍怏w分子占據(jù)晶體的格座，所 以將形成的體系稱(chēng)為格氣。以a代表原子，以e代表空格點(diǎn)，記格座數(shù)為n,原子數(shù)為空格點(diǎn)數(shù)為n-每 格點(diǎn)近鄰數(shù)為/ ,近鄰均為原子（曲型）的近鄰對(duì)的總對(duì)數(shù)為 u ,近鄰ae的對(duì)數(shù)為nae , 近鄰是ee的對(duì)數(shù)為 %。因?yàn)橹挥薪徳又g才有相互作用，所以n施與“氏對(duì)總能量 沒(méi)有貢獻(xiàn)。

10、略去原子動(dòng)能，體系總能量可寫(xiě)為eg =-naa（1-6）以為各原子吸附能相同，它們對(duì)總能量只貢獻(xiàn)一個(gè)常數(shù)，所以這里沒(méi)有記入。用上述能量表達(dá)式立即可以寫(xiě)出配分函數(shù)為qm，n» 七”嚴(yán)（1-7）式中求和符號(hào)中a表示對(duì)所有被吸附原子的分布方式求和。在計(jì)算屮還要注意到， 原子因?yàn)槠涠ㄓ蛐允强梢苑直娴?。巨配分函?shù)為00qg（乙0,心）二工八 qgw，nj（1-8）/v4=0上述兩種模型與伊辛模型在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度是一樣的，其區(qū)別在于格點(diǎn)狀態(tài)的記號(hào)不 同，互作用能大小各異。以下我們將集中討論對(duì)伊辛模型的求解，并以之為代表研究這類(lèi) 體系的相變問(wèn)題。2布喇格威廉斯近似運(yùn)用平均場(chǎng)方法可以簡(jiǎn)單地得出伊辛模

11、型的相變結(jié)果。布喇格（bragg）威廉斯 （williams）近似方法就是一種典型的平均場(chǎng)理論。這種近似雖然很粗糙，但可以說(shuō)明相變 的主要特征。2 . 1 布喇格威廉斯假設(shè)布喇格和威廉斯提出一個(gè)假設(shè)，近似地取2n,. 時(shí)罟（2t）這一假設(shè)的基本思路是：自旋對(duì)的總數(shù)為1/2刖，單粒子取正自旋的幾率應(yīng)是njn, 兩粒子同吋取正的幾率便應(yīng)為（n+/n）2,用它代表（+）粒子對(duì)在總對(duì)數(shù)中所占的比例， 便可得上述關(guān)系。顯然，這是一個(gè)平均的考慮。再定義長(zhǎng)程序參數(shù)厶，它曲下式給出訂z），n=-（1-l）（15 厶 51）（2-2）n2不難由下式看出l的物理意義：l = g_n若以元胞體積作為體積單位，即v=

12、n,磁化強(qiáng)度則為m = »r l（23 ）于是，求磁化強(qiáng)度的問(wèn)題歸結(jié)為求厶的平均值的問(wèn)題。下面將用配分函數(shù)計(jì)算這一平值。2. 2配分函數(shù)采用布喇格威廉斯假設(shè)，根據(jù)l的定義，（5. 1.3）可寫(xiě)為坊（厶）二一*哪（厶+ 1尸+ （今一幻（厶+ 1）-百砒-pbb）n 二（一*疔一“申）川（2-4）配分函數(shù)則為0（0,3）二2廠(chǎng)皿3叩si00n!g()n+!(n_n+)!刖（珈？/2+“"）1el=-ltv!刖（£沼/2+“泌）(2-5)2w + l)對(duì)于宏觀(guān)體系，有n>, 2v+>1,所以求和中可以只保留最犬的一項(xiàng)。我們將這一項(xiàng)厶記為z,并用最大項(xiàng)代替配

13、分函數(shù)則有1iin2, 0 （ 了毎 + “諮 l） + （n'nn nnn -n inn ）/nn2=0 （丄yellirb z） - 匕厶匕丄 -（2-6）2 2 2 2 2對(duì)上式給出的ln0求極值就可以確定配分函數(shù)中的最大項(xiàng)。相應(yīng)的序參數(shù)極值z(mì)應(yīng)滿(mǎn)足如 下方程q r-i亦i" 巴 0n（砒厶2/2+作厶）二°n j.（n n ）l7由此得丄in!±2二缺+泌，2 l kbt k bt所以_l =輕 + 應(yīng)）（2-7）這個(gè)公式給出了序參量的平均值，名為布喇格威廉斯公式。2. 3相變以£0,即鐵磁性物質(zhì)為例，考慮b = 0情形的相變.這時(shí)布喇格

14、威廉斯公式成為l = tanhez）二 tanh（z）（2-8）“tt式中引入的溫度c滿(mǎn)足條件(2-9)疋）圖2-1圖解法定匸綜上，方程的解歸納為-0,t>trz 、l=c（2-10）l土厶）t<tc由上述解可以看出：t>tcnt, z=0,物體系無(wú)磁化；t<tc時(shí)，在7取土厶）h0時(shí)7；有 相同的極小值。這時(shí)不加外場(chǎng)仍有磁化，古故稱(chēng)自發(fā)磁化。這說(shuō)明，鐵磁系只有在t<tc吋 才出現(xiàn)鐵磁性，溫度7；是發(fā)生鐵磁相變的臨界溫度。對(duì)厶）一般須用數(shù)值求解，在極限情況下可以得到近似的解析結(jié)果:(2-11)1-2產(chǎn)刁,t/tc «1(3q - ti tc)0 v 1

15、_ t / t« 1圖2-2給擊厶作為溫度的函數(shù)曲線(xiàn)，這里我們看到，在相變點(diǎn)，描述相變特征的量心 和<n(> >/n都是連續(xù)變化的，這是連續(xù)相變的共同特征。圖2-3比熱隨溫度的曲線(xiàn)由(2-11)的結(jié)果作出比熱隨溫度變化z曲線(xiàn)如圖2-3。由圖可見(jiàn)，在：，比熱發(fā)生 了突變。這反映7；作為相變點(diǎn)的特征。為比較，圖中同時(shí)繪出嚴(yán)格解的定性曲線(xiàn)。布喇格一威廉斯近似是一種十分簡(jiǎn)單的近似方法。它成功地獲得了相變的結(jié)杲，但有 嚴(yán)重缺欠。例如，由這一理論得到的：“相變與空間維數(shù)無(wú)關(guān)”的結(jié)論是不止確的。嚴(yán)格 求解可以證明，證明，一維伊辛模型沒(méi)有相變。3臨界指數(shù)上節(jié)用布喇格一威廉斯的平均場(chǎng)

16、近似方法得到了伊辛模型臨界點(diǎn)附近的序參量l學(xué)函 數(shù)，給出了相變的一些特征。在臨界點(diǎn)t二7；附近，物體系性質(zhì)比較特殊，很突出的一個(gè)特 點(diǎn)是漲落非常大。與次相關(guān)的一些物理現(xiàn)象，例如臨界乳光現(xiàn)象，早已為實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。因此, 研究臨界點(diǎn)附近重要物理量對(duì)外參數(shù)變化的響應(yīng)特征是十分重要的。這些特性常用臨界指 數(shù)來(lái)描寫(xiě)?，F(xiàn)在，我們用上節(jié)的方法討論伊辛臨界點(diǎn)附近的性質(zhì)，并進(jìn)一步給出臨界指數(shù) 的概念。臨界點(diǎn)的性質(zhì)1臨界磁化強(qiáng)度m oc r,/2(3-1)2臨界比熱a +ttc,t -> tct t tc(3-2)這里久3. 1. 3臨界磁化率現(xiàn)在考慮磁場(chǎng)b的影響。在b二0出磁化率龍由下式給出pb(0l(3-3

17、)icb丿x丿 b=0由（2-7）及7；的定義可得z 厶二 tan/? 1 lt(3-4)將右端展開(kāi)為(3-5)對(duì)b求導(dǎo)數(shù)并注意力的定義可得4、+ l + )(3-6)4伊辛模型的嚴(yán)格解布喇格一威廉斯近似雖然簡(jiǎn)單而且給出了相變，但是過(guò)于粗糙，至少在兩個(gè)方面有兩 個(gè)不足：首先，它給出的相變與維數(shù)無(wú)關(guān)。這一點(diǎn)在定性上就是不正確。本節(jié)將證明，一 維伊辛模型沒(méi)有相變。其次，它給出的臨界指數(shù)與實(shí)驗(yàn)值偏離較大。對(duì)一些熱力學(xué)量的計(jì) 算結(jié)果在定性上也有偏差。例如，它雖然給出了比熱作為溫度的函數(shù)在臨界點(diǎn),t=tc不連 續(xù)，但具體特征不對(duì)，沒(méi)有給出久比熱。后來(lái)，貝特（bethe） 派爾斯改進(jìn)了他們的近 似，得到了

18、好得出的結(jié)果。他們得出的臨界溫度低于布喇格威廉斯結(jié)果，更接近精確 解的值，同吋給出了接近兄型的比熱。但是，種方法仍然是比較粗略的。對(duì)于伊辛模型的嚴(yán)格求解，物理學(xué)家進(jìn)行了長(zhǎng)期的努力，但至今還只解決了一維和二 維的問(wèn)題。對(duì)高維數(shù)（包括三維）的體系仍然只能獲得近似結(jié)果。4. 1 一維伊辛模型的局限性我們用周期邊界條件來(lái)研究一維伊辛。假定n個(gè)門(mén)旋組成一維鏈，其第n個(gè)口旋與第 一個(gè)相接，形成環(huán)形鏈，如圖4-1所示。在熱力學(xué)極限卜：邊界條件的選擇不會(huì)影響計(jì)算 結(jié)杲，因此用上述特邊界條件得到的結(jié)杲貝有普遍性。用開(kāi)始的描述方法，構(gòu)型組態(tài)h相 應(yīng)的能量為£/ s= “詐£$(4-1)/=1/=1其周期性邊界條件為$t n+廠(chǎng) si(4-2)配分函數(shù)則可寫(xiě)為0(0,b)二 丫工 exp0亍(f+i + “討 $)(4-3)s嚴(yán)s冃-/=! -圖4-1 一維周期鏈利用周期性邊界條件則冇處理得0(0,b)二 £.exp5/sn+ 皿)(4-4)s|s” /=!(4-5)將戶(hù)的兩個(gè)木征值寫(xiě)為幾+説_(假/a+ >