福建省莆田市201O年高三教學質量檢查（數(shù)學理）

1、福建省莆田市2010年高中畢業(yè)班教學質量檢查數(shù)學(理科)試題參考公式：如果事件a、b互斥，那么p(a+b)=p(a)+p(b)；如果事件a、b互相獨立,那么p(a b)=p(a) p(b)；樣本數(shù)據尤,x2,乙的標準差:x =(x x)2 + (x9 x)2 +. + (xn x)2,其中兀為樣本平均數(shù); v n"錐體體積公式：v=-sh，其中s為底面面積，/?為高。3第i卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題意要求的。把答案填寫在試卷的指定位置。1.集合m =xx-l>0 , n = xx-l<

2、;2,則mjn=()a. x i x > 1b. xx> -1c. xll<x<3d. xlx<32.經過圓x2 + y2 + 2x的圓心，且與直線x + y = 0®直的直 線/的方程式()a. x+y + l = 0b. x- y4-1 = 0c. x + >'-1 = 0d. x-)?-1 = 0a的值為()3115157a.b.c.). 一1616843閱讀如圖所示的程序椎圖，運行相應的程序，則輸出)a.? 2與橢圓詁令=1有公共焦點,且離心率心訥雙曲線方程為(r_ =%2d.x2y2132122側視圖7.下列既是奇函數(shù),乂在區(qū)間-

3、1,1上為減函數(shù)的是（a. f（x） = -sin2xb. /（x） = -lx + l ic. f（x） = 2x-2xd. =2 + x8. 如圖，d是邊長為4的正方形區(qū)域，e是區(qū)域d內函數(shù)y = 圖像下方的點構成的區(qū)域，向區(qū)域d中隨機投一點，則該點落入區(qū)域 e中的概率為（）.11、11a. b.c.d.5432-2°2 x9. 已知 a> b c 為非零的共面向量,p:b-c=b + c, q: (a b)c = (a b)c = (a c)b ,則卩是9的（）a.充分不必要條件c.充分且必要條件b.必要不充分條件d.既不充分又不必要條件10.如果存在1, 2, 3,斤的

4、一個新系列勺，a2,an,使得 k + ak ( k 二1,5. 某三棱錐的側視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）a. 4羽b. 83c. 12巧d. 2436. 下列關于函數(shù)的零點的說法中，正確的是（）a.不存在零點b. 有且只有一個零點兀0，且兀00（八，1）c. 有且只有一個零點兀0，且x0 （1, e2）d. 有兩個零點2,，n）都是完全平方數(shù)，則稱為“好數(shù)”。若分別取4, 5, 6,則這三個數(shù)屮，“好數(shù)” 的個數(shù)是（）a. 3b. 2c. 1 d. 0第ii卷（選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，沒小題4分，共20分。把答案填寫在試卷的是定位置。12. 設函數(shù)/(x

5、)=(l) x<0,則fm = -的實數(shù)兀的值為2 2log4 x, x > 0 ,13. 在某電視臺舉辦的挑戰(zhàn)主持人人賽上，七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據的方差是07 98 4 尿】訓？14. 若實數(shù)兀、y滿足線性約束條件"52泌。設冃標函數(shù)z = x 2y,則z的取值范圍是。tt7t15. 某同學利用描點法畫函數(shù)asin(ejc + 0)(其小a>0, 0<6><2, 一一<(/)<)22的圖象，列出的部分數(shù)據如下表：x01234y101-1-2經檢杏，發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據計

6、算錯課,請你根據上述信息推斷函數(shù)asin(x + <p)的解析式應是o三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16. (本小題滿分13分)在 abc中，角a、b、c所對的邊分別是q、b、c,且a2+b2=c2-ab.(i )求角c的大小;(ii)若 cos a =v33,求cos2b的值。17. (木小題滿分13分)己知等差數(shù)列%的公差d0,且a4 +a6 =10 , a4-a6 =24o(i) 求數(shù)列£的通項公式;（ii）設化=（n g n鶯,數(shù)列bn的前n項和為7；,若tn>m對任意 w n*恒色®+i成立，求整數(shù)m的最

7、大值。1& （本小題滿分13分）如圖，在四棱錐p-abcd中，底e abcd為正方形，p4丄底面abcd , pa = ad = 2f e是棱pc的中點。（i）設點g在棱a3上，當點g在何處時，可使直線ge丄平epcd,并證明你的 結論；（ii）求直線ac與平面ade所成角的大小。19. （本小題滿分13分）某學校舉辦“有獎答題”活動，每位選手最多答10道題，每道題對應1份獎站，每份獎 品價值相同。若選手答對一道題，則得到該題對應的獎品。答對一道題z后可選擇放棄答題 或繼續(xù)答題，若選擇放棄答題，則得到前面答對題目所累積的獎品；若選擇繼續(xù)答題，一旦 答錯，則前面答対題目所累積的獎品將全部

8、送給現(xiàn)場觀眾，結朿答題。2假設某選手答對每道題的概率均為一，各題z間答對與否互不影響。己知該選手已經 3答對前6道題。（i）如果該選手選擇繼續(xù)答題，并在最后4道題中，在每道題答對后都選擇色繼續(xù)答 題。（i）求該選手笫8題答錯的概率;(ii)記該選手所獲得的獎站份數(shù)為寫出隨機變量歹的所有町能取值并求歹的數(shù)學期望eg：(ii)如果你是該選手，你是選擇繼續(xù)答題還是放棄答題？若繼續(xù)答題你將答到第幾題? 請用概率或統(tǒng)計的知識給出一個合理的解釋。20. (本小題滿分14分)已知點3 (-1, 0)、c (1, 0),平面上的動點p滿足冏網二麗荒，記動點p 的軌跡為曲線e。過點c作直線交曲線e于兩點m、n

9、, g為線段mn的中點，過點g作 兀軸的平行線與曲線e在點m處的切線交與點人。(i )求曲線e的方程。(ii) 試問點力是否恒在一條定直線上？證明你的結論；(iii) 若直線ag平分zmac f求直線mn的方程。21. (本小題滿分14分)1q.已知函數(shù) /(x) = x3 - (a + l)x +4ax , (a wr)。(i )若函數(shù)y = /(x)在區(qū)間(-oo,0)上單調遞增，在區(qū)間(0, 1)上單調遞減，求實數(shù) a的值；(1【)若常數(shù)avl,求函數(shù)/(兀)在區(qū)間0, 2上的最大值；(iii) 已知a=0,求證：對任意的加、n ,當m<n< 1時，總存在實數(shù)t w (m,

10、n),使不等式/(m) + f(n) < 2/(0成立。福建省莆田市2010年高中畢業(yè)班教學質量檢查數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準說明：一、木解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種揭發(fā)供參考，如果 考牛的解法與本解答不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準制定相應的評分細則。二、對解答題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答耒改變該題的內 容和難度，可視影響的程度決定示繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一 半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。四、只給整數(shù)分數(shù)。選擇

11、題和填空題不給中間分。一、選擇題1-5 bbcaa 6-10 ddcac二、填空題)8717113. l + 3i 14. 15. 16. y = 2sin(一xh)2536三、解答題16.本題主要考査三角形的邊角關系、同角夕角函數(shù)基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎 知識，考査運算求解能力、考査化歸與轉化思想滿分13分.解：（）因為 wc'ab,所以 cosc = 2 分2ab= 4分6分7分9分11分13分又"（oe）,所以c考.3-所以 sinb =sin(y-i4)1+2 冷（h）因為c孝所以八恥芋,又 cos4 =所以 cos2b = 1 -2sib =17.本題主

12、要考査等差數(shù)列的概念、通項公式、數(shù)列求和、數(shù)列單調性等基礎知識考査推理論 證能力、運算求解能力,考査函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想滿分13分.解:(i)依題意得(flj +3j) + (a( +5(/) = 10,(di +3rf)(fl| +5d) =24,因為d>0,所以骨丁a = i.所以 am=aj +(n-l)c/ = n(nn*). (u)因為6一5wn)又比”,得®二1所以人=6】+ 6? +十6. = (1 亠七n +11 1 n(n + l) n n 4-t1 _ 1 n n +1)+10分由tm對一切"n恒成立，即】-一對一切"n恒成立：

13、h + 1t當“n時因為令)(一占卜占鼎>0,所以數(shù)列為遞增數(shù)列.11分故由1m對一切nen*恒成立可得7mm,即mw* 12分又mwz,故m的最大值為0. 13分1&本題主要考査空間玄線與平面的位置關系等基礎知識考査空間想象能力、推理論證能力、 .運算求解能力，考査化歸與轉化思想滿分13分.解：(i )當0為/ib中點時.ge丄平面pcd,證明如下：4取pd的中點，連eh,ah9ge. eh/cd, eh = cd ,agcd,ag = *cd,.ag刃四邊形age"為平行四邊形,ge/ah. 2? 石中,pa =ad,. ah丄pd. 3刃丄底面abcd,. pa丄

14、cd.又 ad 丄 cd. pa cl ad = a, /. cd 丄面 pad. ahu 面cd 丄 ah.且 pd c cd 二 d ah 丄面 pcd. 5分x ge/ah,:. ge丄平面 pc6加(h)如圖以人為原點分別以直線ab.ad.ap為兀軸軸/軸建立空間直角坐標系， 則 a(00,0),b(2,0.0),c(2,2,0),d(0,2,0), 7 分因為e為pc的史眾,所以 e( 1，1) fae = (1,1,1) ,ad - (0,2,0) 9ac = (2,2,0).,*>»出洽8 分設平面aed的一個法向倉為n二(x.y.z)，則備:予=>；】持&

15、quot;'9分令x = l,得n = (1.0l)是平面aed的一個法向量.:10分設直線ac與平面aed所成的角丸仇則 sin0 = loos <n > i =古書吉=* * 12分13分所以直線ac與平面aed所成的角為30。e.010p65168181e的分布列為9分10分19.本題主要考査概率、統(tǒng)計等基礎知識，考査數(shù)據處理能力、運算求解能力以及運用數(shù)學知識 分析和解決問題的能力考査必然與或然思想滿分13分.解:記“該選手答對第i題為事件人，則p(aj =壬(21,2,10).(i)(i)記“該選手第8題答錯”為事件仏則p") *(,4“)二p(每)p(如

16、)=護十二寺 該選手第8題答錯的概率為壬4分.(ii)g的所有可能取值為0,10.:,p(f = 10) p(a7ata9at0) = 3x3x3x3 "81* yp(“0)“p(q 10)=1 書二黑» 3 仏 r “j j o 1 o 16分7分8分所以今0嚼+ 10普器 (1【)如果我是該選手，那么答對前6道題后放棄答題理由如下：若選擇繼續(xù)答第7題，則答完該題后所獲得的獎品份數(shù)7j的數(shù)學期望叼=0x*+7x尋労6,所以選擇放棄答題.13分注:本小麵的結論及理由均不唯一，如果考生能用概率或統(tǒng)計知識分析，給出其他合理回 答同樣給分如：如果我是該選手，那么將選擇答完第7題后

17、放棄答題.理由如下：若選擇繼續(xù)答第7題并結束答題，則獲得獎品的概率p(a7)=尋；而答到第8題并結束答 題,獲得獎品的概率p(仏)# x壬詩 聲，所以選擇答完第7題后放棄答題.5分6分ybb20.本題主要考査直線與直線、宜線與拋物線的位置關系和拋物線的幾何性質等基礎知識，考 査運算求解能力、推理論證璧力;考進數(shù)璽合思想、函數(shù)與方程思想滿分14分.解：設動點ps)，由icpi1氏1 =麗迓,得 2 /(x-l)2+/=(x + l,y)(2,0), 2 分整理得/ =4%,所以曲線e的方程為/ =4x. 4分 (0 )設mg加)，n(巧，九)，由拋物線的對稱性，不妨設點m在x軸的上方，即x &g

18、t;0.由y=277,i#/= 土，所以拋物線在點m處的切線am的斜率k = ± 所以直線am的方程為y-n-七&v xl 設直線mn的方程為"砒+ 1,由；2蟹"i'得/-4my-4=0, 因為 = (4m)2 + 16 >0,所以 x +y2 =4znf 所以mn的中點g(%,2m) 因為宜線ag/x軸，所以直線ag的方程為y=2m. 7分 由，得 =2m 77一力8分因為點m在曲線e和直線mn上，所以/ =4x,，且&二呼+ 1, 所以尤=my! -xj =«! - 1 -«| = -1. 9分所以對任意的m

19、 g r,點a的橫坐標均為-1, 故點人恒在直線x = - 1上.(in )設直線ma交軸于點d,因為ag/x軸，且乙mm = "ac,所以zadc= "cd,由(u)知 43丄cd,所以iobi = ibci,所以 0( -3,0). 11 分又y-yj.令y = 0,得"-衍，所以 0( -尙，0).所以衍=3,北=2用=2再,m(3,2 7?):12分所以直線mn的方程為y=73(x-l), 13分結合拋物線對稱性,得直線mn的方程為y=a(x1)或歹=a(x-l). 14分21 本題主要考査多項式函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)單調性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等

20、基 礎知識，考査運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，考査數(shù)形結合思想、 分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想滿分14分解 if (兀)=兀2-2(a + l)%+4a1 分(i )因為函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-«,0)上單調遞增，(0,1)上單調遞減，所以f(0) =4a=0,得a=0 3分又當応0時/(x) =/-2兀,所以當*0時/>0/(x)在區(qū)間(-oo,0)上單調遞增; 當0<xl時")<0j(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減.綜上,八0時/幻在區(qū)間(-00,0)上是增函數(shù),在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).4分 (ii )令&

21、#163;(%) =0,得® = 2a,x2 =2.因為a<l,所以&<衍，5分當工變化時(%) /(%)印值的變化情況如下：廠 |(8,2a) 2a(2a,2) |2(2,+8)f(%)+0-0+ 7 分1 遞增極大值| 遞減 丨極小值遍注意到xe0,2.所以當awo時/(%)在區(qū)間0,2上單調遞減/(*)的最大值為a0) =0. 8分當ovavl時/(%)在區(qū)間0,2a上單調遞增，在區(qū)間2a,2上單調遞減，/u)的最大值為/(2a) "a討. 9分10分12分13分(皿)解法一:取r二號，因為/(m) v(n)-2/*(y)+知 -n2 -(m + n)2+n)22( ?n n)jm fl)? (m + 7i 2).4注意到得(皿-町2>0,皿"-2<0.所以/(m) +/(“)-級申)<0.所以存在2號 (叫町5w1),使不等式/(