淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用瓊中中學(xué) 徐衡摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界屮空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)屮 最基本的兩大概念，“數(shù)”和“形”常依一定的條件相互聯(lián)系，抽象的數(shù)量關(guān)系 常有形象與宜觀的幾何意義，而直觀的圖形性質(zhì)也常用數(shù)量關(guān)系加以精確的描 述。把數(shù)和形結(jié)合起來，能夠使抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，把數(shù)學(xué)題口屮的i些抽 象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中尋找數(shù)量之間的聯(lián) 系，由此可以達到化難為簡、化繁為易的目的。本文利用數(shù)與形的結(jié)合解決高中數(shù)學(xué)屮的一些問題，能夠直觀而形象地解決一些較為復(fù)雜的問題。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合高中數(shù)學(xué)應(yīng)川數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題屮簾川的思想方法，使川數(shù)形

2、結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解, r解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形z間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解 決數(shù)學(xué)問題的一種重耍思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題 簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù) 學(xué)的規(guī)律性與靈活性的冇機結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的重耍思維原則z，其解法跨越了數(shù)學(xué)各分科知識 的界限.數(shù)形結(jié)合是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系，并通過這種聯(lián)系所產(chǎn)牛的感知或認知的作川，形 成和諧完美的數(shù)學(xué)概念，尋找問題解決途徑的一種冇效方法數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象，感知 與思維的結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想采用了代數(shù)方法和幾何方法最好

3、的方而：幾何圖形形彖直觀， 便于理解；代數(shù)方法的一般性，解題過程的程序化，可操作性強，數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué) 好中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法.因此，數(shù)形結(jié)合思想為解決一些較為復(fù)雜高中數(shù)學(xué)問題開辟了 新的思維途徑。實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，在高中數(shù)學(xué)中常與以卜內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對 應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；illi線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以兒何元索和兒何條件為 背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含冇明顯的幾 何意義。同時數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函 數(shù)的值域，最值問題屮，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題屮，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn) 解

4、題途徑，而r能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程?？v觀多年來的高考試題, 巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽彖的數(shù)學(xué)問題，對起到事半功倍的效果。一.代數(shù)問題用幾何方法解決數(shù)與形在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題往往冇幾何背景，而借助英背景圖形的性質(zhì)，可以使那些抽彖的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，以便于探求解題思路或找到 問題的結(jié)論。例1如圖，已知二次函數(shù)y = ax2 -x + c的圖象經(jīng)過點a和點b。(1)求該二次函數(shù)的表達式； 寫出該拋物線的對稱軸及頂點處標；軸對稱，求加的值及點0到x軸的距離。點p(mjn)與點0均在該函數(shù)圖象上(其中加0),且這兩點關(guān)于拋物線的對稱解析(1

5、)觀察圖象，得ac1, - 1),b(3, -9).得方程組m + 4 + c，解得孑九-9 = 9a -12 + c. c = -6.該二次函數(shù)的表達式為y = x2-4x-6.(3)將入表達式，解方程得“ =1,®(2)對稱軸為x = 2 ；頂點坐標為(2,-10).加>0,m = 6. 點p與點0關(guān)于對稱軸兀=2對稱，tb:點q到x軸的距離為6.例2.如果實數(shù)x、y滿足(x-2)2+>- =3,則上的最大值為()xa.-b.c. d.v3232分析：等式(x-2)2+/=3有明顯的幾何意義，它表坐標平面上的一個i員i, 圓心為(2, 0),半徑廠=巧，(如圖)，而2

6、 =上二2則表示圓上的點(x, y)與坐 x x-0標原點(0, 0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下兒何問題：動點a在以(2, 0)為圓心，以餡為半徑的圓上移動，求宜線04的斜率的最大值，由圖 可見，當(dāng)za在第一象限，且與圓相切時，04的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最 大值為$60° = v3例3.已知x, y滿足+ = h求y-3兀的最大值與最小值16252 2分析：對于二元函數(shù)y-3x在限定條件罕+ =1下求最值問題，常采用1625構(gòu)造總線的截距的方法來求之。令y-3x = b,貝uy = 3x + 方，77原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓話+才1上求-點，使過該點的直線斜率為3,口

7、在y軸上的截距最大或最小,29由圖形知，當(dāng)直線汁3小與橢圓詁士十切時，有最大截距與最小 截距。* y = 3x + b*2=> 169x2 +96/?x + 16ft2 -400 = 01625由 = (),得h= ±13,故y-3兀的最大值為13,最小值為-13。例4.已知復(fù)數(shù)z滿足lz-2-2心血，求z的模的最大值、最小值的范圍。分析：由于lz-2-2姑lz-(2 + 2i)l,有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的 點到復(fù)數(shù)2 + 2i對應(yīng)的點之間的距離，因此滿£-(2 4-2/)1=72的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點 乙在以(2, 2)為圓心，半徑為佢的圓上，(如下圖)，而iz

8、l表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點z到原點0的距離，顯然，當(dāng)點z、圓心c、點o三點共線時，i力取得最值,刃的取值范圍為vi, 32例5求函數(shù)丁='1 + 2的值域。cosx-2qin v 4- 9解法一(代數(shù)法)：貝ijy = - 得ycosx 2y = sinx + 2 , ° cosx-2sinx-ycosx = -2y - 2, -jy2-!-1 sin(x += -2y - 2sin(x + 0)=-2y-2jb + 而 lsin(x + ?)l< 1解不等式得斗分半函數(shù)的值域為二字，弋逅解法二（幾何法）：yjz 的形式類似于斜率公式尸邑二acosx - 2x2 - x=si

9、nx + 2表示過兩點片）（2, -2）, p（cosx, sinx）的直線斜率 cosx-2由于點p在單位圓x2 + /=l±,如圖，顯然，kp（）a <y< kp（）r設(shè)過垃的圓的切線方程為y + 2 = k（x-2）則冇皆“，解得“葦3即=專3, s廠芳3例6已知：|%-3| + |x-4|<tz的解集為空集，則實數(shù)°的取值范圍()。a.a > 1 b.a < 1 c.a > 7 div a<l解析構(gòu)造函數(shù):f(x) = x-3| + |x-4|和g(x) = a，要使|x-3| + |x-4 <a的解集為空集,只需/(

10、兀)的圖象比g(x)的圖象高即可，由圖可知:a<lo圖 2.3.2點評這道題冃是已知不等式的解集求參數(shù)，是考察不等式解法的逆向運用。解這道題的 般思路是對。進行分類討論，去絕對值再多次解不等式，岀錯機會大，花費吋間多。如果 應(yīng)用函數(shù)圖形解則既簡潔又直觀。例7求在圓(%-1)2 + (y-2)2 =1上的點到直線y的最大值與最小值.2 2分析:本題完全可以用代數(shù)的方法，即先求出闘上任意一點到直線的距離關(guān)系式，再根據(jù) 函數(shù)的關(guān)系式去求的最大值與最小值.在做的過程中會發(fā)現(xiàn)計算非常的復(fù)雜，而且在去掉絕 對值時需要進行討論止數(shù)還是負數(shù)，可以說過程是復(fù)雜易錯.但如果建立直角坐標系，畫出這兩個函數(shù)的圖

11、彖，可以知道盡管闘上的點到直線的距離 可能不同,但圓心到直線的距離是固定不變的，再根據(jù)三角形不等式的性質(zhì),判斷出(如下圖 所示)所求授大值為點到直線的距離，最小值為點到直線的距離.11x 22解由點到直線距離公式知:圓心0到直線y = -%-y的距離 jj1 c 1x 1 1 x 2 /2 24v522+ (-1)2據(jù)數(shù)形結(jié)合知険上的a和b到肓線的距離最人與最小max=d + r45-y-45 "y"例8求方程2sinx=x解的個數(shù)解 函數(shù)y=2sinx，尸x的圖象很容易能畫出（如下圖）可以看出當(dāng)x>2和x<-2時這兩個函數(shù)不可能有交點，而當(dāng)一2 <x&l

12、t; 2吋有三個交點。顯 然方程sinx=2x解的個數(shù)即是這兩個函數(shù)y=sinx , y=2x的圖彖交點的個數(shù)，據(jù)數(shù)形結(jié)合知 它們交點的個數(shù)是3,故原方程有3個不同的解.此題如果用其它一般的求方程的方法來求是不適宜的，例如通過移項，兩邊同時乘，除 同一數(shù)，平方，開方，積分，微分等常用的解方程的方法將無濟于事。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行 分段的討論乂將很復(fù)朵，而且很容易就出錯，甚至得不出正確的結(jié)呆。但是用了數(shù)形結(jié)合的 方法卻清晰，快速，準切地求出了答案。因此數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點的信息轉(zhuǎn)換，許多數(shù)屋關(guān)系方面的抽象概念和解析 式，若賦之以兒何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關(guān)系切朗化、簡單化。二.

13、幾何問題用代數(shù)方法解決在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為幾 何問題，利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一 和各白的優(yōu)勢盡快地得到解決問題的途徑，因為往往一些圖形 的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化, 以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問題得到解決。這對提高分析問題和解決問題能力的提高將有極 大幫助.例3求山拋物線y?二2x與直線y二x-4所圍成的平而圖形的而積。 解：作出它的草圖：，y = x-4得交點 a(2, -2),b(8, 4).一般地，我們習(xí)慣選擇x為積分變雖,但從圖形中可以看出，若選x為積分變雖,則盂要 所求圖形的而積分成兩塊

14、，即將分為兩個積分區(qū)間：0, 2和2, 8,并且求出當(dāng)y>0和y<0時 y=f(x)函數(shù)表達式，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系用定積分求出在這兩個區(qū)間的面積z和,這種過程就比 較復(fù)雜.如果選擇y作積分變量,ye -2, 4,任取一個子區(qū)間y, y + dy w -2, 4,則在y, y + dy上的面積微元是da = (x廠 xjdy 二(y + 4)上dy 2于是a 二(y + 4)呀dy2+ 4y 丄)64-2= (8+16-)-(l-8+-)6 6=18數(shù)形結(jié)合解題就是在解決為幾何問題有關(guān)的問題吋，將圖像信息轉(zhuǎn)換為代數(shù)信息，利用 數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。三數(shù)形結(jié)合可使抽象的復(fù)雜問題簡單

15、化巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，有時可取到事倍功半的效果, 數(shù)形結(jié)合的重點是研究”以形助數(shù)” x例4已知|z|二1,解：由已知知點3k（）a| 3- (2+i) |=2即 (x-2) 2+(y-l)2=4如圖所示y軸是其一條切線,設(shè)過原點的另一條切線0p,設(shè)圓心到點p的距離為d,則:71據(jù)數(shù)形結(jié)合知argog0, 23u 2 -arctan 4 ,2 n 在數(shù)學(xué)解題屮，方法至關(guān)重要，這對于節(jié)省時間，提高效率，熾煉能力有重要的作用。 運用形數(shù)結(jié)合解題，產(chǎn)生較好的效果。它可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開闊 思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力,真正提高數(shù)學(xué)索質(zhì)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。平時應(yīng)注重培養(yǎng)這種思想意識，爭取見數(shù)想形，以開拓視野。參考