常用波爾茲曼常數(shù)測量方法的探究

1、    常用波爾茲曼常數(shù)測量方法的探究    陳志豪戴望義包鵬飛吳勁賢涂成志王明鋒摘 要 我們闡述和研究了目前測量波爾茲曼常數(shù)的基本方法，詳細(xì)推導(dǎo)和分析了各種方法的基本原理。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)各方法的特點(diǎn)，結(jié)合目前大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中所常用的儀器，給出了各方法的一種實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案，并對(duì)各方案的可行性做了具體的分析。關(guān)鍵詞 波爾茲曼常量 多普勒效應(yīng)法：o4234 ：a1引言玻爾茲曼常量是統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的一個(gè)基本常量，它是連接宏觀與微觀世界的橋梁。作為物理學(xué)的基本常量之一，玻爾茲曼常量的精確測量將對(duì)物理學(xué)進(jìn)一步精確發(fā)展起到很大的推動(dòng)作用。目前，波爾茲曼常數(shù)測量方法有多

2、種，而發(fā)展較為成熟主要有兩種，既多普勒效應(yīng)法和pn結(jié)電子漂移法。多普勒效應(yīng)法是從氣體原子的譜線展寬與溫度存在的函數(shù)關(guān)系反演得出波爾茲曼常數(shù)，該方法的特點(diǎn)是精確度很高，目前已知的實(shí)驗(yàn)上該方法所能達(dá)到的精度為10-6；pn結(jié)電子漂移法是根據(jù)pn結(jié)的漂移電流與電壓的熱力學(xué)關(guān)系確定波爾茲曼常數(shù)的，該方法的特點(diǎn)是測量過程簡單，但測量精度較低，目前僅能達(dá)到10-2，故適合做驗(yàn)證性的方法。本文將從原理層面具體和深入分析以上兩種方法的基本原理，在此基礎(chǔ)上，本文也將給出在目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)備條件下的具體實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案，為波爾茲曼常數(shù)的實(shí)驗(yàn)測量提供一定的參考。2多普勒效應(yīng)法2.1 譜線展寬基本原理圖1：譜線輪廓我們

3、知道，原子的發(fā)射譜線是原子外電在能級(jí)間的躍遷所產(chǎn)生的，不同能級(jí)間躍遷所發(fā)射的光的頻率是一定的，所以，對(duì)于單個(gè)原子我們能觀察到特定數(shù)目的分立特征譜線。但在實(shí)際的自然界中，原子往往則以集體的、大量的形式出現(xiàn)，如空氣中的氧原子，水中的氫原子等。這些原子集體所發(fā)射的光譜是有一定的寬度的，稱之為譜線寬度，如圖1所示。引起譜線展寬的原因有多種，對(duì)于氣態(tài)原子如（汞燈中的）汞蒸汽，展寬的原因是氣體原子的多普勒效應(yīng)所引起的。在氣態(tài)原子中，原子的熱運(yùn)動(dòng)遵從麥克斯韋速度分布律（1）方程中k為波爾茲曼常數(shù)，t為氣體溫度。顯然，當(dāng)其中的某一原子面向探測器運(yùn)動(dòng)時(shí)，則我們探測到的光的將會(huì)藍(lán)移；而如果某一原子背向探測器運(yùn)動(dòng)時(shí)

4、，我們將會(huì)探測到紅移。由于氣體存在著朝各個(gè)方面的且速度不盡相同的原子，如（1）所示，所以我們最終將會(huì)探測到如圖（1）所示的頻譜分布。如果設(shè)最強(qiáng)處相應(yīng)的頻率為v0（強(qiáng)度為i0），我們可定義強(qiáng)度為i0/2處兩側(cè)的頻率v1和v2的差|v2v1|=v為譜線的半高寬。根據(jù)（1）式，利用原子運(yùn)動(dòng)速度和光譜頻率f間的關(guān)系v=c（f/f01），我們可得到發(fā)射光譜頻率分布函數(shù)（2）顯然，頻率分布繼承了速率分布的高斯特性。對(duì)于高斯函數(shù)（2），我們很容易推導(dǎo)出譜線的半高寬為：（3）顯然，對(duì)于特定的原子氣體，質(zhì)量與中心波長是特定的，此時(shí)如果我們測得了氣體溫度與展寬量即可計(jì)算出玻爾茲曼常量。2.2實(shí)驗(yàn)實(shí)施方案本實(shí)驗(yàn)儀器

5、主要由三部分組成，即光源、干涉衍射儀、光強(qiáng)探測器。光源發(fā)射出來的光包含有原子熱運(yùn)動(dòng)的信息，經(jīng)過干涉衍射裝置可將出射光的強(qiáng)度信息在空間上擴(kuò)展開來，最后到達(dá)光強(qiáng)探測器對(duì)各頻率強(qiáng)度進(jìn)行解讀，通過強(qiáng)度分布可確定譜線展寬。對(duì)于光源，我們可選用氫燈，氫燈是冷陰極輝光放電燈，其具有光源氫原子純度高、發(fā)光穩(wěn)定、譜線頻率單一等諸多優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于干涉衍射儀和光強(qiáng)探測器，我們可選這集兩者功能于一身的光學(xué)多道分析器。光學(xué)多道分析器是常用之儀器，他是集光學(xué)、精密機(jī)械、電子學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)于一體的精密儀器，能夠精確的測量出某一入射光的頻譜強(qiáng)度分布。雖然他的結(jié)構(gòu)和工作原理較為復(fù)雜，但由于使用了計(jì)算機(jī)技術(shù)而使得操作過程十分的方便。

6、具體實(shí)驗(yàn)過程如圖2所示，氫燈發(fā)出的光經(jīng)透鏡l后入射到光學(xué)多道分析系統(tǒng)。經(jīng)過夾縫s1后入射到反射鏡m1上，經(jīng)m1反射入準(zhǔn)直鏡m2，m2可將入射光轉(zhuǎn)換為平行光束投向光柵g，衍射后的平行光束經(jīng)過物鏡m3反射最終可在ccd或觀察窗p上成像。經(jīng)ccd掃描可得到不同頻率的強(qiáng)度分布。根據(jù)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的頻率坐標(biāo)值，我們即可測得譜線半寬值，根據(jù)譜線半寬和氫燈溫度可最終反演出波爾茲曼常數(shù)。3 pn結(jié)電子漂移法3.1 pn結(jié)基本原理pn結(jié)是二級(jí)管或者三級(jí)管（晶體管）上的重要部分，把p型半導(dǎo)體和n型半導(dǎo)體結(jié)合在一起，在兩者的結(jié)合面上將會(huì)發(fā)生電子與空穴的擴(kuò)散?？昭ê碗娮訒?huì)相互越過交界面進(jìn)行復(fù)合，在p區(qū)和n區(qū)交界面的薄層區(qū)內(nèi)

7、一邊帶正電荷，一邊帶負(fù)電荷，這個(gè)薄層即稱之為pn結(jié)，如圖3所示，pn結(jié)具有單向?qū)щ娦浴２煌诔Ｒ?guī)的金屬導(dǎo)體電阻，pn結(jié)的伏安特性并不是線性的，即pn結(jié)兩端的所加的電壓與通過的電流存在著指數(shù)函數(shù)關(guān)系，具體函數(shù)關(guān)系可由以下推導(dǎo)得出。當(dāng)pn結(jié)附加正向電壓時(shí)如圖4（a），擴(kuò)散和漂移的平衡被打破，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)將占優(yōu)勢，此時(shí)將有大量的電子不斷從n區(qū)擴(kuò)散到p區(qū)，同時(shí)有較多空穴從p區(qū)擴(kuò)散到n區(qū)。電子越過pn結(jié)后將繼續(xù)向p區(qū)漂移，在漂移過程中不斷與p區(qū)內(nèi)的空穴復(fù)合。顯然，距離界面越遠(yuǎn)，電子密度越低，擴(kuò)散一定距離后，電子與空穴全部復(fù)合，最后消失。所以，從界面伊始至p區(qū)縱深處電子的濃度形成了梯度差，正是這種梯度差使得電

8、子和空穴不斷的運(yùn)動(dòng)，形成了pn結(jié)電流。從能量的角度看，假設(shè)未加電流時(shí)pn結(jié)的電勢差為vd，此時(shí)p區(qū)相對(duì)于n區(qū)具有負(fù)電勢，也即p區(qū)電子的電勢能增加了qvd，其中q為電子電量，該勢壘阻止n區(qū)的電子繼續(xù)向p區(qū)擴(kuò)散，故而形成了動(dòng)態(tài)平衡。由波爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知，動(dòng)態(tài)平衡時(shí)pn結(jié)兩邊的載流子滿足以下分布：（4）式中和分別表示平衡態(tài)時(shí)p區(qū)電子濃度和空穴濃度；和則表示平衡態(tài)時(shí)n區(qū)的電子濃度和空穴濃度。從（4）可看出p區(qū)的少數(shù)載離子濃度依賴于結(jié)電壓的大小，故而此時(shí)如果我們對(duì)pn結(jié)施加正向電壓v，即勢壘高度降為q（vdv），我們?nèi)菀淄瞥鰌區(qū)附近的電子濃度分布 （5）（5）式表明p區(qū)附近的電子濃度附加電勢甚為敏感，

9、具體表現(xiàn)為指數(shù)關(guān)系。對(duì)應(yīng)于該式，我們?nèi)菀椎贸鰌n處非平衡載流子濃度為（6）于是可得到正向電壓下電子擴(kuò)散而產(chǎn)生的電流密度為：（7）式中cn為一比例系數(shù)，它與電子的擴(kuò)散系數(shù)和擴(kuò)散長度有關(guān)，而與溫度等因素?zé)o關(guān)。同理，如果我們分析處在正壓降下由于空穴的擴(kuò)散而產(chǎn)生的電流密度jp，將得到與（7）式相同的表達(dá)式，于是可最終得到pn結(jié)在加正向電壓下，pn結(jié)的伏安特性表達(dá)式：（8）式（8）表明，在加正向電壓下，pn結(jié)處的正向電流隨電壓呈指數(shù)增長。對(duì)于特定材料的pn結(jié)，一定溫度下，是一項(xiàng)不隨電壓電流變化的常數(shù)，于是如果我們能測定pn結(jié)兩端電流隨附加電壓的具體數(shù)值即可推導(dǎo)出波爾茲曼常數(shù)k。3.2 實(shí)驗(yàn)方案理論上，我

10、們可利用二極管，改變附加在二極管上的電壓，同時(shí)測量通過二極管管的電流，最后擬合電壓電流關(guān)系即可測得波爾茲曼常數(shù)。然而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中該種方法測出的波爾茲曼常數(shù)值往往偏小，原因是二極管電流不僅僅是擴(kuò)散電流，還存在著其他電流的影響，諸如耗盡層復(fù)合電流，其正比于，還有就是表面電流，它是由so2界面中的雜質(zhì)原子所引起的，其正比于，其中m>2。所以在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中往往采用三級(jí)管來準(zhǔn)確的測量k。實(shí)驗(yàn)中一般將三極管接成共基極，即集電極與基極短接，此時(shí)集電極電流為擴(kuò)散電流，而表面電流出現(xiàn)在基極，在這種情況下，此時(shí)集電極電流與結(jié)電壓嚴(yán)格滿足（8）式。實(shí)驗(yàn)中我們可采用tip31型三級(jí)管，實(shí)驗(yàn)中可設(shè)置其處于較低的正向偏

11、置，于是表面電流的影響可完全忽略。在較低正向偏置的情況下，pn結(jié)的電流大致在10-5-10-8數(shù)量級(jí)間，故漂移電流十分的微弱。為測量此微弱電流可有兩種方法，一是使用使用高靈敏度的電壓或電流表（近代物理實(shí)驗(yàn)中心一般配有納米級(jí)毫伏表），如圖5所示，集電極電流可通過測量電阻兩端電壓降獲得，這里的電阻僅設(shè)為1 是為了減小集電極對(duì)發(fā)射集的反饋影響，盡量達(dá)到集電極接地之效果。二是將微小電流放大進(jìn)行測量，即可運(yùn)用集成運(yùn)算放大器，如圖6所示。為將集電極的微弱電流進(jìn)行放大，我們可在集電極回路中串入lf356運(yùn)算放大器，f356是一個(gè)高輸入阻抗的集成運(yùn)算放大器，具有輸入阻抗低，電流靈敏度高，溫漂小，線性好，設(shè)計(jì)簡

12、單等優(yōu)點(diǎn)，該放大器的功能是將微弱的電流信號(hào)轉(zhuǎn)換為較強(qiáng)的電壓信號(hào)v2輸出。最后根據(jù)結(jié)電壓v1和結(jié)電流的v2測量值，通過指數(shù)擬合即可求解出波爾茲曼常數(shù)。4結(jié)語本文首先從原理層面學(xué)習(xí)與回顧了目前波爾茲曼測量的主要方法，接著考慮了具體實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)過程。根據(jù)大學(xué)物理的實(shí)驗(yàn)的基本特點(diǎn)，我們制定和總結(jié)出了測定波爾茲曼常數(shù)的幾種實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)實(shí)驗(yàn)各個(gè)細(xì)節(jié)做了較為細(xì)致的分析，以此為契機(jī)，為我們進(jìn)一步測定波爾茲曼常數(shù)的具體實(shí)驗(yàn)過程提供一定的指導(dǎo)。參考文獻(xiàn)1 c. lemarchand et al. progress towards an accurate determination of the boltzmann constant by doppler spectroscopy. arxiv：1012.4181， 2010.2 c. daussy et al. direct determination of the boltzmann constant by an optical method. phys. rev. lett. 98， 250801， 2007.3 李道真. pn結(jié)的伏安特性推導(dǎo)過程j.大學(xué)物理， 1994（13）：35-37.4 劉濤，陳武軍，鄭新亮.利用pn結(jié)伏安特性測定玻爾茲曼常. 商洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)j.2005（24）：31