(完整版)平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1、平面向量的實(shí)際背景及基本概念向量的物理背景與概念 向量的幾何表示 相等向量與共線向量 教學(xué)目標(biāo)1理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示 （重點(diǎn) ）2理解共線向量、相等向量的概念 （難點(diǎn) ）3正確區(qū)分向量平行與直線平行 （易混點(diǎn) ）基礎(chǔ)·初探教材整理 1 向量及其幾何表示閱讀教材 P74P75例 1 以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題1向量與數(shù)量（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（2）數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量稱(chēng)為數(shù)量2向量的幾何表示（1）帶有方向的線段叫做有向線段它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方 向、長(zhǎng)度（2）向量可以用有向線段表示 向量 AB的大小，也就是向量 AB的 長(zhǎng)度（或稱(chēng)模 ），記作|A

2、B|向量也可以用字母 a，b，c，表示，或用 表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如 AB，CD.判斷 （正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×” ）(1) 向量可以比較大小 ()(2) 坐標(biāo)平面上的 x 軸和 y 軸都是向量 ()(3) 某個(gè)角 是一 個(gè)向量 ()(4) 體積、面積和時(shí)間都不是向量 ( )解：因?yàn)橄蛄恐g不可以比較大小，故 (1)錯(cuò)； x 軸、y 軸只有方 向，沒(méi)有大小，故 (2)錯(cuò)；因?yàn)榻侵挥写笮](méi)有方向，故 (3)錯(cuò)；因?yàn)?體積、面積和時(shí)間只有大小沒(méi)有方向，都不是向量，所以 (4)正確【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)教材整理

3、 2 向量的有關(guān)概念閱讀教材 P75 第十八行以下至 P76 例 2 以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題 .零向量長(zhǎng)度為 0 的向量，記作 0單位向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量平行向量(共線向量 )方向相同或相反的非零向量 向量 a、b 平行，記作 ab 規(guī)定：零向量與任一向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 向量 a 與 b 相等，記作 ab判斷 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×” )(1) 單位向量都平行 ()(2) 零向量與任意向量都平行 ()(3) 若 ab，b c，則 ac.()(4) |AB|BA|.()解： (1)錯(cuò)誤，長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，單位向 量有無(wú)數(shù)多

4、個(gè)且每個(gè)都有確定的方向，故單位向量不一定平行； (2) 正確，零向量的方向是任意的，故零向量與任意向量都平行；(3)錯(cuò)誤，若 b0，則 (3)不成立； (4)正確故只有 (2)(4)正確【答案】 (1)× (2) (3)× (4) 小組合作型 向量的有關(guān)概念 判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：(1)若向量 a與 b同向，且 |a|>|b|，則 a>b； (2)若向量|a|b|，則 a 與 b 的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3) 對(duì)于任意向量 |a|b|，若 a 與 b 的方向相同，則 a b；(4) 由于 0 方向不確定，故 0 不與任意向量平行；(5) 向量

5、a 與向量 b 平行，則向量 a 與 b 方向相同或相反 解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念， 注意向量的大小、 方向兩個(gè)要 素(1)不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以 兩個(gè)向量不能比較大小(2)不正確 由|a|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等， 不能確定它們的 方向關(guān)系(3) 正確因?yàn)?|a|b|，且 a與 b同向，由兩向量相等的條件，可 得 a b.(4) 不正確依據(jù)規(guī)定： 0 與任意向量平行(5) 不正確因?yàn)橄蛄?a 與向量 b 若有一個(gè)是零向量，則其方向 不定求解向量的平行問(wèn)題時(shí)不可忽視零向量的大小為零，方向任意； 零向量與任一向量平行；所有的零向量相等 再練一題 1給出下列命題：

6、 若|a|b|，則 ab 或 ab； 向量的模一定是正數(shù)； 起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；向量 AB與CD是共線向量，則 A、B、C、D 四點(diǎn)必在同一直線 上其中正確命題的序號(hào)是 解： 錯(cuò)誤由 |a| |b|僅說(shuō)明 a 與 b模相等，但不能說(shuō)明它們方 向的關(guān)系 錯(cuò)誤 .0 的模|0|0. 正確 對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向， 是可以任意移 動(dòng)的 錯(cuò)誤共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可并 不要求兩個(gè)向量 AB、CD必須在同一直線上【答案】 向量的表示及應(yīng)用某人從 A 點(diǎn)出發(fā)向東走了 5 米到達(dá) B 點(diǎn)，然后改變方向 按東北方向走了 10 2米到達(dá) C 點(diǎn)，到達(dá)

7、 C 點(diǎn)后又改變方向向西走了 10 米到達(dá) D 點(diǎn)(1) 作出向量 AB， BC， CD；(2) 求AD的模 . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 00680033】 可先選定向量的起點(diǎn)及方向， 并根據(jù)其長(zhǎng)度作出相關(guān)向量 可把AD放在直角三角形中求得 |AD|.解： (1)作出向量 AB，BC，CD，如圖所示：(2)由題意得，BCD 是直角三角形， 其中BDC90°，BC10 2 米，CD10 米，所以 BD10 米ABD 是直角三角形， 其中ABD 90°，AB5 米， BD10米，所以 AD 52(10)25 5(米)， 所以 |AD|5 5米1向量的兩種表示方法： (1)幾何表示法：先確定

8、向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后 根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)(2) 字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母 a，b，c 表示，為了聯(lián)系 平面幾何中的圖形性質(zhì)， 可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示 向量，如 AB， CD，EF等2兩種向量表示方法的作用： (1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為 用向量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ)(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算 再練一題 2一輛汽車(chē)從點(diǎn) A 出發(fā)，向西行駛了 100 公里到達(dá)點(diǎn) B，然后 又改變方向，向西偏北 50°的方向行駛了 200 公里到達(dá)點(diǎn) C，最后 又改變方向，向東行駛了 100 公里達(dá)到點(diǎn) D(1)

9、作出向量 AB， BC， CD；(2)求|AD|.解： (1)如圖所示(2)由題意知 AB與CD方向相反， AB與 CD共線， 在四邊形 ABCD 中， ABCD， 又|AB|CD|，四邊形 ABCD 為平行四邊形， |AD|BC|200(公里) 探究共研型 相等向量與共線向量 探究 1 向量 a，b 共線，向量 b，c 共線，向量 a 與 c 是否共線？ 向量 a 與 c 不一定共線，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都共線，若 b0，則向量 a 與 c不一定共線探究 2 兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合？不一定因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄浚灰笮∠嗟?，方向相同就?相等向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)(

10、1) (2016 濰·坊高一檢測(cè) )如圖 21 1，在等腰梯形 ABCD中 AB與CD是共線向量； ABCD； AB>CD.以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是 ( )A 0B1C 2D 3(2) 下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是 若AB與CD是共線向量， 則 A，B，C，D 四點(diǎn)必在一條直線上； 零向量都相等； 任一向量與它的平行向量不相等； 若四邊形 ABCD 是平行四邊形，則 ABDC； 共線的向量，若始點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同可借助幾何圖形性質(zhì)及向量相關(guān)概念進(jìn)行判斷解： 因?yàn)锳B與CD的方向不相同，也不相反，所以 AB與CD不 共線，即不正確； 由可知也不正確； 因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比 較大小，所

11、以 不正確(2)因?yàn)橄蛄?AB與 CD是共線向量，它們的基線不一定是同一個(gè)， 所以 A，B，C，D 也不一定在一條直線上，所以 錯(cuò)誤；因?yàn)榱阆蛄?的長(zhǎng)度都為零，且其方向任意，所以零向量相等，所以 正確；因?yàn)?平行向量的方向可以相同且大小也可以相等， 所以任一向量與它的平 行向量可能相等，即錯(cuò)誤；畫(huà)出圖形，可得 ABDC，所以正確； 由共線向量的定義可知：共線的向量，始點(diǎn)不同，終點(diǎn)可能相同，所 以不正確【答案】 (1)A (2) 相等向量與共線向量需注意的四個(gè)問(wèn)題： (1)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量(2)兩個(gè)向量平行與兩條直線平行是兩個(gè)不同的概念；兩個(gè)向量 平行包含兩個(gè)向

12、量有相同基線，但兩條直線平行不包含兩條直線重 合(3) 平行 (共線 )向量無(wú)傳遞性 (因?yàn)橛?0)(4) 三點(diǎn) A，B，C 共線? AB，AC共線 再練一題 3.如圖 212所示，O 是正六邊形 ABCDEF 的中心圖 2 12 分別寫(xiě)出圖中與 OA，OB， OC相等的向量； 與OA的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？解：與OA相等的向量有 EF，DO，CB；與 OB相等的向量有 DC， EO， FA；與 OC相等的向量有 FO，ED ，AB.與 OA的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有 OD，BC，AO，F(xiàn)E.構(gòu)建·體系1下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是 (身高是一個(gè)向量；AOB 的兩條邊都是向量；

13、 溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量； 物理學(xué)中的加速度是向量A 0B1C 2D 3解：只有 中物理學(xué)中的加速度既有大小又有方向是向量， 錯(cuò)誤 正確【答案】 B 2在下列判斷中，正確的是 ()長(zhǎng)度為 0 的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的； 單位向量的長(zhǎng)度都相等； 單位向量都是同方向； 任意向量與零向量都共線A BCD解：由定義知 正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個(gè)零 向量的方向是否相同不確定， 故不正確顯然 、正確，不正確， 故選 D【答案】 D3(2016 ·三明市期末 )設(shè) e1，e2 是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是 ()A e1 e2B e1e2C |e1|

14、e2|D以上都不對(duì)解：?jiǎn)挝幌蛄康哪６嫉扔?1 個(gè)單位，故 C正確【答案】 C4在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定 不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長(zhǎng)度相等的 向量是相等向量；平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向 量正確的命題是 解： 由向量的相關(guān)概念可知 正確【答案】 5.如圖 213所示，四邊形 ABCD 是平行四邊形，四邊形 ABDE是矩形，找出與向量 AB相等的向量解：由四邊形 ABCD 是平行四邊形，四邊形 ABDE 是矩形，知DC， ED與 AB的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量 AB相等的向量為 DC和 ED.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1下列說(shuō)法正

15、確的個(gè)數(shù)是 ()(1) 溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量；(2) 零向量沒(méi)有方向；(3) 非零向量的單位向量是唯一的A 0B1C 2D 3解： (1)中溫度和功不是向量； (2)零向量的方向不確定，而不是 沒(méi)有方向，所以 (1)(2)錯(cuò)誤【答案】 B2下列結(jié)論正確的是 ()A向量必須用有向線段來(lái)表示B表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的C有向線段 AB和BA是同一向量D有向線段 AB和BA的大小相等 解：向量除了可以用有向線段表示以外， 還可用坐標(biāo)或字母表示， 所以選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；向量為自由向量，只要大小相等，方向相同就為 同一個(gè)向量， 而與它的具體位置無(wú)關(guān)， 所以表示一個(gè)向量的有向線段 不是

16、唯一的， 選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；有向線段 AB和BA的方向相反， 大小相等， 不為同一向量，所以選項(xiàng) C 錯(cuò)誤、D 正確【答案】 D3給出下列四個(gè)命題：若|a|0，則 a0；若|a|b|，則 ab 或 ab；若 ab， 則|a|b|；若 a0，則 a0.其中的正確命題有 ( )A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)解：對(duì)于 ，前一個(gè)零是實(shí)數(shù)，后一個(gè)應(yīng)是向量 0.對(duì)于，兩個(gè) 向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定對(duì) 于，兩個(gè)向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等只有 正確故選 A 【答案】 A4數(shù)軸上點(diǎn) A、B 分別對(duì)應(yīng) 1、2，則向量 AB的長(zhǎng)度是 ()A 1B2C1D3解： 易知

17、|AB|2（1）3，故選 D【答案】 D5 （2016 ·長(zhǎng)春十一中期末 ）若|AB| |AD |且BA CD ，則四邊形ABCD 的形狀為 （ ）A 平行四邊形B矩形C菱形D等腰梯形解：由BACD知四邊形為平行四邊形； 由|AB|AD|知四邊形 ABCD 為菱形故選 C【答案】 C二、填空題6已知 A，B，C 是不共線的三點(diǎn)，向量 m 與向量 AB是平行向 量，與 BC是共線向量，則 m .解：因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)不共線，所以 AB與BC不共線，又因?yàn)?mAB 且 m BC，所以 m 0.【答案】 07給出以下五個(gè)條件： ab；|a|b|；a與 b 的方向相反；|a|0 或|b|

18、0； a 與 b 都是單位向量其中能使 ab 成立的是解：共線向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不 涉及大小很明顯僅有 .【答案】 三、解答題8.O 是正方形 ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形 OAED，OCFB 都是 正方形，在如圖 214 所示的向量中：圖 2 14(1) 分別找出與 AO，BO相等的向量；(2) 找出與 AO共線的向量；(3) 找出與 AO模相等的向量；(4) 向量AO與CO是否相等？解： (1)AOBF，BOAE.(2)與 AO共線的向量有： BF，CO，DE.(3) 與 AO模相等的向量有： CO， DO，BO， BF，CF， AE，DE.(4) 向量AO與CO不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?如圖 215 所示，已知四邊形 ABCD 中，M，N 分別是 BC， AD 的中點(diǎn)，又 AB DC且CN MA，求證： DN MB.圖 2 15【證明】 因?yàn)?ABDC ， 所以|AB|DC|且 ABDC， 所以四邊形 ABCD 是平行四邊形， 所以|DA|CB|且 DACB又因?yàn)?DA與CB的方向相同，所以CB DA.同理可證，四邊形 CNAM 是平行四邊形，所以CM NA.因?yàn)閨